自然状态下的鱼类是一种可再生资源. 为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用
xn 表示某鱼群在第
n 年年初的总量，
n∈N∗，且
x1>0. 不考虑其它因素，设在第
n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与
xn 成正比，死亡量与
xn2 成正比，这些比例系数依次为正常数
a，
b，
c.
(1) 求
xn+1 与
xn 的关系式；
(2) 猜测：当且仅当
x1，
a，
b，
c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
(3) 设
a=2，
b=1，为保证对任意
x1∈(0,2)，都有
xn>0，
n∈N∗，则捕捞强度
b 的最大允许值是多少？证明你的结论.
\begin{solution}
题面第三问同时写出“
a=2，
b=1”并要求求捕捞强度
b 的最大允许值，按字面理解时
b 已被固定，因而不存在待求的最大值. 以下先给出前两问的结论，并在第三问中说明与“求
b 的最大值”相容的通常解释.
\begin{enumerate}
\item 第
n 年内鱼群的繁殖量、捕捞量和死亡量分别为
axn、
bxn 和
cxn2，所以
xn+1=xn+axn−bxn−cxn2=xn(1+a−b−cxn) \item 若每年年初鱼群总量保持不变，则
xn+1=xn=x1. 由上式和
x1>0，应满足
x1(1+a−b−cx1)=x1 即
a−b−cx1=0. 因为
c>0 且
x1>0，这等价于
a>b 且
x1=ca−b.
\item 若严格保留题面中已给出的
b=1，则捕捞强度已确定为
1，第三问没有关于
b 的最大值问题. 若按题意将该题理解为已给
a=2、
c=1，而把
b 作为待求的捕捞强度，则递推式为
xn+1=xn(3−b−xn) 为使任意
x1∈(0,2) 都有
x2>0，必须对任意
x1∈(0,2) 有
3−b−x1>0. 若
b>1，可取
x1∈(max{3−b,0},2)，则
3−b−x1<0，从而
x2<0，不符合要求. 因此必有
b⩽1.
当
b=1 时，递推式为
xn+1=xn(2−xn). 用数学归纳法证明
0<xn<2. 当
n=1 时结论由条件成立. 假设
0<xk<2，则
xk+1=xk(2−xk)>0 并且
xk+1=1−(xk−1)2⩽1<2，所以
0<xk+1<2. 归纳可得任意
n∈N∗ 都有
xn>0. 因此在这一相容解释下，捕捞强度
b 的最大允许值为
1.
\end{enumerate}
\end{solution}
