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1715分概率与统计★★★☆☆
设整数 N≥2N\ge 2. 某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 NN 次，当且仅当投中 11 次时或 NN 次均未投中时，停止练习. 设该同学每次投中的概率为 pp（0<p<10<p<1），各次投中与否相互独立. 记 XX 为停止练习时该同学的投篮次数.
(1) 当 N=4N=4，p=13p=\dfrac{1}{3} 时，求 XX 的分布列； (2) 设 kk，mm 均为自然数.
(i) 当 k≤N−1k\le N-1 时，求 P(X>k)P(X>k)； (ii) 当 k+m≤N−1k+m\le N-1 时，证明：P(X>k+m∣X>k)=P(X>m)P(X>k+m\mid X>k)=P(X>m)．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1513分概率与统计★★★☆☆
为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
\multicolumn1∣c∣组别\multicolumn3c∣超声波检查结果\cline2−4正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000\begin{array}{c} \hline \multicolumn{1}{|c|}{组别} & \multicolumn{3}{c|}{超声波检查结果} \\ \cline{2-4} & 正常 & 不正常 & 合计 \\ \hline 患该疾病 & 20 & 180 & 200 \\ \hline 未患该疾病 & 780 & 20 & 800 \\ \hline 合计 & 800 & 200 & 1000 \\ \hline \end{array}
(1) 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 pp，求 pp 的估计值； (2) 根据小概率值 α=0.001\alpha = 0.001 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\chi^2 = \frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

