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1715分概率与统计★★★☆☆
设整数 N≥2N\ge 2. 某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 NN 次，当且仅当投中 11 次时或 NN 次均未投中时，停止练习. 设该同学每次投中的概率为 pp（0<p<10<p<1），各次投中与否相互独立. 记 XX 为停止练习时该同学的投篮次数.
(1) 当 N=4N=4，p=13p=\dfrac{1}{3} 时，求 XX 的分布列； (2) 设 kk，mm 均为自然数.
(i) 当 k≤N−1k\le N-1 时，求 P(X>k)P(X>k)； (ii) 当 k+m≤N−1k+m\le N-1 时，证明：P(X>k+m∣X>k)=P(X>m)P(X>k+m\mid X>k)=P(X>m)．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1513分概率与统计★★★☆☆
为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
\multicolumn1∣c∣组别\multicolumn3c∣超声波检查结果\cline2−4正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000\begin{array}{c} \hline \multicolumn{1}{|c|}{组别} & \multicolumn{3}{c|}{超声波检查结果} \\ \cline{2-4} & 正常 & 不正常 & 合计 \\ \hline 患该疾病 & 20 & 180 & 200 \\ \hline 未患该疾病 & 780 & 20 & 800 \\ \hline 合计 & 800 & 200 & 1000 \\ \hline \end{array}
(1) 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 pp，求 pp 的估计值； (2) 根据小概率值 α=0.001\alpha = 0.001 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\chi^2 = \frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

2025 · 全国 · 一卷 · 第 15 题 · 解答题

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1917分数列★★★★★
设 mm 为正整数，数列 a1a_1，a2a_2，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 为公差不为 00 的等差数列，若删去两项 aia_i，aja_j（i<ji<j） 后剩余 4m4m 项可平均分为 mm 组且每组 4 个数都成等差，则称该数列为 (i,j)(i,j)-可分数列.
(1) 写出所有 (i,j)(i,j)，1≤i<j≤61\le i<j\le6，使 a1a_1，…\dots，a6a_6 是 (i,j)(i,j)-可分数列； (2) 当 m≥3m\ge3 时，证明 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (2,13)(2,13)-可分数列； (3) 从 11，22，…\dots，4m+24m+2 中不放回任取 i<ji<j，设 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (i,j)(i,j)-可分数列的概率为 PmP_m，证明 Pm>18P_m>\frac18.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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2115分概率与统计★★★★☆
甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.60.6，乙每次投篮的命中率均为 0.80.8. 由抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为 0.50.5.
(1) 求第二次投篮的人是乙的概率； (2) 求第 ii 次投篮的人是甲的概率； (3) 已知：若随机变量 XiX_i 服从两点分布，且 P(Xi=1)=1−P(Xi=0)=qiP(X_i=1)=1-P(X_i=0)=q_i， i=1\ i=1，22，…\dots，nn，则 E(∑i=1nXi)=∑i=1nqiE\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)=\sum_{i=1}^n q_i. 记前 nn 次（即从第 11 次到第 nn 次）投篮中甲投篮的次数为 YY，求 E(Y)E(Y).

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 21 题 · 解答题

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2015分概率与统计★★★☆☆
一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100100 例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100100 人（称为对照组），得到如下数据：
(1) 能否有 99%99\% 的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2) 从该地的人群中任选一人，AA 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，BB 表示事件“选到的人患有该疾病”. P(B∣A)P(B‾∣A)\frac{P(B\mid A)}{P(\overline B\mid A)} 与 P(B∣A‾)P(B‾∣A‾)\frac{P(B\mid \overline A)}{P(\overline B\mid \overline A)} 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为 RR.
(i) 证明：R=P(B∣A)P(B‾∣A)÷P(B∣A‾)P(B‾∣A‾)=P(A∣B)P(A‾∣B)⋅P(A‾∣B‾)P(A∣B‾);R=\frac{P(B\mid A)}{P(\overline B\mid A)}\div \frac{P(B\mid \overline A)}{P(\overline B\mid \overline A)}=\frac{P(A\mid B)}{P(\overline A\mid B)}\cdot \frac{P(\overline A\mid \overline B)}{P(A\mid \overline B)}; (ii) 利用该调查数据，给出 P(A∣B)P(A\mid B)，P(A∣B‾)P(A\mid \overline B) 的估计值，并利用（1）的结果给出 RR 的估计值.
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

