数迹
题目列表试卷列表
共找到 36 题
排序：
组题
本页 25 题去组卷
1715分概率与统计★★★☆☆
设整数 N≥2N\ge 2. 某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 NN 次，当且仅当投中 11 次时或 NN 次均未投中时，停止练习. 设该同学每次投中的概率为 pp（0<p<10<p<1），各次投中与否相互独立. 记 XX 为停止练习时该同学的投篮次数.
(1) 当 N=4N=4，p=13p=\dfrac{1}{3} 时，求 XX 的分布列； (2) 设 kk，mm 均为自然数.
(i) 当 k≤N−1k\le N-1 时，求 P(X>k)P(X>k)； (ii) 当 k+m≤N−1k+m\le N-1 时，证明：P(X>k+m∣X>k)=P(X>m)P(X>k+m\mid X>k)=P(X>m)．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
1513分概率与统计★★★☆☆
为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
\multicolumn1∣c∣组别\multicolumn3c∣超声波检查结果\cline2−4正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000\begin{array}{c} \hline \multicolumn{1}{|c|}{组别} & \multicolumn{3}{c|}{超声波检查结果} \\ \cline{2-4} & 正常 & 不正常 & 合计 \\ \hline 患该疾病 & 20 & 180 & 200 \\ \hline 未患该疾病 & 780 & 20 & 800 \\ \hline 合计 & 800 & 200 & 1000 \\ \hline \end{array}
(1) 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 pp，求 pp 的估计值； (2) 根据小概率值 α=0.001\alpha = 0.001 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\chi^2 = \frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

2025 · 全国 · 一卷 · 第 15 题 · 解答题

查看答案和解析
1917分数列★★★★★
设 mm 为正整数，数列 a1a_1，a2a_2，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 为公差不为 00 的等差数列，若删去两项 aia_i，aja_j（i<ji<j） 后剩余 4m4m 项可平均分为 mm 组且每组 4 个数都成等差，则称该数列为 (i,j)(i,j)-可分数列.
(1) 写出所有 (i,j)(i,j)，1≤i<j≤61\le i<j\le6，使 a1a_1，…\dots，a6a_6 是 (i,j)(i,j)-可分数列； (2) 当 m≥3m\ge3 时，证明 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (2,13)(2,13)-可分数列； (3) 从 11，22，…\dots，4m+24m+2 中不放回任取 i<ji<j，设 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (i,j)(i,j)-可分数列的概率为 PmP_m，证明 Pm>18P_m>\frac18.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
2115分概率与统计★★★★☆
甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.60.6，乙每次投篮的命中率均为 0.80.8. 由抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为 0.50.5.
(1) 求第二次投篮的人是乙的概率； (2) 求第 ii 次投篮的人是甲的概率； (3) 已知：若随机变量 XiX_i 服从两点分布，且 P(Xi=1)=1−P(Xi=0)=qiP(X_i=1)=1-P(X_i=0)=q_i， i=1\ i=1，22，…\dots，nn，则 E(∑i=1nXi)=∑i=1nqiE\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)=\sum_{i=1}^n q_i. 记前 nn 次（即从第 11 次到第 nn 次）投篮中甲投篮的次数为 YY，求 E(Y)E(Y).