2025 · 全国 · 一卷 · 第 15 题 · 解答题

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1917分数列★★★★★
设 mm 为正整数，数列 a1a_1，a2a_2，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 为公差不为 00 的等差数列，若删去两项 aia_i，aja_j（i<ji<j） 后剩余 4m4m 项可平均分为 mm 组且每组 4 个数都成等差，则称该数列为 (i,j)(i,j)-可分数列.
(1) 写出所有 (i,j)(i,j)，1≤i<j≤61\le i<j\le6，使 a1a_1，…\dots，a6a_6 是 (i,j)(i,j)-可分数列； (2) 当 m≥3m\ge3 时，证明 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (2,13)(2,13)-可分数列； (3) 从 11，22，…\dots，4m+24m+2 中不放回任取 i<ji<j，设 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (i,j)(i,j)-可分数列的概率为 PmP_m，证明 Pm>18P_m>\frac18.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1917分概率与统计★★★☆☆
某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异. 经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该项指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 cc，将该指标大于 cc 的人判定为阳性，小于或等于 cc 的人判定为阴性. 此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 p(c)p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为 q(c)q(c). 假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1) 当漏诊率 p(c)=0.5%p(c)=0.5\% 时，求临界值 cc 和误诊率 q(c)q(c)； (2) 设函数 f(c)=p(c)+q(c)f(c)=p(c)+q(c). 当 c∈[95,105]c\in[95,105] 时，求 f(c)f(c) 的解析式，并求 f(c)f(c) 在区间 [95,105][95,105] 的最小值.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 19 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山. 为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 1010 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2\mathrm{m}^2）和材积量（单位：m3\mathrm{m}^3），得到如下数据：
并计算得 ∑i=110xi2=0.038\sum_{i=1}^{10}x_i^2=0.038，∑i=110yi2=1.6158\sum_{i=1}^{10}y_i^2=1.6158，∑i=110xiyi=0.2474\sum_{i=1}^{10}x_iy_i=0.2474.
附：相关系数 r=∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑i=1n(xi−xˉ)2∑i=1n(yi−yˉ)2r=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left( x_i-\bar{x} \right)\left( y_i-\bar{y} \right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_i-\bar{x} \right)^2\sum_{i=1}^{n}\left( y_i-\bar{y} \right)^2}}，1.896≈1.377\sqrt{1.896}\approx1.377.
(1) 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2) 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 0.010.01）； (3) 现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 186m2186\mathrm{m}^2. 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比. 利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山. 为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 1010 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2\text{m}^2）和材积量（单位：m3\text{m}^3），得到如下数据：
样本号 ii12345
材积量 yiy_i0.250.400.220.540.51
样本号 ii678910
------------------
材积量 yiy_i0.340.360.460.420.40
并计算得 ∑i=110xi=0.6\sum_{i=1}^{10}x_i=0.6，∑i=110yi=3.9\sum_{i=1}^{10}y_i=3.9，∑i=110xi2=0.038\sum_{i=1}^{10}x_i^2=0.038； ∑i=110yi2=1.6158\sum_{i=1}^{10}y_i^2=1.6158，∑i=110xiyi=0.2474\sum_{i=1}^{10}x_iy_i=0.2474.
(1) 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2) 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 0.010.01）； (3) 现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 186 m2186\text{ m}^2. 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.
附：相关系数 r=∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑i=1n(xi−xˉ)2∑i=1n(yi−yˉ)2r=\dfrac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2\sum_{i=1}^n(y_i-\bar{y})^2}}，且 1.896≈1.377\sqrt{1.896}\approx1.377.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 1010 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 xx 和 yy，样本方差分别记为 s12s_1^2 和 s22s_2^2.
(1) 求 xx，yy，s12s_1^2，s22s_2^2； (2) 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 y−x(s12+s22)10≥2\dfrac{y-x}{\sqrt{\frac{\left( s_1^2+s_2^2 \right)}{10}}}\ge 2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 1010 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 xˉ\bar{x} 和 yˉ\bar{y}，样本方差分别记为 s12s_1^2 和 s22s_2^2.
(1) 求 xˉ\bar{x}，yˉ\bar{y}，s12s_1^2，s22s_2^2； (2) 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 yˉ−xˉ≥2s12+s2210\bar{y}-\bar{x}\ge2\sqrt{\dfrac{s_1^2+s_2^2}{10}}，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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19概率与统计★★★★☆
甲，乙，丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签，甲，乙首先比赛，丙轮空. 设每场比赛双方获胜的概率都为 12\dfrac{1}{2}.
(1) 求甲连胜四场的概率； (2) 求需要进行第五场比赛的概率； (3) 求丙最终获胜的概率.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为 A，B，C，D 四个等级. 加工业务约定：对于 A 级品，B 级品，C 级品，厂家每件分别收取加工费 9090 元，5050 元，2020 元；对于 D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费 5050 元. 该厂有甲，乙两个分厂可承接加工业务. 甲分厂加工成本费为 2525 元/件，乙分厂加工成本费为 2020 元/件. 厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了 100100 件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
乙分厂产品等级的频数分布表
(1) 分别估计甲，乙两分厂加工出来的一件产品为 AA 级品的概率； (2) 分别求甲，乙两分厂加工出来的 100100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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21概率与统计★★★★★
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验. 试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药. 一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 44 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 11 分，乙药得 −1-1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 11 分，甲药得 −1-1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 00 分. 甲、乙两种药的治愈率分别记为 α\alpha 和 β\beta，一轮试验中甲药的得分记为 XX.
(1) 求 XX 的分布列； (2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予 44 分，pip_i（i=0i=0，11，⋯\cdots，88）表示“甲药的累计得分为 ii 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p0=0p_0=0，p8=1p_8=1，pi=api−1+bpi+cpi+1p_i=ap_{i-1}+bp_i+cp_{i+1}（i=1i=1，22，⋯\cdots，77），其中 a=P(X=−1)a=P(X=-1)，b=P(X=0)b=P(X=0)，c=P(X=1)c=P(X=1). 假设 α=0.5\alpha=0.5，β=0.8\beta=0.8.
(i) 证明：{pi+1−pi}\{p_{i+1}-p_i\}（i=0i=0，11，22，⋯\cdots，77）为等比数列； (ii) 求 p4p_4，并根据 p4p_4 的值解释这种试验方案的合理性.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某商场为提高服务质量，随机调查了 5050 名男顾客和 5050 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意不满意
女顾客3020
(1) 分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； (2) 能否有 95%95\% 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}.
P(K2≥k)P(K^2\ge k)0.0500.0500.0100.0100.0010.001