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1817分概率与统计★★☆☆☆
某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束. A 类问题中的每个问题回答正确得 2020 分，否则得 00 分；B 类问题中的每个问题回答正确得 8080 分，否则得 00 分. 已知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.80.8，能正确回答 B 类问题的概率为 0.60.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1) 若小明先回答 AA 类问题，记 XX 为小明的累计得分，求 XX 的分布列； (2) 为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★★☆
甲，乙，丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签，甲，乙首先比赛，丙轮空. 设每场比赛双方获胜的概率都为 12\dfrac{1}{2}.
(1) 求甲连胜四场的概率； (2) 求需要进行第五场比赛的概率； (3) 求丙最终获胜的概率.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为 A，B，C，D 四个等级. 加工业务约定：对于 A 级品，B 级品，C 级品，厂家每件分别收取加工费 9090 元，5050 元，2020 元；对于 D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费 5050 元. 该厂有甲，乙两个分厂可承接加工业务. 甲分厂加工成本费为 2525 元/件，乙分厂加工成本费为 2020 元/件. 厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了 100100 件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
乙分厂产品等级的频数分布表
(1) 分别估计甲，乙两分厂加工出来的一件产品为 AA 级品的概率； (2) 分别求甲，乙两分厂加工出来的 100100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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21概率与统计★★★★★
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验. 试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药. 一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 44 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 11 分，乙药得 −1-1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 11 分，甲药得 −1-1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 00 分. 甲、乙两种药的治愈率分别记为 α\alpha 和 β\beta，一轮试验中甲药的得分记为 XX.
(1) 求 XX 的分布列； (2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予 44 分，pip_i（i=0i=0，11，⋯\cdots，88）表示“甲药的累计得分为 ii 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p0=0p_0=0，p8=1p_8=1，pi=api−1+bpi+cpi+1p_i=ap_{i-1}+bp_i+cp_{i+1}（i=1i=1，22，⋯\cdots，77），其中 a=P(X=−1)a=P(X=-1)，b=P(X=0)b=P(X=0)，c=P(X=1)c=P(X=1). 假设 α=0.5\alpha=0.5，β=0.8\beta=0.8.
(i) 证明：{pi+1−pi}\{p_{i+1}-p_i\}（i=0i=0，11，22，⋯\cdots，77）为等比数列； (ii) 求 p4p_4，并根据 p4p_4 的值解释这种试验方案的合理性.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某商场为提高服务质量，随机调查了 5050 名男顾客和 5050 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意不满意
女顾客3020
(1) 分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； (2) 能否有 95%95\% 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}.
P(K2≥k)P(K^2\ge k)0.0500.0500.0100.0100.0010.001

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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20概率与统计★★★★☆
某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件200\text{ 件}，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品. 检验时，先从这箱产品中任取 20 件20\text{ 件} 作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验. 设每件产品为不合格品的概率都为 pp（0<p<10<p<1），且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1) 记 20 件20\text{ 件} 产品中恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品的概率为 f(p)f(p)，求 f(p)f(p) 的最大值点 p0p_0； (2) 现对一箱产品检验了 20 件20\text{ 件}，结果恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品，以（1）中确定的 p0p_0 作为 pp 的值. 已知每件产品的检验费用为 2 元2\text{ 元}，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元25\text{ 元} 的赔偿费用.
(i) 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 XX，求 EXEX； (ii) 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
某家庭记录了未使用节水龙头 5050 天的日用水量数据（单位：m3\text{m}^3）和使用了节水龙头 5050 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头 5050 天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头 5050 天的日用水量频数分布表
(1) 作出使用了节水龙头 5050 天的日用水量数据的频率分布直方图； (2) 估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35 m30.35\text{ m}^3 的概率； (3) 估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365365 天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某工厂 3636 名工人的年龄数据如下表.
(1) 用系统抽样法从 3636 名工人中抽取容量为 99 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为 4444，列出样本的年龄数据； (2) 计算（1）中样本的均值 x‾\overline{x} 和方差 s2s^2； (3) 3636 名工人中年龄在 x‾−s\overline{x} - s 与 x‾+s\overline{x} + s 之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到 0.01%0.01\%）？

2015 · 广东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某城市 100 户居民的月平均用电量（单位：度\text{度}），[160,180)[160, 180)，[180,200)[180, 200)，[200,220)[200, 220)，[220,240)[220, 240)，[240,260)[240, 260)，[260,280)[260, 280)，[280,300)[280, 300) 分组的频率分布直方图如图.
(1) 求直方图中 xx 的值； (2) 求月平均用电量的众数和中位数； (3) 在月平均用电量为 [220,240)[220, 240)，[240,260)[240, 260)，[260,280)[260, 280)，[280,300)[280, 300) 的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在 [220,240)[220, 240) 的用户中应抽取多少户？

2015 · 广东 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36. 根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
(30,35](30,35]50.20
(35,40](35,40]80.32
(40,45](40,45]n1n_1f1f_1
(45,50](45,50]n2n_2f2f_2
(1) 确定样本频率分布表中 n1n_1，n2n_2，f1f_1 和 f2f_2 的值； (2) 根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图； (3) 根据样本频率分布直方图，求在该厂任取 4 人，至少有 1 人的日加工零件数落在区间 (30,35](30,35] 的概率.

2014 · 广东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某车间 20 名工人年龄数据如下表：
283
293
305
314
323
401
(1) 求这 20 名工人年龄的众数与极差； (2) 以十位数为茎，个位数为叶，作出这 20 名工人年龄的茎叶图； (3) 求这 20 名工人年龄的方差.

