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共找到 16 题

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1513分概率与统计★★★☆☆

从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图：

(1) 估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀分布）； (2) 记

\hat{p}

1

件这种电子产品首次出现故障的时间小于

365

天的概率的估计值.

\hat{p}

； (ii) 该厂向某用户销售

100

件这种电子产品，记

X

100

件电子产品中首次出现故障的时间小于

365

天的件数，假设

X\sim B\left( 100,\hat{p} \right)

E\left( X \right)

D\left( X \right)

2026 · 全国 · 二卷 · 第 15 题 · 解答题

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1917分概率与统计★★★★★

甲，乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得 1 分，负者得 0 分. 设每个球甲胜的概率为

p

\frac12<p<1

），乙胜的概率为

q

p+q=1

，且各球的胜负相互独立. 对正整数

k\ge 2

p_k

k

个球后甲比乙至少多得 2 分的概率，

q_k

k

个球后乙比甲至少多得 2 分的概率.

p_3

p_4

p

表示）； (2) 若

\frac{p_4-p_3}{q_4-q_3}=4

p

； (3) 证明：对任意正整数

m

p_{2m+1}-q_{2m+1}<p_{2m}-q_{2m}<p_{2m+2}-q_{2m+2}

2025 · 全国 · 二卷 · 第 19 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆

某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲，乙两个车间的产品中随机抽取

150\text{ 件}

进行检验，数据如下：

	优级品	合格品	不合格品	总计

(1) 填写如下列联表：

	优级品	非优级品

95\%

的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有

99\%

的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2) 已知升级改造前该工厂产品的优级品率

p=0.5

\bar p

为升级改造后抽取的

n\text{ 件}

产品的优级品率. 如果

\bar p>p+1.65\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}

，则认为该工厂产品的优级品率提高了. 根据抽取的

150\text{ 件}

产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（

\sqrt{150}\approx 12.247

K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

$P\left( K^2\ge k \right)$	0.050	0.010	0.001

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆

某工厂进行生产线智能化升级改造. 升级改造后，从该工厂甲，乙两个车间的产品中随机抽取

150\text{ 件}

进行检验，数据如下：

	优级品	合格品	不合格品	总计
乙车间	70	28	2	100

(1) 填写如下列联表：

	优级品	非优级品
乙车间	\fillinblank{}	\fillinblank{}

95\%

的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有

99\%

的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2) 已知升级改造前该工厂产品的优级品率

p=0.5

\bar p

为升级改造后抽取的

n\text{ 件}

产品的优级品率，如果

\bar p>p+1.65\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}

，则认为该工厂产品的优级品率提高了. 根据抽取的

150\text{ 件}

产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（

\sqrt{150}\approx12.247

K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

P(K^2\ge k)

的临界值如下：

	0.050	0.010	0.001

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆

一项试验旨在研究臭氧效应. 试验方案如下：选 40 只小白鼠，随机地将其中 20 只分配到试验组，另外 20 只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：

g

X

表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求

X

的分布列和数学期望； (2) 试验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：

15.2， 18.8， 20.2， 21.3， 22.5， 23.2， 25.8， 26.5， 27.5， 30.1，

32.6， 34.3， 34.8， 35.6， 35.6， 35.8， 36.2， 37.3， 40.5， 43.2

试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：

7.8， 9.2， 11.4， 12.4， 13.2， 15.5， 16.5， 18.0， 18.8， 19.2，

19.8， 20.2， 21.6， 22.8， 23.6， 23.9， 25.1， 28.2， 32.3， 36.5

(i) 求 40 只小鼠体重的增加量的中位数

m

，再分别统计两样本中小于

m

m

的数据的个数，完成如下列联表； (ii) 根据（1）中的列联表，能否有 95% 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？

K^2=\dfrac{n\left( ad-bc \right)^2}{\left( a+b \right)\left( c+d \right)\left( a+c \right)\left( b+d \right)}

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆

一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选 40 只小白鼠，随机地将其中 20 只分配到试验组，另外 20 只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：

\mathrm{g}

）. 试验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

15.2，18.8，20.2，21.3，22.5，23.2，25.8，26.5，27.5，30.1，

32.6，34.3，34.8，35.6，35.6，35.8，36.2，37.3，40.5，43.2

试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

7.8，9.2，11.4，12.4，13.2，15.5，16.5，18.0，18.8，19.2，

19.8，20.2，21.6，22.8，23.6，23.9，25.1，28.2，32.3，36.5

(1) 计算试验组的样本平均数； (2) (i) 求 40 只小白鼠体重的增加量的中位数

m

，再分别统计两样本中小于

m

m

的数据的个数，完成如下列联表 (ii) 根据列联表，能否有

95\%

的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？

K^2=\dfrac{n\left(ad-bc\right)^2}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)\left(a+c\right)\left(b+d\right)}

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆

甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得

10

分，负方得

0

分，没有平局. 三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军. 已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为

0.5

0.4

0.8

，各项目的比赛结果相互独立.

(1) 求甲学校获得冠军的概率； (2) 用

X

表示乙学校的总得分，求

X

的分布列与期望.