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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20概率与统计★★★★☆
某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件200\text{ 件}，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品. 检验时，先从这箱产品中任取 20 件20\text{ 件} 作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验. 设每件产品为不合格品的概率都为 pp（0<p<10<p<1），且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1) 记 20 件20\text{ 件} 产品中恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品的概率为 f(p)f(p)，求 f(p)f(p) 的最大值点 p0p_0； (2) 现对一箱产品检验了 20 件20\text{ 件}，结果恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品，以（1）中确定的 p0p_0 作为 pp 的值. 已知每件产品的检验费用为 2 元2\text{ 元}，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元25\text{ 元} 的赔偿费用.
(i) 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 XX，求 EXEX； (ii) 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
某家庭记录了未使用节水龙头 5050 天的日用水量数据（单位：m3\text{m}^3）和使用了节水龙头 5050 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头 5050 天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头 5050 天的日用水量频数分布表
(1) 作出使用了节水龙头 5050 天的日用水量数据的频率分布直方图； (2) 估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35 m30.35\text{ m}^3 的概率； (3) 估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365365 天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
已知 22 件次品和 33 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 22 件次品或者检测出 33 件正品时检测结束.
(1) 求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2) 已知每检测一件产品需要费用 100100 元，设 XX 表示直到检测出 22 件次品或者检测出 33 件正品时所需要的检测费用（单位：元），求 XX 的分布列和均值（数学期望）.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 第一次检测出次品、第二次检测出正品的概率为
P=25⋅34=310P=\frac25\cdot\frac34=\frac3{10}
\item 若前两次都是次品，第二次检测结束，所以
P(X=200)=25⋅14=110P(X=200)=\frac25\cdot\frac14=\frac1{10}
第三次结束的情形为 BGBBGB、GBBGBB 或 GGGGGG，其中 BB 表示次品，GG 表示正品. 这三个有序结果的概率均为 110\frac1{10}，因此
P(X=300)=310P(X=300)=\frac3{10}
前四次才结束时，前三次必须恰有一件次品和两件正品，其概率为
P(X=400)=C21C32C53=610P(X=400)=\frac{\mathrm C_2^1\mathrm C_3^2}{\mathrm C_5^3}=\frac6{10}
此时第四件无论是次品还是正品，都会使相应数量达到终止条件. 因而 XX 的分布为 P(X=200)=110P(X=200)=\frac1{10}、P(X=300)=310P(X=300)=\frac3{10}、P(X=400)=610P(X=400)=\frac6{10}，且
E(X)=200⋅110+300⋅310+400⋅610=350E(X)=200\cdot\frac1{10}+300\cdot\frac3{10}+400\cdot\frac6{10}=350
\end{enumerate} \end{solution}

2015 · 安徽 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某企业为了了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问 50 名50\text{ 名} 职工，根据这 50 名50\text{ 名} 职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：[40,50)\left[40,50\right)，[50,60)\left[50,60\right)，…，[80,90)\left[80,90\right)，[90,100]\left[90,100\right].
(1) 求频率分布直方图中 aa 的值； (2) 估计该企业的职工对该部门评分不低于 8080 的概率； (3) 从评分在 [40,60)\left[40,60\right) 的受访职工中，随机抽取 2 人2\text{ 人}，求此 22 人评分都在 [40,50)\left[40,50\right) 的概率.

2015 · 安徽 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为 23\frac{2}{3}，乙获胜的概率为 13\frac{1}{3}，各局比赛结果相互独立.
(1) 求甲在 4 局以内（含 4 局）赢得比赛的概率； (2) 记 XX 为比赛决出胜负时的总局数，求 XX 的分布列和均值（数学期望）.

2014 · 安徽 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某高校共有学生 15000 人15000\text{ 人}，其中男生 10500 人10500\text{ 人}，女生 4500 人4500\text{ 人}，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集 300 位300\text{ 位} 学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时\text{小时}）.
(1) 应收集多少位女生样本数据？ (2) 根据这 300 个300\text{ 个}样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：[0,2][0,2]，(2,4](2,4]，(4,6](4,6]，(6,8](6,8]，(8,10](8,10]，(10,12](10,12]. 估计该校学生每周平均体育运动时间超过 4 个小时4\text{ 个小时} 的概率. (3) 在样本数据中，有 60 位60\text{ 位}女生的每周平均体育运动时间超过 4 个小时4\text{ 个小时}. 请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有 95%95\% 的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2 = \frac{n(ad - bc)^2}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)}
P(K2⩾k0)P(K^{2} \geqslant k_{0})0.100.050.0100.005
k0k_{0}2.7063.8416.6357.879

2014 · 安徽 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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21概率与统计★★★★★
某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动. 分别由李老师和张老师负责，已知该系共有 nn 位学生，每次活动均需该系 kk 位学生参加（nn 和 kk 都是固定的正整数）. 假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给该系 kk 位学生，且所发信息都能收到. 记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为 XX.
(1) 求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (2) 求使 P(X=m)P(X = m) 取得最大值的整数 mm.

