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1715分概率与统计★★★☆☆
设整数 N≥2N\ge 2. 某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 NN 次，当且仅当投中 11 次时或 NN 次均未投中时，停止练习. 设该同学每次投中的概率为 pp（0<p<10<p<1），各次投中与否相互独立. 记 XX 为停止练习时该同学的投篮次数.
(1) 当 N=4N=4，p=13p=\dfrac{1}{3} 时，求 XX 的分布列； (2) 设 kk，mm 均为自然数.
(i) 当 k≤N−1k\le N-1 时，求 P(X>k)P(X>k)； (ii) 当 k+m≤N−1k+m\le N-1 时，证明：P(X>k+m∣X>k)=P(X>m)P(X>k+m\mid X>k)=P(X>m)．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1513分概率与统计★★★☆☆
为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
\multicolumn1∣c∣组别\multicolumn3c∣超声波检查结果\cline2−4正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000\begin{array}{c} \hline \multicolumn{1}{|c|}{组别} & \multicolumn{3}{c|}{超声波检查结果} \\ \cline{2-4} & 正常 & 不正常 & 合计 \\ \hline 患该疾病 & 20 & 180 & 200 \\ \hline 未患该疾病 & 780 & 20 & 800 \\ \hline 合计 & 800 & 200 & 1000 \\ \hline \end{array}
(1) 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 pp，求 pp 的估计值； (2) 根据小概率值 α=0.001\alpha = 0.001 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\chi^2 = \frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

2025 · 全国 · 一卷 · 第 15 题 · 解答题

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1917分数列★★★★★
设 mm 为正整数，数列 a1a_1，a2a_2，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 为公差不为 00 的等差数列，若删去两项 aia_i，aja_j（i<ji<j） 后剩余 4m4m 项可平均分为 mm 组且每组 4 个数都成等差，则称该数列为 (i,j)(i,j)-可分数列.
(1) 写出所有 (i,j)(i,j)，1≤i<j≤61\le i<j\le6，使 a1a_1，…\dots，a6a_6 是 (i,j)(i,j)-可分数列； (2) 当 m≥3m\ge3 时，证明 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (2,13)(2,13)-可分数列； (3) 从 11，22，…\dots，4m+24m+2 中不放回任取 i<ji<j，设 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (i,j)(i,j)-可分数列的概率为 PmP_m，证明 Pm>18P_m>\frac18.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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2115分概率与统计★★★★☆
甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.60.6，乙每次投篮的命中率均为 0.80.8. 由抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为 0.50.5.
(1) 求第二次投篮的人是乙的概率； (2) 求第 ii 次投篮的人是甲的概率； (3) 已知：若随机变量 XiX_i 服从两点分布，且 P(Xi=1)=1−P(Xi=0)=qiP(X_i=1)=1-P(X_i=0)=q_i， i=1\ i=1，22，…\dots，nn，则 E(∑i=1nXi)=∑i=1nqiE\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)=\sum_{i=1}^n q_i. 记前 nn 次（即从第 11 次到第 nn 次）投篮中甲投篮的次数为 YY，求 E(Y)E(Y).

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 21 题 · 解答题

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2015分概率与统计★★★☆☆
一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100100 例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100100 人（称为对照组），得到如下数据：
(1) 能否有 99%99\% 的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2) 从该地的人群中任选一人，AA 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，BB 表示事件“选到的人患有该疾病”. P(B∣A)P(B‾∣A)\frac{P(B\mid A)}{P(\overline B\mid A)} 与 P(B∣A‾)P(B‾∣A‾)\frac{P(B\mid \overline A)}{P(\overline B\mid \overline A)} 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为 RR.
(i) 证明：R=P(B∣A)P(B‾∣A)÷P(B∣A‾)P(B‾∣A‾)=P(A∣B)P(A‾∣B)⋅P(A‾∣B‾)P(A∣B‾);R=\frac{P(B\mid A)}{P(\overline B\mid A)}\div \frac{P(B\mid \overline A)}{P(\overline B\mid \overline A)}=\frac{P(A\mid B)}{P(\overline A\mid B)}\cdot \frac{P(\overline A\mid \overline B)}{P(A\mid \overline B)}; (ii) 利用该调查数据，给出 P(A∣B)P(A\mid B)，P(A∣B‾)P(A\mid \overline B) 的估计值，并利用（1）的结果给出 RR 的估计值.
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

