函数
y=f(x) 在区间
(0,+∞) 内可导，导函数
f′(x) 是减函数，且
f′(x)>0. 设
x0∈(0,+∞)，
y=kx+m 是曲线
y=f(x) 在点
(x0,f(x0)) 处的切线方程，并设函数
g(x)=kx+m.
(1) 用
x0，
f(x0)，
f′(x0) 表示
m；
(2) 证明：当
x0∈(0,+∞)，
g(x)⩾f(x)；
(3) 若关于
x 的不等式
x2+1⩾ax+b⩾23x32 在
[0,+∞) 上恒成立. 其中
a，
b 为实数，求
b 的取值范围及
a 与
b 所满足的关系.
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item 切线斜率为
k=f′(x0)，又切线经过
(x0,f(x0))，所以
f(x0)=kx0+m=f′(x0)x0+m，
从而
m=f(x0)−x0f′(x0).
\item 当
x>x0 时，由拉格朗日中值定理，存在
ξ∈(x0,x)，使得
f(x)−f(x0)=f′(ξ)(x−x0).
由于
f′ 是减函数，
f′(ξ)⩽f′(x0)，故
f(x)−f(x0)⩽f′(x0)(x−x0)=g(x)−f(x0).
于是
f(x)⩽g(x). 当
0<x<x0 时，仍由中值定理存在
ξ∈(x,x0)，且
f′(ξ)⩾f′(x0). 因为
x−x0<0，所以
f(x)−f(x0)=f′(ξ)(x−x0)⩽f′(x0)(x−x0)=g(x)−f(x0).
因此对任意
x>0，都有
g(x)⩾f(x).
\item 要使下方不等式对所有
x⩾0 成立，先注意到
a 必须为正数；否则当
x→+∞ 时，
ax+b 不可能始终不小于
23x32. 由
x=0 处的下方不等式还知
b⩾0. 对函数
h(x)=23x32（
x>0），有
h′(x)=x−31，
h′′(x)=−31x−34<0，所以
h′(x) 是减函数. 斜率为
a>0 的切线接触点满足
x0−31=a，即
x0=a−3，该切线的截距为
h(x0)−ax0=23a−2−a⋅a−3=2a21
由第（2）问，切线在曲线
y=h(x) 的上方；反过来，函数
h(x)−ax 在
x>0 上的导数为
x−31−a，先正后负，故其最大值也在
x=a−3 处取得；并且在
x=0 处该函数值为
0. 所以
ax+b⩾23x32（
x⩾0）当且仅当
b⩾2a21.
上方不等式等价于
x2−ax+1−b⩾0（
x⩾0）.
由
x=0 处的上方不等式得
b⩽1. 因为
a>0，左侧二次函数在非负半轴上的最小值出现在
x=2a，所以这又等价于
1−b−4a2⩾0，即
a⩽21−b.
综合两侧条件，得到
2b1⩽a⩽21−b.
要使这个区间非空，必须且只需
2b1⩽21−b⟺8b(1−b)⩾1，
即
42−2⩽b⩽42+2.
\end{enumerate}
\end{solution}