2014 · 广东 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某车间共有 1212 名工人，随机抽取 66 名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.
17  97\;9
20  1  50\;1\;5
300
(1) 根据茎叶图计算样本均值. (2) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间 1212 名工人中有几名优秀工人？ (3) 从该车间 1212 名工人中，任取 22 人，求恰有 11 名优秀工人的概率.

2013 · 广东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
从一批苹果中，随机抽取 5050 个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：
分组（重量）[80,85)[80,85)[85,90)[85,90)[90,95)[90,95)[95,100)[95,100)
(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在 [90,95)[90,95) 的频率； (2) 用分层抽样的方法从重量在 [80,85)[80,85) 和 [95,100)[95,100) 的苹果中共抽取 4 个，其中重量在 [80,85)[80,85) 的有几个？ (3) 在（2）中抽出的 4 个苹果中，任取 2 个，求重量在 [80,85)[80,85) 和 [95,100)[95,100) 中各有 1 个的概率.

2013 · 广东 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)[40,50)，[50,60)[50,60)，[60,70)[60,70)，[70,80)[70,80)，[80,90)[80,90)，[90,100][90,100].
(1) 求图中 xx 的值； (2) 从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人，该 2 人中成绩在 90 分以上 （含 90 分） 的人数记为 ξ\xi，求 ξ\xi 的数学期望.

2012 · 广东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某校 100100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)[50,60)，[60,70)[60,70)，[70,80)[70,80)，[80,90)[80,90)，[90,100][90,100].
(1) 求图中 aa 的值； (2) 根据频率分布直方图，估计这 100100 名学生语文成绩的平均分； (3) 若这 100100 名学生语文成绩某些分数段的人数 xx 与数学成绩相应分数段的人数 yy 之比如下表所示，求数学成绩在 [50,90)[50,90) 之外的人数.

2012 · 广东 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
为了解甲，乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲，乙两厂生产的产品中分别抽取 14 件和 5 件，测量产品中微量元素 xx，yy 的含量（单位：毫克）. 下表是乙厂的 5 件产品的测量数据：
(1) 已知甲厂生产的产品共有 98 件，求乙厂生产的产品数量. (2) 当产品中的微量元素 xx，yy 满足 x⩾175x \geqslant 175 且 y⩾75y \geqslant 75 时，该产品为优等品. 用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量. (3) 从乙厂抽出的上述 5 件产品中，随机抽取 2 件，求抽取的 2 件产品中优等品数 ξ\xi 的分布列及其均值（即数学期望）.

2011 · 广东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
在某次测验中，有 66 位同学的平均成绩为 7575 分. 用 xnx_{n} 表示编号为 nn （n=1n = 1，22，⋯\cdots，66）的同学所得成绩，且前 55 位同学的成绩如下：
编号 nn1122334455
(1) 求第 66 位同学的成绩 x6x_6，及这 66 位同学成绩的标准差 ss； (2) 从前 55 位同学中，随机地选 22 位同学，求恰有 11 位同学成绩在区间 (68,75)(68, 75) 中的概率.

2011 · 广东 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况. 随机抽取该流水线上的 40 件40\text{ 件} 产品作为样本称出它们的重量（单位：克\text{克}）. 重量的分组区间为 (490,495](490, 495]，(495,500](495, 500]，…，(510,515](510, 515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.
(1) 根据频率分布直方图，求重量超过 505 克505\text{ 克} 的产品数量； (2) 在上述抽取的 40 件40\text{ 件} 产品中任取 2 件2\text{ 件}，设 YY 为重量超过 505 克505\text{ 克} 的产品数量，求 YY 的分布列； (3) 从流水线上任取 5 件5\text{ 件} 产品，求恰有 2 件2\text{ 件} 产品合格的重量超过 505 克505\text{ 克} 的概率.

2010 · 广东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了 100 名电视观众，相关的数据如下表所示：
文艺节目新闻节目总计
大于 4040 岁152742
(1) 由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？ (2) 用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名，大于 4040 岁的观众应该抽取几名？ (3) 在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名，求恰有 1 名观众的年龄为 2020 至 4040 岁的概率.

2010 · 广东 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
根据空气质量指数 API\mathrm{API}（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：
对某城市一年（365 天365\text{ 天}）的空气质量进行监测，获得 API\mathrm{API} 数据按照区间 [0,50][0, 50]，(50,100](50, 100]，(100,150](100, 150]，(150,200](150, 200]，(200,250](200, 250]，(250,300](250, 300] 进行分组，得到频率分布直方图如图.
(1) 求直方图中 xx 的值； (2) 计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数； (3) 求该城市某一周至少有 22 天的空气质量为良或轻微污染的概率. （结果用分数表示.
已知 57=781255^7 = 78125，27=1282^7 = 128，31825+2365+71825+31825+89125=1239125\frac{3}{1825} + \frac{2}{365} + \frac{7}{1825} + \frac{3}{1825} + \frac{8}{9125} = \frac{123}{9125}，365=73×5365 = 73 \times 5）
=0pt =0pt

2009 · 广东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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