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135分函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=2x+22−x−mf\left( x \right)=2^x+2^{2-x}-m 有两个零点，则 mm 的取值范围是______.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 13 题 · 填空题

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15不等式★★☆☆☆
若 xx，yy 满足约束条件
{x+y≥−1,x−y≥−1,2x−y≤1\begin{cases} x+y\ge -1,\\ x-y\ge -1,\\ 2x-y\le 1 \end{cases}
，则 z=x+2yz=x+2y 的最大值是______.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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13不等式★★☆☆☆
若变量 xx，yy 满足约束条件
{2x+3y−6≥0,x+y−3≤0,y−2≤0,\begin{cases} 2x+3y-6\ge0,\\ x+y-3\le0,\\ y-2\le0, \end{cases}
，则 z=3x−yz=3x-y 的最大值是______.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14不等式★★☆☆☆
若变量 xx，yy 满足约束条件
{x+2y−5≥0,x−2y+3≥0,x−5≤0\begin{cases} x+2y-5\ge0,\\ x-2y+3\ge0,\\ x-5\le0 \end{cases}
则 z=x+yz=x+y 的最大值为______.

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14不等式★★☆☆☆
若变量 xx，yy 满足约束条件
{x+2y−5≥0,x−2y+3≥0,x−5≤0\begin{cases} x+2y-5\ge0,\\ x-2y+3\ge0,\\ x-5\le0 \end{cases}
则 z=x+yz=x+y 的最大值为______.

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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16不等式★★★☆☆
若函数 f(x)=∣x+1∣+2∣x−a∣f(x) = |x + 1| + 2|x - a| 的最小值为 5，则实数 a=a =______.
\begin{answer} −6-6 或 44 \end{answer}
\begin{solution} 当 a⩾−1a\geqslant-1 时，分三段展开：
f(x)={2a−3x−1,x⩽−1,2a+1−x,−1⩽x⩽a,3x+1−2a,x⩾a.f(x)= \begin{cases} 2a-3x-1, & x\leqslant-1,\\ 2a+1-x, & -1\leqslant x\leqslant a,\\ 3x+1-2a, & x\geqslant a. \end{cases}
前两段的斜率分别为 −3-3、−1-1，后一段的斜率为 33，所以函数先递减后递增，最小值在 x=ax=a 处取得，且 f(a)=a+1f(a)=a+1. 令 a+1=5a+1=5，得 a=4a=4.
当 a⩽−1a\leqslant-1 时，分三段展开：
f(x)={2a−3x−1,x⩽a,x−1−2a,a⩽x⩽−1,3x+1−2a,x⩾−1.f(x)= \begin{cases} 2a-3x-1, & x\leqslant a,\\ x-1-2a, & a\leqslant x\leqslant-1,\\ 3x+1-2a, & x\geqslant-1. \end{cases}
三段的斜率分别为 −3-3、11、33，所以函数先递减后递增，最小值在 x=ax=a 处取得，且 f(a)=−a−1f(a)=-a-1. 令 −a−1=5-a-1=5，得 a=−6a=-6.
因此 a=−6a=-6 或 a=4a=4. \end{solution}

2015 · 重庆 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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14不等式★★★☆☆
设 aa，b>0b > 0，a+b=5a + b = 5，则 a+1+b+3\sqrt{a + 1} + \sqrt{b + 3} 的最大值为______.

2015 · 重庆 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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16不等式★★★☆☆
若不等式 ∣2x−1∣+∣x+2∣⩾a2+12a+2\left|2x-1\right|+\left|x+2\right|\geqslant a^{2}+\frac{1}{2}a+2 对任意实数 xx 恒成立，则实数 aa 的取值范围是______.

2014 · 重庆 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16不等式★★☆☆☆
若关于实数 xx 的不等式 ∣x−5∣+∣x+3∣<a|x - 5| + |x + 3| < a 无解，则实数 aa 的取值范围是______.
\begin{answer} a⩽8a \leqslant 8 \end{answer}
\begin{solution} 由三角不等式，任意实数 xx 都满足
∣x−5∣+∣x+3∣⩾∣(x−5)−(x+3)∣=8|x-5|+|x+3|\geqslant\left|(x-5)-(x+3)\right|=8
当且仅当 x∈[−3,5]x\in[-3,5] 时等号成立，因此左端的最小值为 88. 当 a⩽8a\leqslant8 时，不可能有左端小于 aa；当 a>8a>8 时，取 x=−3x=-3 即有 8<a8<a，不等式有解. 所以实数 aa 的取值范围为
a⩽8a\leqslant8
\end{solution}

