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1817分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 F(−1,0)F(-1,0)，离心率为 12\dfrac{1}{2}.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，过 FF 且斜率大于 00 的动直线 ll 与 CC 交于 PP，QQ 两点，其中 QQ 在第三象限，直线 POPO 与 CC 的另一个交点为 RR.
(i) 若 △PQR\triangle PQR 的面积是 △PFO\triangle PFO 的面积的 33 倍，求 ll 的方程； (ii) 求 tan⁡∠PQR\tan \angle PQR 的最小值．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1817分三角函数★★★★☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 cos⁡A1+sin⁡A=sin⁡2B1+cos⁡2B\frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin 2B}{1+\cos 2B}.
(1) 若 C=2π3C=\frac{2\pi}{3}，求 BB； (2) 求 a2+b2c2\frac{a^2+b^2}{c^2} 的最小值.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣3x+1∣−2∣x−1∣f(x)=\left\lvert 3x+1 \right\rvert-2\left\lvert x-1 \right\rvert.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 求不等式 f(x)>f(x+1)f(x)>f(x+1) 的解集.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣3x+1∣−2∣x−1∣f(x)=\lvert 3x+1\rvert-2\lvert x-1\rvert.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 求不等式 f(x)>f(x+1)f(x)>f(x+1) 的解集.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 aa，bb，cc 为正数，且满足 abc=1abc=1. 证明：
(1) 1a+1b+1c≤a2+b2+c2\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le a^2+b^2+c^2； (2) (a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3\ge24.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 aa，bb，cc 为正数，且满足 abc=1abc=1. 证明：
(1) 1a+1b+1c≤a2+b2+c2\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le a^2+b^2+c^2； (2) (a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3\ge 24.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 f(x)=∣x+1∣−∣ax−1∣f(x)=\lvert x+1\rvert-\lvert ax-1\rvert.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)>1f(x)>1 的解集； (2) 若 x∈(0,1)x\in(0,1) 时不等式 f(x)>xf(x)>x 成立，求 aa 的取值范围.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 f(x)=∣x+1∣−∣ax−1∣f(x)=|x+1|-|ax-1|.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)>1f(x)>1 的解集； (2) 若 x∈(0,1)x\in(0,1) 时不等式 f(x)>xf(x)>x 成立，求 aa 的取值范围.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
已知 a>0a > 0，b>0b > 0，c>0c > 0，函数 f(x)=∣x+a∣+∣x−b∣+cf(x) = |x + a| + |x - b| + c 的最小值为 44.
(1) 求 a+b+ca + b + c 的值； (2) 求 14a2+19b2+c2\frac{1}{4}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}+c^{2} 的最小值.

2015 · 福建 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，ABAB 是圆 OO 的直径，点 CC 是圆 OO 上异于 AA，BB 的点，POPO 垂直于圆 OO 所在的平面，且 PO=OB=1PO = OB = 1.
(1) 若 DD 为线段 ACAC 的中点，求证：AC⊥AC \perp 平面 PDOPDO； (2) 求三棱锥 P−ABCP - ABC 体积的最大值； (3) 若 BC=2BC = \sqrt{2}，点 EE 在线段 PBPB 上，求 CE+OECE + OE 的最小值.

2015 · 福建 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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23不等式★★☆☆☆
已知定义在 R\mathbf{R} 上的函数 f(x)=∣x+1∣+∣x−2∣f(x) = |x + 1| + |x - 2| 的最小值为 aa.
(1) 求 aa 的值； (2) 若 pp，qq，rr 为正实数，且 p+q+r=ap + q + r = a，求证：p2+q2+r2⩾3p^2 + q^2 + r^2 \geqslant 3.

2014 · 福建 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★☆☆☆
设不等式 ∣x−2∣<a|x - 2| < a（a∈N∗a \in \mathbf{N}^{*}）的解集为 AA，且 32∈A\frac{3}{2} \in A， 12∉A\ \frac{1}{2} \notin A.
(1) 求 aa 的值； (2) 求函数 f(x)=∣x+a∣+∣x−2∣f(x) = |x + a| + |x - 2| 的最小值.