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
2015分概率与统计★★★☆☆
一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100100 例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100100 人（称为对照组），得到如下数据：
(1) 能否有 99%99\% 的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2) 从该地的人群中任选一人，AA 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，BB 表示事件“选到的人患有该疾病”. P(B∣A)P(B‾∣A)\frac{P(B\mid A)}{P(\overline B\mid A)} 与 P(B∣A‾)P(B‾∣A‾)\frac{P(B\mid \overline A)}{P(\overline B\mid \overline A)} 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为 RR.
(i) 证明：R=P(B∣A)P(B‾∣A)÷P(B∣A‾)P(B‾∣A‾)=P(A∣B)P(A‾∣B)⋅P(A‾∣B‾)P(A∣B‾);R=\frac{P(B\mid A)}{P(\overline B\mid A)}\div \frac{P(B\mid \overline A)}{P(\overline B\mid \overline A)}=\frac{P(A\mid B)}{P(\overline A\mid B)}\cdot \frac{P(\overline A\mid \overline B)}{P(A\mid \overline B)}; (ii) 利用该调查数据，给出 P(A∣B)P(A\mid B)，P(A∣B‾)P(A\mid \overline B) 的估计值，并利用（1）的结果给出 RR 的估计值.
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
1817分概率与统计★★☆☆☆
某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束. A 类问题中的每个问题回答正确得 2020 分，否则得 00 分；B 类问题中的每个问题回答正确得 8080 分，否则得 00 分. 已知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.80.8，能正确回答 B 类问题的概率为 0.60.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1) 若小明先回答 AA 类问题，记 XX 为小明的累计得分，求 XX 的分布列； (2) 为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
1917分概率与统计★★★☆☆
为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 100100 天空气中的 PM2.5\mathrm{PM}_{2.5} 和 SO2\mathrm{SO}_2 浓度（单位：μg/m3\mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3），得下表：
PM2.5\SO2\mathrm{PM}_{2.5}\backslash\mathrm{SO}_2[0,50][0,50](50,150](50,150](150,475](150,475]
(35,75](35,75]6812
(75,115](75,115]3710
(1) 估计事件“该市一天空气中 PM2.5\mathrm{PM}_{2.5} 浓度不超过 75，且 SO2\mathrm{SO}_2 浓度不超过 150”的概率； (2) 根据所给数据，完成下面的 2×22\times 2 列联表：
PM2.5\SO2\mathrm{PM}_{2.5}\backslash\mathrm{SO}_2[0,150][0,150](150,475](150,475]
(75,115](75,115]
(3) 根据（2）中的列联表，判断是否有 99% 的把握认为该市一天空气中 PM2.5\mathrm{PM}_{2.5} 浓度与 SO2\mathrm{SO}_2 浓度有关？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}.
P(K2≥k)P(K^2\ge k)0.0500.0100.001

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
21概率与统计★★★★★
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验. 试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药. 一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 44 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 11 分，乙药得 −1-1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 11 分，甲药得 −1-1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 00 分. 甲、乙两种药的治愈率分别记为 α\alpha 和 β\beta，一轮试验中甲药的得分记为 XX.
(1) 求 XX 的分布列； (2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予 44 分，pip_i（i=0i=0，11，⋯\cdots，88）表示“甲药的累计得分为 ii 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p0=0p_0=0，p8=1p_8=1，pi=api−1+bpi+cpi+1p_i=ap_{i-1}+bp_i+cp_{i+1}（i=1i=1，22，⋯\cdots，77），其中 a=P(X=−1)a=P(X=-1)，b=P(X=0)b=P(X=0)，c=P(X=1)c=P(X=1). 假设 α=0.5\alpha=0.5，β=0.8\beta=0.8.
(i) 证明：{pi+1−pi}\{p_{i+1}-p_i\}（i=0i=0，11，22，⋯\cdots，77）为等比数列； (ii) 求 p4p_4，并根据 p4p_4 的值解释这种试验方案的合理性.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
17概率与统计★★☆☆☆
某商场为提高服务质量，随机调查了 5050 名男顾客和 5050 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意不满意
女顾客3020
(1) 分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； (2) 能否有 95%95\% 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}.
P(K2≥k)P(K^2\ge k)0.0500.0500.0100.0100.0010.001

