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16概率与统计★★★☆☆
设甲，乙两位同学上学期间，每天 7:307{:}30 之前到校的概率均为 23\dfrac{2}{3}. 假定甲，乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
(1) 用 XX 表示甲同学上学期间的三天中 7:307{:}30 之前到校的天数，求随机变量 XX 的分布列和数学期望； (2) 设 MM 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7:307{:}30 之前到校的天数比乙同学在 7:307{:}30 之前到校的天数恰好多 22”，求事件 MM 发生的概率.

2019 · 天津 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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15概率与统计★★★☆☆
2019 年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育，继续教育，大病医疗，住房贷款利息或者住房租金，赡养老人等六项专项附加扣除. 某单位老，中，青员工分别有 72,108,12072,108,120 人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 2525 人调查专项附加扣除的享受情况.
(1) 应从老，中，青员工中分别抽取多少人？ (2) 抽取的 2525 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有 66 人，分别记为 AA，BB，CC，DD，EE，FF. 享受情况如右表，其中“∘\circ”表示享受，“×\times”表示不享受. 现从这 66 人中随机抽取 22 人接受采访.
员工项目AABBCCDDEEFF
继续教育×\times×\times∘\circ×\times∘\circ∘\circ
大病医疗×\times×\times×\times∘\circ×\times×\times
住房贷款利息∘\circ∘\circ×\times×\times∘\circ∘\circ
住房租金×\times×\times∘\circ×\times×\times×\times
赡养老人∘\circ∘\circ×\times×\times×\times∘\circ
(i) 试用列举法写出所有可能的抽取结果； (ii) 设事件 MM 为“从这 66 人中随机抽取 22 人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 MM 发生的概率.

2019 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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16概率与统计★★★☆☆
已知某单位甲，乙，丙三个部门的员工人数分别为 2424，1616，1616. 现采用分层抽样的方法从中抽取 77 人，进行睡眠时间的调查.
(1) 应从甲，乙，丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (2) 若抽出的 77 人中有 44 人睡眠不足，33 人睡眠充足，现从这 77 人中随机抽取 33 人做进一步的身体检查.
(i) 用 XX 表示抽取的 33 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 XX 的分布列与数学期望； (ii) 设 AA 为事件“抽取的 33 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件 AA 发生的概率.

2018 · 天津 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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15概率与统计★★★☆☆
已知某校甲，乙，丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240,160,160240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取 77 名同学去某敬老院参加献爱心活动.
(1) 应从甲，乙，丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (2) 设抽出的 77 名同学分别用 AA，BB，CC，DD，EE，FF，GG 表示，现从中随机抽取 22 名同学承担敬老院的卫生工作.
(i) 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； (ii) 设 MM 为事件“抽取的 22 名同学来自同一年级”，求事件 MM 发生的概率.

2018 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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16概率与统计★★★☆☆
从甲地到乙地要经过 33 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 12\dfrac{1}{2}，13\dfrac{1}{3}，14\dfrac{1}{4}.
(1) 设 XX 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 XX 的分布列和数学期望； (2) 若有 22 辆车独立地从甲地到乙地，求这 22 辆车共遇到 11 个红灯的概率.

2017 · 天津 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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16概率与统计★★★☆☆
某小组共 1010 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 11，22，33 的人数分别为 33，33，44. 现从这 1010 人中随机选出 22 人作为该组代表参加座谈会.
(1) 设 AA 为事件“选出的 22 人参加义工活动次数之和为 44”，求事件 AA 发生的概率； (2) 设 XX 为选出的 22 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 XX 的分布列和数学期望.

2016 · 天津 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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16概率与统计★★★☆☆
为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加. 现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名. 从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(1) 设 AA 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”，求事件 AA 发生的概率； (2) 设 XX 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 XX 的分布列和数学期望.

2015 · 天津 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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15概率与统计★★☆☆☆
设甲，乙，丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27， 9， 18. 现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取 6 名运动员组队参加比赛.
(1) 求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数； (2) 将抽取的 6 名运动员进行编号，编号分别为 A1A_{1}，A2A_{2}，A3A_{3}，A4A_{4}，A5A_{5}，A6A_{6}. 现从这 6 名运动员中随机抽取 2 人参加双打比赛.
(i) 用所给编号列出所有可能的结果； (ii) 设 AA 为事件：“编号为 A5A_{5} 和 A6A_{6} 的两名运动员中至少有 1 人被抽到”，求事件 AA 发生的概率.

2015 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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16概率与统计★★★☆☆
某大学志愿者协会有 66 名男同学，44 名女同学. 在这 1010 名同学中，33 名同学来自数学学院，其余 77 名同学来自物理，化学等其他互不相同的七个学院. 现从这 1010 名同学中随机选取 33 名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.
(1) 求选出的 33 名同学是来自互不相同学院的概率； (2) 设 XX 为选出的 33 名同学中女同学的人数，求随机变量 XX 的分布列和数学期望.

