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13高考真题5分函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=2x+2−x−mf(x) = 2^x + 2^{-x} - m 有两个零点，则 mm 的取值范围是 ______。

2026全国二卷 · 第 13 题 · 填空题

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18高考真题17分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 F(−1,0)F(-1,0)，离心率为 12\dfrac{1}{2}。
（1）求 CC 的方程；
（2）设 OO 为坐标原点，过 FF 且斜率大于 00 的动直线 ll 与 CC 交于 PP，QQ 两点，其中 QQ 在第三象限，直线 POPO 与 CC 的另一个交点为 RR。
（i）若 △PQR\triangle PQR 的面积是 △PFO\triangle PFO 的面积的 33 倍，求 ll 的方程；
（ii）求 tan⁡∠PQR\tan\angle PQR 的最小值。

2026全国一卷 · 第 18 题 · 解答题

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23高考真题10分不等式★★★★☆
已知实数 a,ba, b 满足 a+b⩾3a + b \geqslant 3. (1) 证明: 2a2+2b2>a+b2a^2 + 2b^2 > a + b; (2) 证明: ∣a−2b2∣+∣b−2a2∣⩾6|a - 2b^2| + |b - 2a^2| \geqslant 6.

2024全国甲卷(理) · 第 23 题 · 解答题

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23高考真题12分不等式★★★★☆
已知 a,b,ca, b, c 都是正数, 且 a32+b32+c32=1a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}} = 1, 证明:
(1) abc≤19abc \le \dfrac{1}{9};
(2) ab+c+ba+c+ca+b≤12abc\dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{a + c} + \dfrac{c}{a + b} \le \dfrac{1}{2\sqrt{abc}}.

2022全国乙卷(理) · 第 23 题 · 解答题

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23高考真题12分不等式★★★★☆
已知 aa，bb，cc 都是正数，且 a32+b32+c32=1a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}} = 1，证明：
(1) abc⩽19abc \leqslant \dfrac{1}{9}；
(2) ab+c+ba+c+ca+b⩽12abc\dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{a + c} + \dfrac{c}{a + b} \leqslant \dfrac{1}{2\sqrt{abc}}。

2022全国乙卷(文) · 第 23 题 · 解答题

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