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
20概率与统计★★★★☆
某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件200\text{ 件}，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品. 检验时，先从这箱产品中任取 20 件20\text{ 件} 作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验. 设每件产品为不合格品的概率都为 pp（0<p<10<p<1），且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1) 记 20 件20\text{ 件} 产品中恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品的概率为 f(p)f(p)，求 f(p)f(p) 的最大值点 p0p_0； (2) 现对一箱产品检验了 20 件20\text{ 件}，结果恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品，以（1）中确定的 p0p_0 作为 pp 的值. 已知每件产品的检验费用为 2 元2\text{ 元}，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元25\text{ 元} 的赔偿费用.
(i) 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 XX，求 EXEX； (ii) 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
19概率与统计★★★☆☆
某家庭记录了未使用节水龙头 5050 天的日用水量数据（单位：m3\text{m}^3）和使用了节水龙头 5050 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头 5050 天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头 5050 天的日用水量频数分布表
(1) 作出使用了节水龙头 5050 天的日用水量数据的频率分布直方图； (2) 估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35 m30.35\text{ m}^3 的概率； (3) 估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365365 天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
18概率与统计★★★☆☆
在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有 6 名男志愿者 A1A_1，A2A_2，A3A_3，A4A_4，A5A_5，A6A_6 和 4 名女志愿者 B1B_1，B2B_2，B3B_3，B4B_4，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示.
(1) 求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1A_1 但不包含 B1B_1 的概率； (2) 用 XX 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 XX 的分布列与数学期望 E(X)E(X).

2017 · 山东 · 理 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
16概率与统计★★☆☆☆
某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1A_1，A2A_2，A3A_3 和 3 个欧洲国家 B1B_1，B2B_2，B3B_3 中选择 2 个国家去旅游.
(1) 若从这 6 个国家中任选 2 个，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率； (2) 若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，求这 2 个国家包括 A1A_1 但不包括 B1B_1 的概率.

2017 · 山东 · 文 · 第 16 题 · 解答题

查看答案和解析
19概率与统计★★★☆☆
甲，乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲，乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 33 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 11 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 00 分. 已知甲每轮猜对的概率是 34\dfrac34，乙每轮猜对的概率是 23\dfrac23；每轮活动中甲，乙猜对与否互不影响；各轮结果亦互不影响. 假设“星队”参加两轮活动，求：
(1) “星队”至少猜对 33 个成语的概率； (2) “星队”两轮得分之和为 XX 的分布列和数学期望 E(X)E(X).

2016 · 山东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
16概率与统计★★☆☆☆
某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动. 参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数. 设两次记录的数分别为 xx，yy. 奖励规则如下：
① 若 xy≤3xy\leq 3，则奖励玩具一个； ② 若 xy≥8xy\geq 8，则奖励水杯一个； ③ 其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀. 小亮准备参加此项活动.
(1) 求小亮获得玩具的概率； (2) 请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.
=0pt

2016 · 山东 · 文 · 第 16 题 · 解答题

查看答案和解析
19概率与统计★★★☆☆
设 nn 是一个三位正整数，且 nn 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称 nn 为“三位递增数”（如 137137，359359，567567 等）. 在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 11 个数，且只能抽取一次. 得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 55 整除，参加者得 00 分；若能被 55 整除，但不能被 1010 整除，得 −1-1 分；若能被 1010 整除，得 11 分.
(1) 写出所有个位数字是 55 的“三位递增数”； (2) 若甲参加活动，求甲得分 XX 的分布列和数学期望 E(X)E(X).

2015 · 山东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
16概率与统计★★☆☆☆
某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）
(1) 从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率； (2) 在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男同学 A1A_{1}，A2A_{2}，A3A_{3}，A4A_{4}，A5A_{5}，3 名女同学 B1B_{1}，B2B_{2}，B3B_{3}. 现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，求 A1A_{1} 被选中且 B1B_{1} 未被选中的概率.

