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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 中，sin⁡2A−sin⁡2B−sin⁡2C=sin⁡Bsin⁡C\sin^2 A-\sin^2 B-\sin^2 C=\sin B\sin C.
(1) 求 AA； (2) 若 BC=3BC=3，求 △ABC\triangle ABC 周长的最大值.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−a2∣+∣x−2a+1∣f(x)=|x-a^2|+|x-2a+1|.
(1) 当 a=2a=2 时，求不等式 f(x)≥4f(x)\geq 4 的解集； (2) 若 f(x)≥4f(x)\geq 4，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2ln⁡x+1f(x)=2\ln x+1.
(1) 若 f(x)≤2x+cf(x)\le 2x+c，求 cc 的取值范围； (2) 设 a>0a>0，讨论函数 g(x)=f(x)−f(a)x−ag(x)=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} 的单调性.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
已知函数 f(x)=∣x−a2∣+∣x−2a+1∣f(x)=\lvert x-a^2\rvert+\lvert x-2a+1\rvert.
(1) 当 a=2a=2 时，求不等式 f(x)≥4f(x)\ge 4 的解集； (2) 若 f(x)≥4f(x)\ge 4，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
已知 f(x)=∣x−a∣x+∣x−2∣(x−a)f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)<0f(x)<0 的解集； (2) 当 x∈(−∞,1]x\in(-\infty,1] 时，f(x)<0f(x)<0，求 aa 的取值范围.

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
已知 f(x)=∣x−a∣x+∣x−2∣(x−a)f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)<0f(x)<0 的解集； (2) 若 x∈(−∞,1]x\in(-\infty,1] 时，f(x)<0f(x)<0，求 aa 的取值范围.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
设函数 f(x)=5−∣x+a∣−∣x−2∣f(x)=5-|x+a|-|x-2|.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)≥0f(x)\ge0 的解集； (2) 若 f(x)≤1f(x)\le1，求 aa 的取值范围.

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
设函数 f(x)=5−∣x+a∣−∣x−2∣f(x)=5-\lvert x+a\rvert-\lvert x-2\rvert.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)≥0f(x)\ge0 的解集； (2) 若 f(x)≤1f(x)\le1，求 aa 的取值范围.