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆

甲，乙两城之间的长途客车均由

A

B

两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲，乙两城之间的

500

个班次，得到下面列联表：

$B$	210	30

(1) 根据上表，分别估计这两家公司甲，乙两城之间的长途客车准点的概率； (2) 能否有

90\%

的把握认为甲，乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？

K^2=\dfrac{n\left(ad-bc\right)^2}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)\left(a+c\right)\left(b+d\right)}

2022 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆

甲，乙两台机床生产同种产品，产品质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了

200

件产品，产品的质量情况统计如下表：

乙机床	120	80	200
合计	270	130	400

(1) 甲机床，乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ (2) 能否有

99\%

的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？

K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆

甲，乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品. 为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了

200

件产品，产品的质量情况统计如下表：

(1) 甲机床，乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ (2) 能否有

99\%

的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？

K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆

某学生兴趣小组随机调查了某市

100

天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

锻炼人次	$[0,200]$	$(200,400]$	$(400,600]$
空气质量等级 $2$ （良）	5	10	12
空气质量等级 $3$ （轻度污染）	6	7	8
空气质量等级 $4$ （中度污染）	7	2	0

(1) 分别估计该市一天的空气质量等级为

1

2

3

4

的概率； (2) 求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3) 若某天的空气质量等级为

1

2

，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为

3

4

，则称这天“空气质量不好”. 根据所给数据，完成下面的

2\times2

列联表，并根据列联表，判断是否有

95\%

的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

	人次 $\le400$	人次 $>400$
空气质量不好

K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

$P(K^2\ge k)$	0.050	0.010	0.001

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆

某学生兴趣小组随机调查了某市

100

天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

\airqualityheader	$[0,200]$	$(200,400]$	$(400,600]$
$2$ （良）	$5$	$10$	$12$
$3$ （轻度污染）	$6$	$7$	$8$
$4$ （中度污染）	$7$	$2$	$0$

(1) 分别估计该市一天的空气质量等级为

1

2

3

4

的概率； (2) 求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3) 若某天的空气质量等级为

1

2

，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为

3

4

，则称这天“空气质量不好”. 根据所给数据，完成下面的

2\times 2

列联表，并根据列联表，判断是否有

95\%

的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

	人次 $\le 400$	人次 $>400$
空气质量不好

K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

$P(K^2\ge k)$	$0.050$	$0.010$	$0.001$

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆

为了解甲，乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将

200

只小鼠随机分成

A

B

两组，每组

100

A

组小鼠给服甲离子溶液，

B

组小鼠给服乙离子溶液. 每只小鼠给服的溶液体积相同，摩尔浓度相同. 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比. 根据试验数据分别得到如下直方图：

C

为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于

5.5

” ，根据直方图得到

P(C)

的估计值为

0.70

(1) 求乙离子残留百分比直方图中

a

b

的值； (2) 分别估计甲，乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆

为了解甲，乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将

200

只小鼠随机分成

A

B

两组，每组

100

A

组小鼠给服甲离子溶液，

B

组小鼠给服乙离子溶液. 每只小鼠给服的溶液体积相同，摩尔浓度相同. 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比. 根据试验数据分别得到如图直方图：

C

为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于

5.5

”，根据直方图得到

P(C)

的估计值为

0.70

(1) 求乙离子残留百分比直方图中

a

b

的值； (2) 分别估计甲，乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆

某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式. 为比较两种生产方式的效率，选取

40

名工人，将他们随机分成两组，每组

20

人. 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式. 根据工人完成生产任务的工作时间（单位：

\mathrm{min}

）绘制了如图茎叶图：

第一种生产方式	茎	第二种生产方式
$9$ ， $7$ ， $6$ ， $2$	$7$	$0$ ， $1$ ， $2$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ ， $6$ ， $6$ ， $8$
$9$ ， $8$ ， $7$ ， $7$ ， $6$ ， $5$ ， $4$ ， $3$ ， $3$ ， $2$	$8$	$1$ ， $4$ ， $4$ ， $5$
$2$ ， $1$ ， $1$ ， $0$ ， $0$	$9$	$0$

(1) 根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； (2) 求

40

名工人完成生产任务所需时间的中位数

m

，并将完成生产任务所需时间超过

m

m

的工人数填入下面的列联表：

	超过 $m$	不超过 $m$

(3) 根据（2）中的列联表，能否有

99\%

的把握认为两种生产方式的效率有差异？

K^2=\dfrac{n\left( ad-bc \right)^2}{\left( a+b \right)\left( c+d \right)\left( a+c \right)\left( b+d \right)}

$P\left( K^2\ge k \right)$	0.050	0.010	0.001

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆

某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式. 为比较两种生产方式的效率，选取

40

名工人，将他们随机分成两组，每组

20

人. 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式. 根据工人完成生产任务的工作时间（单位：

\mathrm{min}

）绘制了如下茎叶图：

\begin{array}{c} \multicolumn{10}{c|}{第一种生产方式} & & \multicolumn{10}{c}{第二种生产方式} \\ \hline & & & & & & & & 8 & 6 & 5 & 5 & 6 & 8 & 9 & & & & & \\ & & & & & & 9 & 7 & 6 & 2 & 7 & 0 & 1 & 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 6 & 8 \\ 9 & 8 & 7 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 3 & 2 & 8 & 1 & 4 & 4 & 5 & & & & & \\ & & & & & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 9 & 0 & & & & & & & & \\ \end{array}

(1) 根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； (2) 求

40

名工人完成生产任务所需时间的中位数

m

，并将完成生产任务所需时间超过

m

m

的工人数填入下面的列联表； (3) 根据（2）中的列联表，能否有

99\%

的把握认为两种生产方式的效率有差异？

	超过 $m$	不超过 $m$	总计
第二种生产方式

2018 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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