2015 · 山东 · 文 · 第 16 题 · 解答题

查看答案和解析
18概率与统计★★★☆☆
乒乓球台面被球网分隔成甲，乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域 AA，BB，乙被划分为两个不相交的区域 CC，DD. 某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球. 规定：回球一次，落点在 CC 上记 3 分3\text{ 分}，在 DD 上记 1 分1\text{ 分}，其他情况记 0 分0\text{ 分}. 对落点在 AA 上的来球，队员小明回球的落点在 CC 上的概率为 12\frac{1}{2}，在 DD 上的概率为 13\frac{1}{3}. 对落点在 BB 上的来球，小明回球的落点在 CC 上的概率为 15\frac{1}{5}，在 DD 上的概率为 35\frac{3}{5}. 假设共有两次来球且落在 AA，BB 上各一次，小明的两次回球互不影响. 求：
(1) 小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2) 两次回球结束后，小明得分之和 ξ\xi 的分布列与数学期望.

2014 · 山东 · 理 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
16概率与统计★★★☆☆
海关对同时从 AA，BB，CC 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件\text{件}）如下表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件6\text{ 件}样品进行检测.
(1) 求这 6 件6\text{ 件}样品中来自 AA，BB，CC 各地区商品的数量； (2) 若在这 6 件6\text{ 件}样品中随机抽取 2 件2\text{ 件}送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件2\text{ 件}商品来自相同地区的概率.

2014 · 山东 · 文 · 第 16 题 · 解答题

查看答案和解析
19概率与统计★★★☆☆
甲，乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束. 除第五局甲队获胜的概率是 12\frac{1}{2} 外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 23\frac{2}{3}. 假设每局比赛结果互相独立.
(1) 分别求甲队以 3:03:0，3:13:1，3:23:2 胜利的概率； (2) 若比赛结果为 3:03:0 或 3:13:1，则胜利方得 33 分，对方得 00 分；若比赛结果为 3:23:2，则胜利方得 22 分，对方得 11 分，求乙队得分 XX 的分布列及数学期望.

2013 · 山东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
17概率与统计★★☆☆☆
某小组共有 A，B，C，D，E 五位同学，他们的身高（单位：米\text{米}）及体重指标（单位：千克/米2\text{千克}/\text{米}^{2}）如下表所示：
(1) 从该小组身高低于 1.801.80 的同学中任选 22 人，求选到的 22 人身高都在 1.781.78 以下的概率； (2) 从该小组同学中任选 22 人，求选到的 22 人的身高都在 1.701.70 以上且体重指标都在 [18.5,23.9)[18.5, 23.9) 中的概率.

2013 · 山东 · 文 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
19概率与统计★★★☆☆
现有甲乙两个靶，某射手向甲靶射击一次命中的概率为 34\frac{3}{4}，命中得 11 分，没有命中得 00 分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 23\frac{2}{3}，每命中一次得 22 分，没有命中得 00 分. 该射手每次射击的结果相互独立，假设该射手完成以上三次射击.
(1) 求该射手恰好命中一次的概率； (2) 求该射手的总得分 XX 的分布列及数学期望 E(X)E(X).

2012 · 山东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
18概率与统计★★☆☆☆
袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为 11，22，33；蓝色卡片两张，标号分别为 11，22.
(1) 从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率； (2) 现袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率.

2012 · 山东 · 文 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
18概率与统计★★★☆☆
红队队员甲，乙，丙与蓝队队员 AA，BB，CC 进行围棋比赛，甲对 AA，乙对 BB，丙对 CC 各一盘. 已知甲胜 AA，乙胜 BB，丙胜 CC 的概率分别为 0.60.6，0.50.5，0.50.5. 假设各盘比赛结果相互独立.
(1) 求红队至少两名队员获胜的概率； (2) 用 ξ\xi 表示红队队员获胜的总数，求 ξ\xi 的分布列和数学期望 E(ξ)E(\xi).

2011 · 山东 · 理 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
18概率与统计★★☆☆☆
甲，乙两校各有 3 名教师报名支教. 其中甲校 2 男 1 女，乙校 1 男 2 女.
(1) 若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名，写出所有可能的结果，并求选出的 2 名教师性别相同的概率； (2) 若从报名的 6 名教师中任选 2 名，写出所有可能的结果，并求选出的 2 名教师来自同一学校的概率.

2011 · 山东 · 文 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析