2013 · 福建 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 的公差 d=1d = 1，前 nn 项和为 SnS_{n}.
(1) 若 11，a1a_{1}，a3a_{3} 成等比数列，求 a1a_{1}； (2) 若 S5>a1a9S_{5} > a_{1}a_{9}，求 a1a_{1} 的取值范围.

2013 · 福建 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=m−∣x−2∣f(x) = m - |x - 2|，m∈Rm \in \mathbf{R}. 且 f(x+2)⩾0f(x + 2) \geqslant 0 的解集为 [−1,1][-1,1].
(1) 求 mm 的值； (2) 若 aa，bb，c∈R+c \in \mathbf{R}^{+}，且 1a+12b+13c=m\frac{1}{a} + \frac{1}{2b} + \frac{1}{3c} = m，求证：a+2b+3c⩾9a + 2b + 3c \geqslant 9.

2012 · 福建 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★☆☆☆☆
设不等式 ∣2x−1∣<1|2x-1|<1 的解集为 MM.
(1) 求集合 MM； (2) 若 aa，b∈Mb\in M，试比较 ab+1ab+1 与 a+ba+b 的大小.

2011 · 福建 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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16概率与统计★★★☆☆
设 SS 是不等式 x2−x−6⩽0x^{2} - x - 6 \leqslant 0 的解集，整数 mm，n∈Sn \in S.
(1) 记使得“m+n=0m + n = 0 成立的有序数组 (m,n)(m, n)”为事件 AA，试列举 AA 包含的基本事件； (2) 设 ξ=m2\xi = m^2，求 ξ\xi 的分布列及其数学期望 E(ξ)E(\xi).

2010 · 福建 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，圆柱 OO1O O_{1} 内有一个三棱柱 ABC−A1B1C1A B C - A_{1}B_{1}C_{1}，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且 ABA B 是圆 OO 的直径.
(1) 证明：平面 A1ACC1A_{1}ACC_{1} ⊥\perp 平面 B1BCC1B_{1}BCC_{1}； (2) 设 AB=AA1AB = AA_{1}，在圆柱 OO1OO_{1} 内随机选取一点. 记该点取自于三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 内的概率为 pp.
(i) 当点 CC 在圆周上运动时，求 pp 的最大值； (ii) 记平面 A1ACC1A_{1}ACC_{1} 与平面 B1OCB_{1}OC 所成的角为 θ\theta （0∘<θ⩽90∘0^{\circ} < \theta \leqslant 90^{\circ}），当 pp 取最大值时，求 cos⁡θ\cos \theta 的值.

2010 · 福建 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−a∣f(x) = |x - a|.
(1) 若不等式 f(x)⩽3f(x) \leqslant 3 的解集为 {x∣−1⩽x⩽5}\{x \mid -1 \leqslant x \leqslant 5\}，求实数 aa 的值； (2) 在（1）的条件下，若 f(x)+f(x+5)⩾mf(x) + f(x + 5) \geqslant m 对一切实数 xx 恒成立，求实数 mm 的取值范围.

2010 · 福建 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，EE，HH 分别是棱 A1B1A_{1}B_{1}，D1C1D_{1}C_{1} 上的点（点 EE 与 B1B_{1} 不重合），且 EH∥A1D1EH\parallel A_{1}D_{1}. 过 EHEH 的平面与棱 BB1BB_{1}，CC1CC_{1} 相交，交点分别为 FF，GG.
(1) 证明：AD∥AD\parallel 平面 EFGHEFGH； (2) 设 AB=2AA1=2aAB = 2AA_{1} = 2a. 在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 内随机选取一点. 记该点取自几何体 A1ABFE−D1DCGHA_{1}ABFE-D_{1}DCGH 内的概率为 pp，当点 EE，FF 分别在棱 A1B1A_{1}B_{1}，B1BB_{1}B 上运动且满足 EF=aEF = a 时，求 pp 的最小值.