2013 · 安徽 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
为调查甲，乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况. 用简单随机抽样，从这两校中各抽取 3030 名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图：
(1) 若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.050.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（6060 分及 6060 分以上为及格）； (2) 设甲，乙两校高三年级学生这次联考平均成绩分别为 xˉ1\bar{x}_{1}，xˉ2\bar{x}_{2}，估计 xˉ1−xˉ2\bar{x}_{1} - \bar{x}_{2} 的值.
\begin{array}{c} \multicolumn{1}{c}{甲} & \ & \multicolumn{1}{c}{乙} \\ \hline $7$ & 4 & $5$ \\ $5\;3\;3\;2$ & 5 & $3\;3\;8$ \\ $5\;5\;4\;3\;3\;3\;1\;0\;0$ & 6 & $0\;0\;0\;1\;1\;2\;2\;3\;3\;5$ \\ $8\;6\;6\;2\;2\;1\;1\;0\;0$ & 7 & $0\;0\;2\;2\;2\;3\;3\;6\;6\;9$ \\ $7\;5\;4\;4\;2$ & 8 & $1\;1\;5\;5\;8$ \\ $2\;0$ & 9 & $0$ \end{array}

2013 · 安徽 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题，若调用的是 A 类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道 A 类型试题和一道 B 类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是 B 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束. 试题库中现共有 n+mn + m 道试题，其中有 nn 道 A 类型试题和 mm 道 B 类型试题，以 XX 表示两次调题工作完成后，试题库中 A 类试题的数量.
(1) 求 X=n+2X = n + 2 的概率. (2) 设 m=nm = n，求 XX 的分布列和均值 （数学期望）.

2012 · 安徽 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★☆☆☆
若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过 1 mm1\mathrm{~mm} 时，则视为合格品，否则视为不合格品. 在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中随机抽取 5000 件进行检测，结果发现有 50 件不合格品. 计算这 50 件不合格品的直径长与标准值的差（单位：mm），将所得数据分组，得到如下频率分布表：
[−2,−1)[-2,-1)8\fillinblank{}
(1,2](1,2]\fillinblank{}0.50
(2,3](2,3]10\fillinblank{}
(3,4](3,4]\fillinblank{}\fillinblank{}
(1) 将上面表格中缺少的数据补充完整； (2) 估计该厂生产的这种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间 (1,3](1,3] 内的概率； (3) 现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有 20 件不合格品，据此估算这批产品中的合格品的件数.

2012 · 安徽 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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20概率与统计★★★★☆
工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过 1010 分钟，如果前一个人 1010 分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人. 现在一共只有甲，乙，丙三个人可派. 他们各自能完成任务的概率分别 p1p_{1}，p2p_{2}，p3p_{3}. 假设 p1p_{1}，p2p_{2}，p3p_{3} 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.
(1) 如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率. 若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？ (2) 若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为 q1q_{1}，q2q_{2}，q3q_{3}，其中 q1q_{1}，q2q_{2}，q3q_{3} 是 p1p_{1}，p2p_{2}，p3p_{3} 的一个排列. 求所需派出人员数目 XX 的分布列和均值（数学期望）E(X)E(X)； (3) 假定 1>p1>p2>p31 > p_{1} > p_{2} > p_{3}，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小.

2011 · 安徽 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20概率与统计★★☆☆☆
某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份2002200220042004200620062008200820102010
(1) 利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 y^=bx+a\hat{y} = bx + a； (2) 利用（1）中所求出的直线方程预测该地 20122012 年的粮食需求量.

2011 · 安徽 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21概率与统计★★★★☆
品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一般通常采用的测试方法如下：拿出 nn 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这 nn 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试. 根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.
现设 n=4n = 4，分别以 a1a_{1}，a2a_{2}，a3a_{3}，a4a_{4} 表示第一次排序时被排为 11，22，33，44 的四种酒在第二次排序时的序号，并令 X=∣1−a1∣+∣2−a2∣+∣3−a3∣+∣4−a4∣X = |1 - a_{1}| + |2 - a_{2}| + |3 - a_{3}| + |4 - a_{4}|，则 XX 是对两次排序的偏离程度的一种描述.
(1) 写出 XX 的可能值集合； (2) 假设 a1a_{1}，a2a_{2}，a3a_{3}，a4a_{4} 等可能地为 11，22，33，44 的各种排列，求 XX 的分布列； (3) 某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有 X⩽2X \leqslant 2，
(i) 试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率 （假定各轮测试相互独立）； (ii) 你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？ 说明理由.

2010 · 安徽 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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