样本数据 $2$，$8$，$14$，$16$，$20$ 的平均数为（ ）

甲，乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得 1 分，负者得 0 分. 设每个球甲胜的概率为 $p$（$\frac12<p<1$），乙胜的概率为 $q$，$p+q=1$，且各球的胜负相互独立. 对正整数 $k\ge 2$，记 $p_k$ 为打完 $k$ 个球后甲比乙至少多得 2 分的概率，$q_k$ 为打完 $k$ 个球后乙比甲至少多得 2 分的概率.

(1) 求 $p_3$，$p_4$（用 $p$ 表示）； (2) 若 $\frac{p_4-p_3}{q_4-q_3}=4$，求 $p$； (3) 证明：对任意正整数 $m$，$p_{2m+1}-q_{2m+1}<p_{2m}-q_{2m}<p_{2m+2}-q_{2m+2}$.