2010 · 福建 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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23不等式★★☆☆☆
解不等式 ∣2x−1∣<∣x∣+1|2x - 1| < |x| + 1.
\begin{solution} 两边均为非负数，可以平方而不改变不等号方向，得
(2x−1)2<(∣x∣+1)2⟺3x2−4x<2∣x∣(2x-1)^2<(|x|+1)^2 \quad\Longleftrightarrow\quad 3x^2-4x<2|x|
当x⩾0x\geqslant0时，∣x∣=x|x|=x，所以 3x2−6x<03x^2-6x<0，即0<x<20<x<2. 当x<0x<0时，∣x∣=−x|x|=-x，所以 3x2−2x<03x^2-2x<0，即x(3x−2)<0x(3x-2)<0，但此时两个因子均为负，乘积为正，无解. 综上，不等式的解集为(0,2)(0,2). \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=tx2+2t2x+t−1f(x) = tx^2 + 2t^2x + t - 1（x∈Rx \in \mathbf{R}，t>0t > 0）.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小值 h(t)h(t). (2) 若 h(t)<−2t+mh(t) < -2t + m 对 t∈(0,2)t \in (0, 2) 恒成立，求实数 mm 的取值范围.

2007 · 福建 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
如图，已知点 F(1,0)F(1, 0)，直线 l:x=−1l: x = -1，PP 为平面上的动点，过 PP 作直线 ll 的垂线，垂足为点 QQ，且 QP→⋅QF→=FP→⋅FQ→\overrightarrow{QP} \cdot \overrightarrow{QF} = \overrightarrow{FP} \cdot \overrightarrow{FQ}.
(1) 求动点 PP 的轨迹 CC 的方程. (2) 过点 FF 的直线交轨迹 CC 于 AA，BB 两点，交直线 ll 于点 MM.
(i) 已知 MA→=λ1AF→\overrightarrow{MA} = \lambda_1 \overrightarrow{AF}，MB→=λ2BF→\overrightarrow{MB} = \lambda_2 \overrightarrow{BF}，求 λ1+λ2\lambda_1 + \lambda_2 的值； (ii) 求 ∣MA→∣⋅∣MB→∣\left| \overrightarrow{MA} \right| \cdot \left| \overrightarrow{MB} \right| 的最小值.

2007 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★☆
已知 f(x)=2x−ax2+2f(x)=\frac{2x-a}{x^2+2}（x∈Rx\in\mathbf{R}）在区间 [−1,1][-1,1] 上是增函数.
(1) 求实数 aa 的值组成的集合 AA； (2) 设关于 xx 的方程 f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x} 的两个非零实根为 x1x_1，x2x_2. 试问：是否存在实数 mm，使得不等式 m2+tm+1⩾∣x1−x2∣m^2+tm+1\geqslant |x_1-x_2| 对任意 a∈Aa\in A 及 t∈[−1,1]t\in[-1,1] 恒成立？若存在，求 mm 的取值范围；若不存在，请说明理由.

2004 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=4x+ax2−23x3f(x) = 4x + ax^2 - \frac{2}{3}x^3（x∈Rx \in \mathbf{R}）在区间 [−1,1][-1,1] 上是增函数.
(1) 求实数 aa 的值组成的集合 AA； (2) 设关于 xx 的方程 f(x)=2x+13x3f(x) = 2x + \frac{1}{3}x^3 的两个非零实根为 x1x_1，x2x_2. 试问：是否存在实数 mm，使得不等式 m2+tm+1⩾∣x1−x2∣m^2 + tm + 1 \geqslant |x_1 - x_2| 对任意 a∈Aa \in A 及 t∈[−1,1]t \in [-1,1] 恒成立？若存在，求 mm 的取值范围；若不存在，请说明理由.

2004 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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