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1817分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 F(−1,0)F(-1,0)，离心率为 12\dfrac{1}{2}.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，过 FF 且斜率大于 00 的动直线 ll 与 CC 交于 PP，QQ 两点，其中 QQ 在第三象限，直线 POPO 与 CC 的另一个交点为 RR.
(i) 若 △PQR\triangle PQR 的面积是 △PFO\triangle PFO 的面积的 33 倍，求 ll 的方程； (ii) 求 tan⁡∠PQR\tan \angle PQR 的最小值．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 f(x)=2∣x∣+∣x−2∣f(x)=2|x|+|x-2|.
(1) 求不等式 f(x)≤6−xf(x)\le6-x 的解集； (2) 在直角坐标系 xOyxOy 中，求由不等式 f(x)≤yf(x)\le y 与 x+y−6≤0x+y-6\le0 所确定的平面区域的面积.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
已知 f(x)=2∣x∣+∣x−2∣f(x)=2|x|+|x-2|.
(1) 求不等式 f(x)≤6−xf(x)\le6-x 的解集； (2) 在直角坐标系 xOyxOy 中，求不等式组
{f(x)≤y,x+y−6≤0\begin{cases} f(x)\le y,\\ x+y-6\le0 \end{cases}
所确定的平面区域的面积.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 x<0x<0 时，f(x)=2−3xf(x)=2-3x；当 0≤x≤20\le x\le2 时，f(x)=x+2f(x)=x+2；当 x>2x>2 时，f(x)=3x−2f(x)=3x-2. 因此
{2−3x≤6−x,x<0,x+2≤6−x,0≤x≤2,3x−2≤6−x,x>2.\begin{cases} 2-3x\le6-x,&x<0,\\ x+2\le6-x,&0\le x\le2,\\ 3x-2\le6-x,&x>2. \end{cases}
第一种情形得 −2≤x<0-2\le x<0，第二种情形得 0≤x≤20\le x\le2，第三种情形无解，所以不等式的解集为 [−2,2][-2,2]. \item 不等式组表示的区域位于曲线 y=f(x)y=f(x) 上方、直线 y=6−xy=6-x 下方. 由第（1）问，区域的横坐标范围为 [−2,2][-2,2]. 当 −2≤x≤0-2\le x\le0 时，上、下边界之差为 (6−x)−(2−3x)=4+2x(6-x)-(2-3x)=4+2x；当 0≤x≤20\le x\le2 时，上、下边界之差为 (6−x)−(x+2)=4−2x(6-x)-(x+2)=4-2x. 因此区域面积为
∫−20(4+2x) dx+∫02(4−2x) dx=4+4=8\int_{-2}^{0}(4+2x)\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{2}(4-2x)\,\mathrm{d}x=4+4=8
\end{enumerate} \end{solution}