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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21数列★★★★★
设 mm 个不全相等的正数 a1a_1，a2a_2，…\ldots，ama_m（m⩾7m\geqslant 7）依次围成一个圆圈.
(1) 若 m=2009m=2009，且 a1a_1，a2a_2，…\ldots，a1005a_{1005} 是公差为 dd 的等差数列，而 a1a_1，a2009a_{2009}，a2008a_{2008}，…\ldots，a1006a_{1006} 是公比为 qq 的等比数列；数列 a1a_1，a2a_2，…\ldots，ama_m 的前 nn 项和 SnS_n（n⩽mn\leqslant m）满足：S3=15S_3=15，S2009=S2007+12a1S_{2009}=S_{2007}+12a_1，求通项 ana_n（n⩽mn\leqslant m）. (2) 若每个数 ana_n（n⩽mn\leqslant m）是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：a1+⋯+a6+a72+⋯+am2>ma1a2⋯ama_1+\cdots+a_6+a_7^2+\cdots+a_m^2>ma_1a_2\cdots a_m.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由正数条件 q>0q>0. 等比数列的排列顺序给出 a2009=a1qa_{2009}=a_1q，a2008=a1q2a_{2008}=a_1q^2. 又
S2009−S2007=a2008+a2009=12a1S_{2009}-S_{2007}=a_{2008}+a_{2009}=12a_1
所以 q2+q=12q^2+q=12. 结合 q>0q>0，得 q=3q=3.
令 a1=ta_1=t. 前 10051005 项为等差数列，且
S3=a1+(a1+d)+(a1+2d)=3a1+3d=15S_3=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)=3a_1+3d=15
故 d=5−td=5-t. 因而 an=t+(n−1)(5−t)a_n=t+(n-1)(5-t)，1⩽n⩽10051\leqslant n\leqslant1005. 后面的等比数列按题目给出的次序为 an=t 32010−na_n=t\,3^{2010-n}，1006⩽n⩽20091006\leqslant n\leqslant2009. 为了保证等差部分各项为正，只需两端均为正，即 t>0t>0，t+1004(5−t)=5020−1003t>0t+1004(5-t)=5020-1003t>0. 所以题面条件得到的是一族数列
0<t<50201003,an={t+(n−1)(5−t),1⩽n⩽1005,t 32010−n,1006⩽n⩽2009.0<t<\frac{5020}{1003},\qquad a_n=\begin{cases} t+(n-1)(5-t),&1\leqslant n\leqslant1005,\\ t\,3^{2010-n},&1006\leqslant n\leqslant2009. \end{cases}
题面没有给出 d=qd=q 或其他联系 dd 与 qq 的条件，因此不能唯一确定 tt. 例如额外补充题面未出现的 d=qd=q 时才得到 t=2t=2，d=3d=3，这不能作为原题的必然结论.
\item 由于各项为正，“ana_n 是左右相邻两数平方的等比中项”表示
an2=an−1 2an+1 2a_n^2=a_{n-1}^{\,2}a_{n+1}^{\,2}
其中下标按圆圈循环. 于是 an=an−1an+1a_n=a_{n-1}a_{n+1}，an+1=anan−1a_{n+1}=\frac{a_n}{a_{n-1}}. 逐次使用后一关系，得到 ar+2=ar+1ara_{r+2}=\frac{a_{r+1}}{a_r}，ar+3=1ara_{r+3}=\frac1{a_r}，ar+4=1ar+1a_{r+4}=\frac1{a_{r+1}}，ar+5=arar+1a_{r+5}=\frac{a_r}{a_{r+1}}，ar+6=ara_{r+6}=a_r. 所以数列具有六项周期.
若 m=6k+pm=6k+p，其中 0⩽p<60\leqslant p<6，圆周闭合又使数列具有 pp 项周期. 若 p=1p=1 或 p=5p=5，所有项相等，设为 cc，递推式给出 c=c2c=c^2，因正数而 c=1c=1. 若 p=2p=2 或 p=4p=4，奇数项均为 uu、偶数项均为 vv，递推式给出 u=v2u=v^2、v=u2v=u^2，从而 u=v=1u=v=1. 若 p=3p=3，设三个周期值为 uu，vv，ww，则 u=wvu=wv，v=uwv=uw，w=uvw=uv. 由前两式得 w=1w=1，再由第三式得 u=v=1u=v=1. 这些情形都与“不全相等”矛盾，故 m=6km=6k.
将递推式对 n=1n=1，…\ldots，mm 相乘，设 P=a1a2⋯amP=a_1a_2\cdots a_m，则
P=P2P=P^2
因 P>0P>0，故 P=1P=1. 由 a2=a1a3a_2=a_1a_3，a3=a2a4a_3=a_2a_4，a4=a3a5a_4=a_3a_5，a5=a4a6a_5=a_4a_6 依次得到 a3=a2a1a_3=\frac{a_2}{a_1}，a4=1a1a_4=\frac1{a_1}，a5=1a2a_5=\frac1{a_2}，a6=a1a2a_6=\frac{a_1}{a_2}. 因此 a1+a4⩾2a_1+a_4\geqslant2，a2+a5⩾2a_2+a_5\geqslant2，a3+a6⩾2a_3+a_6\geqslant2. 三式同时取等号会导致 a1=a2=1a_1=a_2=1，进而六项全为 11，再由六项周期与“不全相等”矛盾，所以
a1+⋯+a6>6a_1+\cdots+a_6>6
同样由平方的均值不等式， a12+a42⩾2a_1^2+a_4^2\geqslant2，a22+a52⩾2a_2^2+a_5^2\geqslant2，a32+a62⩾2a_3^2+a_6^2\geqslant2， 故 a12+⋯+a62⩾6a_1^2+\cdots+a_6^2\geqslant6. 因 m=6km=6k 且六项周期，
a72+⋯+am2=(k−1)(a12+⋯+a62)⩾6(k−1)a_7^2+\cdots+a_m^2=(k-1)(a_1^2+\cdots+a_6^2)\geqslant6(k-1)
于是
a1+⋯+a6+a72+⋯+am2>6+6(k−1)=6k=m=mP=ma1a2⋯ama_1+\cdots+a_6+a_7^2+\cdots+a_m^2 >6+6(k-1)=6k=m=mP=ma_1a_2\cdots a_m
证毕. \end{enumerate} \end{solution}

2009 · 重庆 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax4ln⁡x+bx4−cf(x) = ax^{4}\ln x + bx^{4} - c（x>0x > 0）在 x=1x = 1 处取得极值 −3−c-3 - c，其中 aa，bb，cc 为常数.
(1) 试确定 aa，bb 的值； (2) 讨论函数 f(x)f(x) 的单调区间； (3) 若对任意 x>0x > 0，不等式 f(x)⩾−2c2f(x) \geqslant -2c^{2} 恒成立，求 cc 的取值范围.

2007 · 重庆 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★☆
已知定义域为 R\mathbf{R} 的函数 f(x)=−2x+b2x+1+af(x) = \frac{-2^x + b}{2^{x + 1} + a} 是奇函数.
(1) 求 aa，bb 的值； (2) 若对任意的 t∈Rt \in \mathbf{R}，不等式 f(t2−2t)+f(2t2−k)<0f(t^2 - 2t) + f(2t^2 - k) < 0 恒成立，求 kk 的取值范围.

2006 · 重庆 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
设 p>0p>0 是一常数，过点 Q(2p,0)Q(2p,0) 的直线与抛物线 y2=2pxy^2=2px 交于相异两点 AA，BB，以线段 ABAB 为直径作圆 HH（HH 为圆心）. 试证抛物线顶点在圆 HH 的圆周上；并求圆 HH 的面积最小时直线 ABAB 的方程.

2004 · 重庆 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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