已知
f(x)=2∣x∣+∣x−2∣.
(1) 求不等式
f(x)≤6−x 的解集；
(2) 在直角坐标系
xOy 中，求不等式组
{f(x)≤y,x+y−6≤0 所确定的平面区域的面积.
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item 当
x<0 时，
f(x)=2−3x；当
0≤x≤2 时，
f(x)=x+2；当
x>2 时，
f(x)=3x−2. 因此
⎩⎨⎧2−3x≤6−x,x+2≤6−x,3x−2≤6−x,x<0,0≤x≤2,x>2.
第一种情形得
−2≤x<0，第二种情形得
0≤x≤2，第三种情形无解，所以不等式的解集为
[−2,2].
\item 不等式组表示的区域位于曲线
y=f(x) 上方、直线
y=6−x 下方. 由第（1）问，区域的横坐标范围为
[−2,2]. 当
−2≤x≤0 时，上、下边界之差为
(6−x)−(2−3x)=4+2x；当
0≤x≤2 时，上、下边界之差为
(6−x)−(x+2)=4−2x. 因此区域面积为
∫−20(4+2x)dx+∫02(4−2x)dx=4+4=8
\end{enumerate}
\end{solution}