2014 · 天津 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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15概率与统计★★☆☆☆
某校夏令营有 33 名男同学 AA，BB，CC 和 33 名女同学 XX，YY，ZZ，其年级情况如下表.
现从这 66 名同学中随机选出 22 人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）.
(1) 用表中字母列举出所有可能的结果； (2) 设 MM 为事件“选出的 22 人来自不同年级且恰有 11 名男同学和 11 名女同学”，求事件 MM 发生的概率.

2014 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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16概率与统计★★★☆☆
一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1， 2， 3， 4；白色卡片3张，编号分别为2， 3， 4. 从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）.
(1) 求取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概率. (2) 在取出的 4 张卡片中，红色卡片编号的最大值设为 XX，求随机变量 XX 的分布列和数学期望.

2013 · 天津 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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15概率与统计★★★☆☆
某产品的三个质量指标分别为 xx，yy，zz，用综合指标 S=x+y+zS = x + y + z 评价该产品的等级. 若 S⩽4S \leqslant 4，则该产品为一等品. 现从一批该产品中，随机抽取 1010 件产品作为样本，其质量指标列表如下：
(1) 利用上表提供的样本数据估计出该批产品的一等品率； (2) 在该样本的一等品中，随机抽取 22 件产品.
① 用产品编号列出所有可能的结果； ② 设事件 BB 为“在取出的 22 件产品中，每件产品的综合指标 SS 都等于 44”，求事件 BB 发生的概率.

2013 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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16概率与统计★★★☆☆
有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲，乙两个游戏可供参加者选择. 为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
(1) 求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率； (2) 求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3) 用 XX，YY 分别表示这 4 个人中去参加甲，乙游戏的人数，记 ξ=∣X−Y∣\xi = |X - Y|，求随机变量 ξ\xi 的分布列与数学期望 E(ξ)E(\xi).

2012 · 天津 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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15概率与统计★★★☆☆
某地区有小学 21 所21\text{ 所}，中学 14 所14\text{ 所}，大学 7 所7\text{ 所}，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所6\text{ 所} 学校对学生进行视力调查.
(1) 求应从小学，中学，大学中分别抽取的学校数目； (2) 若从抽取的 6 所6\text{ 所} 学校中随机抽取 2 所2\text{ 所} 学校做进一步数据分析，
(i) 列出所有可能的抽取结果； (ii) 求抽取的 2 所2\text{ 所} 学校均为小学的概率.

2012 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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16概率与统计★★★☆☆
学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有33个白球，22个黑球，乙箱子里装有11个白球，22个黑球，这些球除颜色外完全相同. 每次游戏从这两个箱子里各随机摸出22个球，若摸出的白球不少于22个，则获奖. （每次游戏结束后将球放回原箱）
(1) 求在一次游戏中
(i) 摸出 33 个白球的概率； (ii) 获奖的概率. (2) 求在两次中获奖次数 XX 的分布列及数学期望 E(X)E(X).
\begin{solution} 记 UU 为从甲箱摸出的白球数，VV 为从乙箱摸出的白球数. 由组合数等可能性， P(U=0)=C22C52=110P(U=0)=\frac{\mathrm C_2^2}{\mathrm C_5^2}=\frac1{10}，P(U=1)=C31C21C52=35P(U=1)=\frac{\mathrm C_3^1\mathrm C_2^1}{\mathrm C_5^2}=\frac35，P(U=2)=C32C52=310P(U=2)=\frac{\mathrm C_3^2}{\mathrm C_5^2}=\frac3{10}. 乙箱中只有一个白球，故 P(V=0)=C22C32=13P(V=0)=\frac{\mathrm C_2^2}{\mathrm C_3^2}=\frac13，P(V=1)=C11C21C32=23P(V=1)=\frac{\mathrm C_1^1\mathrm C_2^1}{\mathrm C_3^2}=\frac23，P(V=2)=0P(V=2)=0.
\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item 摸出 33 个白球只可能是 U=2U=2，V=1V=1，故
P(U+V=3)=310⋅23=15P(U+V=3)=\frac3{10}\cdot\frac23=\frac15
\item 获奖事件为 U+V⩾2U+V\geqslant2，包括 (U,V)=(2,0)(U,V)=(2,0)，(2,1)(2,1)，(1,1)(1,1). 由于两箱独立，
P(U+V⩾2)=P(U=2)+P(U=1)P(V=1)=310+35⋅23=710P(U+V\geqslant2) =P(U=2)+P(U=1)P(V=1) =\frac3{10}+\frac35\cdot\frac23 =\frac7{10}
\end{enumerate}
\item 每次游戏独立，令获奖概率 p=710p=\frac{7}{10}，则两次获奖次数 XX 服从参数为 22，pp 的二项分布. 因此
P(X=0)=(310)2=9100P(X=0)=\left(\frac3{10}\right)^2=\frac9{100}
P(X=1)=2⋅710⋅310=2150P(X=1)=2\cdot\frac7{10}\cdot\frac3{10}=\frac{21}{50}
P(X=2)=(710)2=49100P(X=2)=\left(\frac7{10}\right)^2=\frac{49}{100}
且
E(X)=2p=75E(X)=2p=\frac75
\end{enumerate} \end{solution}

