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145分概率与统计★★★☆☆
有5个相同的球，分别标有数字 11，22，33，44，55，从中有放回地随机取3次，每次取1个球，记 XX 为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则数学期望 E(X)=E(X) =______.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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145分概率与统计★★★★☆
甲，乙两人各有四张卡片，甲为 {1,3,5,7}\{1,3,5,7\}，乙为 {2,4,6,8}\{2,4,6,8\}. 每轮各出一张牌比较大小，先大者得 11 分，先小者得 00 分，弃置该轮牌. 四轮后甲总得分不少于 22 的概率是______.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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15概率与统计★★★☆☆
甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）. 根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”. 设甲队主场取胜的概率为 0.60.6，客场取胜的概率为 0.50.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4:14:1 获胜的概率是______.
\begin{answer} 0.180.18 \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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12概率与统计★★★☆☆
在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）茎叶图如图所示.
130\quad 0\quad 3\quad 4\quad 5\quad 6\quad 6\quad 8\quad 8\quad 8\quad 9
141\quad 1\quad 1\quad 2\quad 2\quad 2\quad 3\quad 3\quad 4\quad 4\quad 5\quad 5\quad 5\quad 6\quad 6\quad 7\quad 8
150\quad 1\quad 2\quad 2\quad 3\quad 3\quad 3
若将运动员按成绩由好到差编为 1∼351 \sim 35 号，再用系统抽样的方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间 [139,151][139,151] 上的运动员人数是______.

2015 · 湖南 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13概率与统计★☆☆☆☆
如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为______.
008899
11003355
（注：方差 s2=1n[(x1−x‾)2+(x2−x‾)2+⋯+(xn−x‾)2]s^{2}=\frac{1}{n}\left[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+\cdots+(x_{n}-\overline{x})^{2}\right]，其中 x‾\overline{x} 为 x1x_{1}，x2x_{2}，⋯\cdots，xnx_{n} 的平均数）

2012 · 湖南 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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13概率与统计★★☆☆☆
若执行如图所示的框图，输入 x1=1x_{1} = 1，x2=2x_{2} = 2，x3=3x_{3} = 3，x‾=2\overline{x} = 2，则输出的数等于______.

2011 · 湖南 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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15概率与统计★★☆☆☆
如图所示，EFGHEFGH 是以 OO 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 AA 表示事件“豆子落在正方形 EFGHEFGH 内”，BB 表示事件“豆子落在扇形 OHEOHE（阴影部分）内”，则
(1) P(A)=P(A)=______； (2) P(B∣A)=P(B\mid A)=______.

2011 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15解析几何★★★★☆
已知圆 C:x2+y2=12C: x^{2} + y^{2} = 12，直线 l:4x+3y=25l: 4x + 3y = 25.
(1) 圆 CC 的圆心到直线 ll 的距离为______； (2) 圆 CC 上任意一点 AA 到直线 ll 的距离小于 2 的概率为______.

2011 · 湖南 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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11概率与统计★☆☆☆☆
在区间 [−1,2][-1, 2] 上随机取一个数 xx，则 ∣x∣⩽1|x| \leqslant 1 的概率为______.

2010 · 湖南 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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11概率与统计★☆☆☆☆
在区间 [−1,2][-1, 2] 上随机取一个数 xx，则 x∈[0,1]x \in [0, 1] 的概率为______.

2010 · 湖南 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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13概率与统计★★★☆☆
一个总体分为 AA，BB 两层，其个体数之比为 4:14:1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 1010 的样本. 已知 BB 层中甲，乙都被抽到的概率为 128\frac{1}{28}，则总体中的个体数为______.

2009 · 湖南 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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12概率与统计★★☆☆☆
一个总体为 AA，BB 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本. 已知 BB 层中每个个体被抽到的概率都为 112\frac{1}{12}，则总体中的个体数为______.

2009 · 湖南 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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15概率与统计★★★★☆
对有 nn（n⩾4n \geqslant 4）个元素的总体 {1,2,3,⋯ ,n}\{1, 2, 3, \cdots, n\} 进行抽样. 先将总体分成两个子总体 {1,2,⋯ ,m}\{1, 2, \cdots, m\} 和 {m+1,m+2,⋯ ,n}\{m + 1, m + 2, \cdots, n\}（mm 是给定的正整数，且 2⩽m⩽n−22 \leqslant m \leqslant n - 2）. 再从每个子总体中各随机抽取 22 个元素组成样本，用 PijP_{ij} 表示元素 ii 和 jj 同时出现在样本中的概率，则 P1n=‾P_{1n} =\underline{\hspace{2em}}；所有 PijP_{ij}（1⩽i<j⩽n1 \leqslant i < j \leqslant n）的和等于______.

2008 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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12概率与统计★☆☆☆☆
从某地区 1500015000 位老人中随机抽取 500500 人，其生活能否自理的情况如下表所示：
不能23232121
则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多人______.
\begin{solution} 样本中生活不能自理的男性、女性人数分别为 2323、2121，男性比女性多 22 人. 由样本估计总体，该地区相应人数之差约为
15000×23−21500=15000×2500=6015000\times\frac{23-21}{500}=15000\times\frac2{500}=60
故约多 6060 人. \end{solution}

2008 · 湖南 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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12概率与统计★☆☆☆☆
某高校有甲，乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班 40 人40\text{ 人}，乙班 50 人50\text{ 人}. 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是 90 分90\text{ 分}，乙班的平均成绩是 81 分81\text{ 分}，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是______ 分\text{ 分}.

2006 · 湖南 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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11概率与统计★★☆☆☆
一工厂生产了某种产品 1680016800 件，它们来自甲、乙、丙 33 条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了______件产品.
\begin{answer} 56005600 \end{answer}
\begin{solution} 分层抽样按各生产线产品总数的比例抽取，所以三条生产线的产品总数与抽取的个体数成相同比例. 因而三条生产线的产品总数也组成等差数列. 设三条生产线的产品总数为 N1N_1，N2N_2，N3N_3，则 N2N_2 是三项等差数列的中项，满足
N1+N2+N3=3N2N_1+N_2+N_3=3N_2
又 N1+N2+N3=16800N_1+N_2+N_3=16800，所以 N2=5600N_2=5600. \end{solution}

2005 · 湖南 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12概率与统计★★☆☆☆
一工厂生产了某种产品 1680016800 件，它们来自甲、乙、丙 33 条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样. 已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了______件产品.

2005 · 湖南 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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14概率与统计★☆☆☆☆
同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量 ξ=1\xi=1 表示结果中有正面向上，ξ=0\xi=0 表示结果中没有正面向上，则 E(ξ)=E(\xi)=______.

2004 · 湖南 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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