2013 · 重庆 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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15不等式★★★☆☆
设 0⩽α⩽π0 \leqslant \alpha \leqslant \pi，不等式 8x2−(8sin⁡α)x+cos⁡2α⩾08x^{2} - (8\sin \alpha)x + \cos 2\alpha \geqslant 0 对 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，则 α\alpha 的取值范围为______. \begin{answer} [0,π6]∪[5π6,π]\left[0,\frac{\pi}{6}\right]\cup\left[\frac{5\pi}{6},\pi\right] \end{answer} \begin{solution} 关于 xx 的二次式首项系数 8>08>0，要对任意实数 xx 非负，充要条件是判别式不大于零，即
Δ=(−8sin⁡α)2−4⋅8cos⁡2α⩽0\Delta=(-8\sin\alpha)^2-4\cdot8\cos2\alpha\leqslant0
化简得
2sin⁡2α−cos⁡2α⩽02\sin^2\alpha-\cos2\alpha\leqslant0
利用 cos⁡2α=1−2sin⁡2α\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha，得到 4sin⁡2α−1⩽04\sin^2\alpha-1\leqslant0，∣sin⁡α∣⩽12|\sin\alpha|\leqslant\frac12. 在 0⩽α⩽π0\leqslant\alpha\leqslant\pi 上，sin⁡α⩾0\sin\alpha\geqslant0，所以
α∈[0,π6]∪[5π6,π]\alpha\in\left[0,\frac\pi6\right]\cup\left[\frac{5\pi}6,\pi\right]
\end{solution}

2013 · 重庆 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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15指数函数与对数函数★★★★☆
若实数 aa，bb，cc 满足 2a+2b=2a+b2^{a} + 2^{b} = 2^{a + b}，2a+2b+2c=2a+b+c2^{a} + 2^{b} + 2^{c} = 2^{a + b + c}，则 cc 的最大值是______.

2011 · 重庆 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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12不等式★★☆☆☆
已知 t>0t > 0，则函数 y=t2−4t+1ty = \frac{t^2 - 4t + 1}{t} 的最小值为______.

2010 · 重庆 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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12不等式★★☆☆☆
已知 xx，yy 满足
{x−y⩽1,2x+y⩽4,x⩾1,\begin{cases} x - y \leqslant 1,\\ 2x + y \leqslant 4,\\ x \geqslant 1, \end{cases}
则函数 z=x+3yz = x + 3y 的最大值是______.

2007 · 重庆 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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14不等式★★☆☆☆
已知
{2x+3y⩽6,x−y⩾0,y⩾0,\begin{cases} 2x + 3y \leqslant 6,\\ x - y \geqslant 0,\\ y \geqslant 0, \end{cases}
则 z=3x−yz = 3x - y 的最大值为______.

2007 · 重庆 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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16不等式★★★☆☆
已知变量 xx，yy 满足约束条件 1⩽x+y⩽41 \leqslant x + y \leqslant 4，−2⩽x−y⩽2-2 \leqslant x - y \leqslant 2. 若目标函数 z=ax+yz = ax + y（其中 a>0a > 0）仅在点 (3,1)(3,1) 处取得最大值，则 aa 的取值范围为______.

2006 · 重庆 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16不等式★★★☆☆
已知变量 xx，yy 满足约束条件
{x+2y−3⩽0,x+3y−3⩾0,y−1⩽0,\begin{cases} x + 2y - 3 \leqslant 0,\\ x + 3y - 3 \geqslant 0,\\ y - 1 \leqslant 0, \end{cases}
且若目标函数 z=ax+yz = ax + y（其中 a>0a > 0）仅在点 (3,0)(3,0) 处取得最大值，则 aa 的取值范围为______.

2006 · 重庆 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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11集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={x∈R∣x2−x−6<0}A = \{x \in \mathbf{R} \mid x^2 - x - 6 < 0\}，集合 B={x∈R∣∣x−2∣<2}B = \{x \in \mathbf{R} \mid |x - 2| < 2\}，则 A∩B=A \cap B =______.

2005 · 重庆 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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11集合与逻辑基础★☆☆☆☆
若集合 A={x∈R∣x2−4x+3<0}A = \{x \in \mathbf{R} \mid x^2 - 4x + 3 < 0\}，集合 B={x∈R∣(x−2)(x−5)<0}B = \{x \in \mathbf{R} \mid (x - 2)(x - 5) < 0\}，则 A∩B=‾A \cap B =\underline{\hspace{2em}}.

2005 · 重庆 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
若 x2+y2=4x^{2} + y^{2} = 4，则 x−yx - y 的最大值是______.

2005 · 重庆 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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14不等式★★☆☆☆
已知 5x+3y=2\frac{5}{x} + \frac{3}{y} = 2（x>0x > 0，y>0y > 0），则 xyxy 的最小值是______.

2004 · 重庆 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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