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1715分概率与统计★★★☆☆
设整数 N≥2N\ge 2. 某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 NN 次，当且仅当投中 11 次时或 NN 次均未投中时，停止练习. 设该同学每次投中的概率为 pp（0<p<10<p<1），各次投中与否相互独立. 记 XX 为停止练习时该同学的投篮次数.
(1) 当 N=4N=4，p=13p=\dfrac{1}{3} 时，求 XX 的分布列； (2) 设 kk，mm 均为自然数.
(i) 当 k≤N−1k\le N-1 时，求 P(X>k)P(X>k)； (ii) 当 k+m≤N−1k+m\le N-1 时，证明：P(X>k+m∣X>k)=P(X>m)P(X>k+m\mid X>k)=P(X>m)．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1513分概率与统计★★★☆☆
为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
\multicolumn1∣c∣组别\multicolumn3c∣超声波检查结果\cline2−4正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000\begin{array}{c} \hline \multicolumn{1}{|c|}{组别} & \multicolumn{3}{c|}{超声波检查结果} \\ \cline{2-4} & 正常 & 不正常 & 合计 \\ \hline 患该疾病 & 20 & 180 & 200 \\ \hline 未患该疾病 & 780 & 20 & 800 \\ \hline 合计 & 800 & 200 & 1000 \\ \hline \end{array}
(1) 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 pp，求 pp 的估计值； (2) 根据小概率值 α=0.001\alpha = 0.001 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\chi^2 = \frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

2025 · 全国 · 一卷 · 第 15 题 · 解答题

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1917分数列★★★★★
设 mm 为正整数，数列 a1a_1，a2a_2，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 为公差不为 00 的等差数列，若删去两项 aia_i，aja_j（i<ji<j） 后剩余 4m4m 项可平均分为 mm 组且每组 4 个数都成等差，则称该数列为 (i,j)(i,j)-可分数列.
(1) 写出所有 (i,j)(i,j)，1≤i<j≤61\le i<j\le6，使 a1a_1，…\dots，a6a_6 是 (i,j)(i,j)-可分数列； (2) 当 m≥3m\ge3 时，证明 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (2,13)(2,13)-可分数列； (3) 从 11，22，…\dots，4m+24m+2 中不放回任取 i<ji<j，设 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (i,j)(i,j)-可分数列的概率为 PmP_m，证明 Pm>18P_m>\frac18.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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2115分概率与统计★★★★☆
甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.60.6，乙每次投篮的命中率均为 0.80.8. 由抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为 0.50.5.
(1) 求第二次投篮的人是乙的概率； (2) 求第 ii 次投篮的人是甲的概率； (3) 已知：若随机变量 XiX_i 服从两点分布，且 P(Xi=1)=1−P(Xi=0)=qiP(X_i=1)=1-P(X_i=0)=q_i， i=1\ i=1，22，…\dots，nn，则 E(∑i=1nXi)=∑i=1nqiE\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)=\sum_{i=1}^n q_i. 记前 nn 次（即从第 11 次到第 nn 次）投篮中甲投篮的次数为 YY，求 E(Y)E(Y).

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 21 题 · 解答题

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2015分概率与统计★★★☆☆
一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100100 例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100100 人（称为对照组），得到如下数据：
(1) 能否有 99%99\% 的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2) 从该地的人群中任选一人，AA 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，BB 表示事件“选到的人患有该疾病”. P(B∣A)P(B‾∣A)\frac{P(B\mid A)}{P(\overline B\mid A)} 与 P(B∣A‾)P(B‾∣A‾)\frac{P(B\mid \overline A)}{P(\overline B\mid \overline A)} 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为 RR.
(i) 证明：R=P(B∣A)P(B‾∣A)÷P(B∣A‾)P(B‾∣A‾)=P(A∣B)P(A‾∣B)⋅P(A‾∣B‾)P(A∣B‾);R=\frac{P(B\mid A)}{P(\overline B\mid A)}\div \frac{P(B\mid \overline A)}{P(\overline B\mid \overline A)}=\frac{P(A\mid B)}{P(\overline A\mid B)}\cdot \frac{P(\overline A\mid \overline B)}{P(A\mid \overline B)}; (ii) 利用该调查数据，给出 P(A∣B)P(A\mid B)，P(A∣B‾)P(A\mid \overline B) 的估计值，并利用（1）的结果给出 RR 的估计值.
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

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1817分概率与统计★★☆☆☆
某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束. A 类问题中的每个问题回答正确得 2020 分，否则得 00 分；B 类问题中的每个问题回答正确得 8080 分，否则得 00 分. 已知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.80.8，能正确回答 B 类问题的概率为 0.60.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1) 若小明先回答 AA 类问题，记 XX 为小明的累计得分，求 XX 的分布列； (2) 为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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23概率与统计★★★★★
甲口袋中装有 22 个黑球和 11 个白球，乙口袋中装有 33 个白球. 现从甲，乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 nn 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 XnX_n，恰有 22 个黑球的概率为 pnp_n，恰有 11 个黑球的概率为 qnq_n.
(1) 求 p1⋅q1p_1\cdot q_1 和 p2⋅q2p_2\cdot q_2； (2) 求 2pn+qn2p_n+q_n 与 2pn−1+qn−12p_{n-1}+q_{n-1} 的递推关系式和 XnX_n 的数学期望 E(Xn)E(X_n)（用 nn 表示）.