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 aa，bb，cc 都是正数，且 a32+b32+c32=1a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}+c^{\frac{3}{2}}=1，证明：
(1) abc≤19abc\le \frac{1}{9}； (2) ab+c+ba+c+ca+b≤12abc\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\le \frac{1}{2\sqrt{abc}}.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 aa，bb，c>0c>0，且 a32+b32+c32=1a^{\frac32}+b^{\frac32}+c^{\frac32}=1. 证明：
(1) abc≤19abc\le\dfrac19； (2) ab+c+bc+a+ca+b≤12abc\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\le\dfrac{1}{2\sqrt{abc}}.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−a∣+∣x+3∣f(x)=|x-a|+|x+3|.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)≥6f(x)\ge 6 的解集； (2) 若 f(x)>−af(x)>-a，求 aa 的取值范围.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−a∣+∣x+3∣f(x)=|x-a|+|x+3|.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)≥6f(x)\ge6 的解集； (2) 若 f(x)>−af(x)>-a，求 aa 的取值范围.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣3x+1∣−2∣x−1∣f(x)=\left\lvert 3x+1 \right\rvert-2\left\lvert x-1 \right\rvert.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 求不等式 f(x)>f(x+1)f(x)>f(x+1) 的解集.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣3x+1∣−2∣x−1∣f(x)=\lvert 3x+1\rvert-2\lvert x-1\rvert.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 求不等式 f(x)>f(x+1)f(x)>f(x+1) 的解集.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 aa，bb，cc 为正数，且满足 abc=1abc=1. 证明：
(1) 1a+1b+1c≤a2+b2+c2\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le a^2+b^2+c^2； (2) (a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3\ge24.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 aa，bb，cc 为正数，且满足 abc=1abc=1. 证明：
(1) 1a+1b+1c≤a2+b2+c2\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le a^2+b^2+c^2； (2) (a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3\ge 24.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 f(x)=∣x+1∣−∣ax−1∣f(x)=\lvert x+1\rvert-\lvert ax-1\rvert.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)>1f(x)>1 的解集； (2) 若 x∈(0,1)x\in(0,1) 时不等式 f(x)>xf(x)>x 成立，求 aa 的取值范围.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 f(x)=∣x+1∣−∣ax−1∣f(x)=|x+1|-|ax-1|.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)>1f(x)>1 的解集； (2) 若 x∈(0,1)x\in(0,1) 时不等式 f(x)>xf(x)>x 成立，求 aa 的取值范围.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★★★★
若函数 h(x)h(x) 满足
① h(0)=1h(0)=1，h(1)=0h(1)=0； ② 对任意 a∈[0,1]a \in [0,1]，有 h(h(a))=ah(h(a)) = a； ③ 在 (0,1)(0,1) 上单调递减.
则称 h(x)h(x) 为补函数. 已知函数 h(x)=(1−xp1+λxp)1ph(x) = \left(\frac{1 - x^{p}}{1 + \lambda x^{p}}\right)^{\frac{1}{p}}（λ>−1\lambda > -1，p>0p > 0）.
(1) 判断函数 h(x)h(x) 是否为补函数，并证明你的结论； (2) 若存在 m∈[0,1]m \in [0,1]，使得 h(m)=mh(m) = m，称 mm 是函数 h(x)h(x) 的中介元. 记 p=1np = \frac{1}{n} （n∈N+n \in \mathbf{N}_+）时 h(x)h(x) 的中介元为 xnx_n. 且 Sn=∑i=1nxiS_n = \sum_{i=1}^{n} x_i，若对任意的 n∈N+n \in \mathbf{N}_+，都有 Sn<12S_n < \frac{1}{2}，求 λ\lambda 的取值范围； (3) 当 λ=0\lambda = 0，x∈(0,1)x \in (0,1) 时，函数 y=h(x)y = h(x) 的图象总在直线 y=1−xy = 1 - x 的上方，求 pp 的取值范围.

2012 · 江西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=exxf(x) = \frac{\mathrm{e}^x}{x}.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若 k>0k > 0，求不等式 f′(x)+k(1−x)f(x)>0f'(x) + k(1 - x)f(x) > 0 的解集.

2009 · 江西 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
(1) 已知函数 f(x)=11+x+11+a+axax+8f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x}} + \frac{1}{\sqrt{1 + a}} + \sqrt{\frac{ax}{ax + 8}}，x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). 当 a=8a = 8 时，求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 对任意正数 aa，证明：1<f(x)<21 < f(x) < 2.

2008 · 江西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c 在 x=−23x = -\frac{2}{3} 与 x=1x = 1 时都取得极值.
(1) 求 aa，bb 的值与函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若对 x∈[−1,2]x \in [-1, 2]，不等式 f(x)<c2f(x) < c^2 恒成立，求 cc 的取值范围.

2006 · 江西 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c 在 x=−23x = -\frac{2}{3} 与 x=1x = 1 时都取得极值.
(1) 求 aa，bb 的值与函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若对 x∈[−1,2]x \in [-1, 2]，不等式 f(x)<c2f(x) < c^2 恒成立，求 cc 的取值范围.

2006 · 江西 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=x2ax+bf(x)=\frac{x^{2}}{ax+b}（aa，bb 为常数），且方程 f(x)−x+12=0f(x)-x+12=0 有两个实根为 x1=3x_1=3，x2=4x_2=4.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的解析式； (2) 设 k>1k>1，解关于 xx 的不等式：f(x)<(k+1)x−k2−xf(x)<\frac{(k+1)x-k}{2-x}.

2005 · 江西 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=x2ax+bf(x)=\dfrac{x^2}{ax+b}（aa、bb 为常数），且方程 f(x)−x+12=0f(x)-x+12=0 有两个实根 x1=3x_1=3、x2=4x_2=4.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的解析式； (2) 设 k>1k>1，解关于 xx 的不等式：f(x)<(k+1)x−k2−xf(x)<\dfrac{(k+1)x-k}{2-x}.

2005 · 江西 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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