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1817分概率与统计★★☆☆☆
某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束. A 类问题中的每个问题回答正确得 2020 分，否则得 00 分；B 类问题中的每个问题回答正确得 8080 分，否则得 00 分. 已知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.80.8，能正确回答 B 类问题的概率为 0.60.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1) 若小明先回答 AA 类问题，记 XX 为小明的累计得分，求 XX 的分布列； (2) 为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★★☆
甲，乙，丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签，甲，乙首先比赛，丙轮空. 设每场比赛双方获胜的概率都为 12\dfrac{1}{2}.
(1) 求甲连胜四场的概率； (2) 求需要进行第五场比赛的概率； (3) 求丙最终获胜的概率.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为 A，B，C，D 四个等级. 加工业务约定：对于 A 级品，B 级品，C 级品，厂家每件分别收取加工费 9090 元，5050 元，2020 元；对于 D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费 5050 元. 该厂有甲，乙两个分厂可承接加工业务. 甲分厂加工成本费为 2525 元/件，乙分厂加工成本费为 2020 元/件. 厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了 100100 件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
乙分厂产品等级的频数分布表
(1) 分别估计甲，乙两分厂加工出来的一件产品为 AA 级品的概率； (2) 分别求甲，乙两分厂加工出来的 100100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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21概率与统计★★★★★
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验. 试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药. 一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 44 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 11 分，乙药得 −1-1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 11 分，甲药得 −1-1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 00 分. 甲、乙两种药的治愈率分别记为 α\alpha 和 β\beta，一轮试验中甲药的得分记为 XX.
(1) 求 XX 的分布列； (2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予 44 分，pip_i（i=0i=0，11，⋯\cdots，88）表示“甲药的累计得分为 ii 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p0=0p_0=0，p8=1p_8=1，pi=api−1+bpi+cpi+1p_i=ap_{i-1}+bp_i+cp_{i+1}（i=1i=1，22，⋯\cdots，77），其中 a=P(X=−1)a=P(X=-1)，b=P(X=0)b=P(X=0)，c=P(X=1)c=P(X=1). 假设 α=0.5\alpha=0.5，β=0.8\beta=0.8.
(i) 证明：{pi+1−pi}\{p_{i+1}-p_i\}（i=0i=0，11，22，⋯\cdots，77）为等比数列； (ii) 求 p4p_4，并根据 p4p_4 的值解释这种试验方案的合理性.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某商场为提高服务质量，随机调查了 5050 名男顾客和 5050 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意不满意
女顾客3020
(1) 分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； (2) 能否有 95%95\% 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}.
P(K2≥k)P(K^2\ge k)0.0500.0500.0100.0100.0010.001

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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20概率与统计★★★★☆
某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件200\text{ 件}，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品. 检验时，先从这箱产品中任取 20 件20\text{ 件} 作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验. 设每件产品为不合格品的概率都为 pp（0<p<10<p<1），且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1) 记 20 件20\text{ 件} 产品中恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品的概率为 f(p)f(p)，求 f(p)f(p) 的最大值点 p0p_0； (2) 现对一箱产品检验了 20 件20\text{ 件}，结果恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品，以（1）中确定的 p0p_0 作为 pp 的值. 已知每件产品的检验费用为 2 元2\text{ 元}，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元25\text{ 元} 的赔偿费用.
(i) 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 XX，求 EXEX； (ii) 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
某家庭记录了未使用节水龙头 5050 天的日用水量数据（单位：m3\text{m}^3）和使用了节水龙头 5050 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头 5050 天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头 5050 天的日用水量频数分布表
(1) 作出使用了节水龙头 5050 天的日用水量数据的频率分布直方图； (2) 估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35 m30.35\text{ m}^3 的概率； (3) 估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365365 天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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16概率与统计★★★☆☆
某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 33 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定. 小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的 66 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 11 个进行尝试. 若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.
(1) 求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (2) 设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为 XX，求 XX 的分布列和数学期望.

2015 · 福建 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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18概率与统计★★☆☆☆
全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标. 根据相关报道提供的全网传播 2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前 20 名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.
2[5,6)[5,6)8
3[6,7)[6,7)7
4[7,8][7,8]3
(1) 现从融合指数在 [4,5)[4, 5) 和 [7,8][7, 8] 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家进行调研，求至少有 1 家的融合指数在 [7,8][7, 8] 内的概率； (2) 根据分组统计表法求这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.