2011 · 天津 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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15概率与统计★★★☆☆
编号分别为 A1A_{1}，A2A_{2}，⋯\cdots，A16A_{16} 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
(1) 将得分在对应区间内的人数填入相应的空格； (2) 从得分在区间 [20,30)[20, 30) 内的运动员中随机抽取 2 人，
(i) 用运动员编号列出所有可能的抽取结果； (ii) 求这 2 人得分之和大于 50 的概率.

2011 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某射手每次射击击中目标的概率是 23\frac{2}{3}，且各次射击的结果互不影响.
(1) 假设这名射手射击 5 次5\text{ 次}，求恰有 2 次2\text{ 次} 击中目标的概率； (2) 假设这名射手射击 5 次5\text{ 次}，求有 3 次3\text{ 次} 连续击中目标，另外 2 次2\text{ 次} 未击中目标的概率； (3) 假设这名射手射击 3 次3\text{ 次}，每次射击，击中目标得 1 分1\text{ 分}，未击中目标得 0 分0\text{ 分}，在 3 次3\text{ 次} 射击中，若有 2 次2\text{ 次} 连续击中，而另外 1 次1\text{ 次} 未击中，则额外加 1 分1\text{ 分}；若 3 次3\text{ 次} 全击中，则额外加 3 分3\text{ 分}. 记 ξ\xi 为射手射击 3 次3\text{ 次}后的总的分数，求 ξ\xi 的分布列.

2010 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★☆☆☆
有编号为 A1A_1，A2A_2，⋯\cdots，A10A_{10} 的 10 个零件，测量其直径（单位：cm\mathrm{cm}），得到下面数据：
其中直径在区间 [1.48,1.52][1.48,1.52] 内的零件为一等品.
(1) 从上述 10 个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； (2) 从一等品零件中，随机抽取 2 个.
(i) 用零件的编号列出所有可能的抽取结果； (ii) 求这 2 个零件直径相等的概率.

2010 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
在 1010 件产品中，有 33 件一等品，44 件二等品，33 件三等品. 从这 1010 件产品中任取 33 件，求：
(1) 取出的 33 件产品中一等品件数 XX 的分布列和数学期望. (2) 取出的 33 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.

2009 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从 AA，BB，CC 三个区中抽取 7 个工厂进行调查，已知 AA，BB，CC 区中分别有 18，27，18 个工厂.
(1) 求从 AA，BB，CC 区中分别抽取的工厂个数； (2) 若从抽取的 7 个工厂中随机抽取 2 个进行调查结果的对比，用列举法计算这 2 个工厂中至少有 1 个来自 AA 区的概率.

2009 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
甲，乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 12\frac{1}{2} 与 pp，且乙投球 22 次均未命中的概率为 116\frac{1}{16}.
(1) 求乙投球的命中率 pp. (2) 若甲投球 11 次，乙投球 22 次，两人共命中的次数记为 ξ\xi，求 ξ\xi 的分布列和数学期望.

2008 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
甲，乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 12\frac{1}{2} 与 pp，且乙投球 2 次均未命中的概率为 116\frac{1}{16}.
(1) 求乙投球的命中率 pp； (2) 求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率； (3) 若甲，乙两人各投球 2 次，求两人共命中 2 次的概率.

2008 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
已知甲盒内有大小相同的 11 个红球和 33 个黑球，乙盒内有大小相同的 22 个红球和 44 个黑球. 现从甲，乙两个盒内各任取 22 个球.
(1) 求取出的 44 个球均为黑球的概率. (2) 求取出的 44 个球中恰有 11 个红球的概率. (3) 设 ξ\xi 为取出的 44 个球中红球的个数，求 ξ\xi 的分布列和数学期望.

2007 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
已知甲盒内有大小相同的 33 个红球和 44 个黑球，乙盒内有大小相同的 55 个红球和 44 个黑球. 现从甲，乙两个盒内各任取 22 个球.
(1) 求取出的 44 个球均为红球的概率. (2) 求取出的 44 个球中恰有 11 个红球的概率.

2007 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为 35\frac{3}{5}，且每次射击的结果互不影响.
(1) 求射手在 33 次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）； (2) 求射手第 33 次击中目标时，恰好射击了 44 次的概率（用数字作答）； (3) 设随机变量 ξ\xi 表示射手第 33 次击中目标时已射击的次数，求 ξ\xi 的分布列.

2006 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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