2020 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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23概率与统计★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，设点集 An={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)}A_n=\{(0,0),(1,0),(2,0),\dots,(n,0)\}，Bn={(0,1),(n,1)}B_n=\{(0,1),(n,1)\}，Cn={(0,2),(1,2),(2,2),…,(n,2)}C_n=\{(0,2),(1,2),(2,2),\dots,(n,2)\}，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*. 令 Mn=An∪Bn∪CnM_n=A_n\cup B_n\cup C_n. 从集合 MnM_n 中任取两个不同的点，用随机变量 XX 表示它们之间的距离.
(1) 当 n=1n=1 时，求 XX 的概率分布； (2) 对给定的正整数 nn（n≥3n\ge 3），求概率 P(X≤n)P(X\le n)（用 nn 表示）.

2019 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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23概率与统计★★★★☆
已知一个口袋有 mm 个白球，nn 个黑球（mm，n∈N∗n\in \mathbf{N}^*，n≥2n\ge 2），这些球除颜色外全部相同. 现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为 11，22，33，…\ldots，m+nm+n 的抽屉内，其中第 kk 次取出的球放入编号为 kk 的抽屉（k=1k=1，22，33，…\ldots，m+nm+n）.
(1) 试求编号为 22 的抽屉内放的是黑球的概率 pp； (2) 随机变量 XX 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)E(X) 是 XX 的数学期望，证明 E(X)<n(m+n)(n−1)E(X)<\dfrac{n}{(m+n)(n-1)}.

2017 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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22概率与统计★★★☆☆
盒中共有 99 个球，其中有 44 个红球，33 个黄球和 22 个绿球，这些球除颜色外完全相同.
(1) 从盒中一次随机取出 22 个球，求取出的 22 个球颜色相同的概率 PP； (2) 从盒中一次随机取出 44 个球，其中红球，黄球，绿球的个数分别记为 x1x_1，x2x_2，x3x_3，随机变量 XX 表示 x1x_1，x2x_2，x3x_3 中的最大数，求 XX 的概率分布和数学期望 E(X)E(X).

2014 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

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22概率与统计★★★☆☆
设 ξ\xi 为随机变量，从棱长为 11 的正方体的 1212 条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0\xi=0；当两条棱平行时，ξ\xi 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1\xi=1.
(1) 求概率 P(ξ=0)P(\xi=0)； (2) 求 ξ\xi 的分布列，并求其数学期望 E(ξ)E(\xi).

2012 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

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22概率与统计★★★☆☆
某工厂生产甲，乙两种产品. 甲产品的一等品率为 80%80\%，二等品率为 20%20\%；乙产品的一等品率为 90%90\%，二等品率为 10%10\%. 生产 11 件甲产品，若是一等品则获得利润 44 万元，若是二等品则亏损 11 万元；生产 11 件乙产品，若是一等品则获得利润 66 万元，若是二等品则亏损 22 万元. 设生产各种产品相互独立.
(1) 记 XX（单位：万元）为生产 11 件甲产品和 11 件乙产品可获得的总利润，求 XX 的分布列； (2) 求生产 44 件甲产品所获得的利润不少于 1010 万元的概率.

2010 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

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23计数原理与组合数学★★★★☆
对于正整数 n≥2n\ge2，用 TnT_n 表示关于 xx 的一元二次方程 x2+2ax+b=0x^2+2ax+b=0 有实数根的有序数组 (a,b)(a,b) 的组数，其中 aa，b∈{1,2,⋯ ,n}b\in\{1,2,\cdots,n\}（aa 和 bb 可以相等）；对于随机选取的 aa，b∈{1,2,⋯ ,n}b\in\{1,2,\cdots,n\}（aa 和 bb 可以相等），记 PnP_n 为关于 xx 的一元二次方程 x2+2ax+b=0x^2+2ax+b=0 有实数根的概率.
(1) 求 Tn2T_{n^2} 和 Pn2P_{n^2}； (2) 求证：对任意正整数 n≥2n\ge2，有 Pn>1−1nP_n>1-\frac{1}{\sqrt n}.

2009 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某气象站天气预报的准确率为 80%80\%，计算（结果保留到小数点后面第 22 位）
(1) 55 次预报中恰有 22 次准确的概率； (2) 55 次预报中至少有 22 次准确的概率； (3) 55 次预报中恰有 22 次准确，且其中第 33 次预报准确的概率.

2007 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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20概率与统计★★★☆☆
甲，乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 23\frac{2}{3} 和 34\frac{3}{4}. 假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.
(1) 求甲射击 44 次，至少 11 次未击中目标的概率； (2) 求两人各射击 44 次，甲恰好击中目标 22 次且乙恰好击中目标 33 次的概率； (3) 假设某人连续 22 次未击中目标，则停止射击. 问：乙恰好射击 55 次后，被中止射击的概率是多少？

2005 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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