2015 · 福建 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 10001000 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 44 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 22 个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
(1) 若袋中所装的 44 个球中有 11 个所标的面值为 50 元50\text{ 元}，其余 33 个均为 10 元10\text{ 元}，求：
(i) 顾客所获的奖励额为 60 元60\text{ 元} 的概率； (ii) 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望. (2) 商场对奖励总额的预算是 60000 元60000\text{ 元}，并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元10\text{ 元} 和 50 元50\text{ 元} 的两种球组成，或标有面值 20 元20\text{ 元} 和 40 元40\text{ 元} 的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.

2014 · 福建 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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20概率与统计★★★☆☆
根据世行 20132013 年新标准，人均 GDP\mathrm{GDP} 低于 1035 美元1035\ \text{美元} 为低收入国家；人均 GDP\mathrm{GDP} 为 1035—4085 美元1035\text{—}4085\ \text{美元} 为中等偏下收入国家；人均 GDP\mathrm{GDP} 为 4085—12616 美元4085\text{—}12616\ \text{美元} 为中等偏上收入国家；人均 GDP\mathrm{GDP} 不低于 12616 美元12616\ \text{美元} 为高收入国家. 某城市有 55 个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均 GDP\mathrm{GDP} 如下表：
(1) 判断该城市人均 GDP\mathrm{GDP} 是否达到中等偏上收入国家标准； (2) 现从该城市 55 个行政区中随机抽取 22 个，求抽到的 22 个行政区人均 GDP\mathrm{GDP} 都达到中等偏上收入国家标准的概率.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 以全市人口为 11，按各行政区人口比例加权，城市人均 GDP\mathrm{GDP} 为 0.25×8000+0.30×4000+0.15×6000+0.10×3000+0.20×10000=64000.25\times8000+0.30\times4000+0.15\times6000+0.10\times3000+0.20\times10000=6400 美元. 因为 4085⩽6400<126164085\leqslant6400<12616，所以该城市达到中等偏上收入国家标准. \item 达到中等偏上收入国家标准的行政区为 A、C、E，共 33 个. 从 55 个行政区中随机抽取 22 个，基本事件总数为 C52=10\mathrm C_5^2=10，有利事件数为从 A、C、E 中抽取 22 个，即 C32=3\mathrm C_3^2=3. 因此所求概率为 C32C52=310\frac{\mathrm C_3^2}{\mathrm C_5^2}=\frac3{10}. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 福建 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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16概率与统计★★★☆☆
某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲，乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 23\frac{2}{3}，中奖可以获得 22 分；方案乙的中奖率为 25\frac{2}{5}，中奖可以获得 33 分；未中奖则不得分. 每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.
(1) 若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 XX，求 X⩽3X \leqslant 3 的概率； (2) 若小明，小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

2013 · 福建 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
某工厂有 25 周岁以上（含 25 周岁）工人 300 名，25 周岁以下工人 200 名. 为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25 周岁以上（含 25 周岁）”和“25 周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成 5 组：[50,60)[50, 60)，[60,70)[60, 70)，[70,80)[70, 80)，[80,90)[80, 90)，[90,100][90, 100] 分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
(1) 从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人，求至少抽到一名“25 周岁以下组”工人的概率； (2) 规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成 2×22\times 2 列联表，并判断是否有 90%90\% 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\chi^2 = \frac{n(ad - bc)^2}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)}，P{χ2⩾k}P\left\{\chi^{2} \geqslant k\right\}
P{χ2⩾k}P\{\chi^2 \geqslant k\}0.1000.1000.0500.0500.0100.0100.0010.001
（注：此处公式也可以写成 K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2 = \frac{n(ad - bc)^2}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)}）
=0pt =0pt

2013 · 福建 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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16概率与统计★★★☆☆
受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关. 某轿车制造厂生产甲，乙两种品牌轿车，保修期均为 22 年. 现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取 5050 辆，统计数据如下：
\begin{array}{c} \hline 品牌 & \multicolumn{3}{c|}{甲} & \multicolumn{2}{c|}{乙} \\ \hline 首次出现故障的时间 $x$（$\text{年}$） & $0 < x \leqslant 1$ & $1 < x \leqslant 2$ & $x > 2$ & $0 < x \leqslant 2$ & $x > 2$ \\ \hline 轿车数量（$\text{辆}$） & 2 & 3 & 45 & 5 & 45 \\ \hline 每辆利润（$\text{万元}$） & 1 & 2 & 3 & 1.8 & 2.9 \\ \hline \end{array}
将频率视为概率，解答下列问题：
(1) 从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率； (2) 若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为 X1X_{1}，生产一辆乙品牌轿车的利润为 X2X_{2}，分别求 X1X_{1}，X2X_{2} 的分布列； (3) 该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的新车. 若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？请说明理由.

2012 · 福建 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
在等差数列 {an}\{a_{n}\} 和等比数列 {bn}\{b_{n}\} 中，a1=b1=1a_{1} = b_{1} = 1，b4=8b_{4} = 8，{an}\{a_{n}\} 的前 10 项和 S10=55S_{10} = 55.
(1) 求 ana_{n} 和 bnb_{n}； (2) 现分别从 {an}\{a_{n}\} 和 {bn}\{b_{n}\} 的前 3 项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率.

2012 · 福建 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价 xx（元\text{元}）888.28.28.48.48.68.68.88.899
销量 yy（件\text{件}）909084848383808075756868
(1) 求回归直线方程 y^=bx+a\hat{y} = bx + a，其中 b=−20b = -20， a=y‾−bx‾a = \overline{y} - b\overline{x}； (2) 预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4 元/件4\text{ 元/件}，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元\text{元}？（利润=销售收入−成本\text{利润}=\text{销售收入}-\text{成本}）

2012 · 福建 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
某产品按行业生产标准分成 88 个等级，等级系数 XX 依次为 11，22，…\dots，88，其中 X⩾5X\geqslant 5 为标准 AA，X⩾3X\geqslant 3 为标准 BB. 已知甲厂执行标准 AA 生产该产品，产品的零售价为 6 元/件6\text{ 元/件}；乙厂执行标准 BB 生产该产品，产品的零售价为 4 元/件4\text{ 元/件}，假定甲，乙两厂的产品都符合相应的执行标准.
(1) 已知甲厂产品的等级系数 X1X_1 的概率分布如下表所示：
且 E(X1)=6E(X_1)=6. 求 aa，bb 的值； (2) 为分析乙厂产品的等级系数 X2X_2，从该厂生产的产品中随机抽取 3030 件，相应的等级系数组成一个样本. 数据如下：
3533855634
6347534853
8343447567
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 X2X_2 的数学期望； (3) 在前两问的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.
注：
① 产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望产品的零售价=\frac{\text{产品的等级系数的数学期望}}{\text{产品的零售价}}； ② “性价比”大的产品更具可购买性.

2011 · 福建 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
某日用品按行业质量标准分成五个等级. 等级系数 XX 依次为 11，22，33，44，55. 现从一批该日用品中随机抽取 20 件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
XX1122334455
(1) 若所抽取的 20 件日用品中，等级系数为 4 的恰有 3 件，等级系数为 5 的恰有 2 件，求 aa，bb，cc 的值； (2) 在上问的条件下，将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1x_{1}，x2x_{2}，x3x_{3}，等级系数为 5 的 2 件日用品记为 y1y_{1}，y2y_{2}. 现从 x1x_{1}，x2x_{2}，x3x_{3}，y1y_{1}，y2y_{2} 这 5 件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.

2011 · 福建 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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16概率与统计★★★☆☆
设 SS 是不等式 x2−x−6⩽0x^{2} - x - 6 \leqslant 0 的解集，整数 mm，n∈Sn \in S.
(1) 记使得“m+n=0m + n = 0 成立的有序数组 (m,n)(m, n)”为事件 AA，试列举 AA 包含的基本事件； (2) 设 ξ=m2\xi = m^2，求 ξ\xi 的分布列及其数学期望 E(ξ)E(\xi).

2010 · 福建 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
设平面向量 am=(m,1)\boldsymbol{a}_{m} = (m,1)，bn=(2,n)\boldsymbol{b}_{n} = (2,n)，其中 mm，n∈{1,2,3,4}n \in \{1,2,3,4\}.
(1) 请列出有序数组 (m,n)\left(m,n\right) 的所有可能结果； (2) 记“使得 am⊥(am−bn)\boldsymbol{a}_{m} \perp \left(\boldsymbol{a}_{m}-\boldsymbol{b}_{n}\right) 成立”的 (m,n)\left(m,n\right) 为事件 AA，求事件 AA 发生的概率.

2010 · 福建 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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