真题题库 | 数迹

1917分概率与统计★★★☆☆

100

天空气中的

\mathrm{PM}_{2.5}

和

\mathrm{SO}_2

浓度（单位：

\mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3

），得下表：

$\mathrm{PM}_{2.5}\backslash\mathrm{SO}_2$	$[0,50]$	$(50,150]$	$(150,475]$
$(35,75]$	6	8	12
$(75,115]$	3	7	10

(1) 估计事件“该市一天空气中

\mathrm{PM}_{2.5}

浓度不超过 75，且

\mathrm{SO}_2

浓度不超过 150”的概率； (2) 根据所给数据，完成下面的

2\times 2

列联表：

$\mathrm{PM}_{2.5}\backslash\mathrm{SO}_2$	$[0,150]$	$(150,475]$
$(75,115]$

(3) 根据（2）中的列联表，判断是否有 99% 的把握认为该市一天空气中

\mathrm{PM}_{2.5}

浓度与

\mathrm{SO}_2

浓度有关？

附：

K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

.

$P(K^2\ge k)$	0.050	0.010	0.001

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1917分概率与统计★★★☆☆

为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了

100

天空气中的

\mathrm{PM}_{2.5}

和

\mathrm{SO}_2

浓度（单位：

\mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3

），得下表：

$\mathrm{PM}_{2.5}\backslash\mathrm{SO}_2$	$[0,50]$	$(50,150]$	$(150,475]$
$(35,75]$	6	8	12
$(75,115]$	3	7	10

(1) 估计事件“该市一天空气中

\mathrm{PM}_{2.5}

浓度不超过

75

，且

\mathrm{SO}_2

浓度不超过

150

”的概率； (2) 根据所给数据，完成下面的

2\times2

列联表：

$\mathrm{PM}_{2.5}\backslash\mathrm{SO}_2$	$[0,150]$	$(150,475]$
$(75,115]$

(3) 根据（2）中的列联表，判断是否有

99\%

的把握认为该市一天空气中

\mathrm{PM}_{2.5}

浓度与

\mathrm{SO}_2

浓度有关？

附：

K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

.

$P(K^2\geqslant k)$	$0.050$	$0.010$	$0.001$

2020 · 全国 · 新高考二卷 · 第 19 题 · 解答题

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19概率与统计★★★★☆

甲，乙，丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：

累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.

经抽签，甲，乙首先比赛，丙轮空. 设每场比赛双方获胜的概率都为

\dfrac{1}{2}

.

(1) 求甲连胜四场的概率； (2) 求需要进行第五场比赛的概率； (3) 求丙最终获胜的概率.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆

某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为 A，B，C，D 四个等级. 加工业务约定：对于 A 级品，B 级品，C 级品，厂家每件分别收取加工费

90

元，

50

元，

20

元；对于 D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费

50

元. 该厂有甲，乙两个分厂可承接加工业务. 甲分厂加工成本费为

25

元/件，乙分厂加工成本费为

20

元/件. 厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了

100

件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：

甲分厂产品等级的频数分布表

乙分厂产品等级的频数分布表

(1) 分别估计甲，乙两分厂加工出来的一件产品为

A

级品的概率； (2) 分别求甲，乙两分厂加工出来的

100

件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆

某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加. 为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的

200

个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取

20

个作为样区，调查得到样本数据

(x_i,y_i)

（

i=1

，

2

，

\cdots

，

20

），其中

x_i

和

y_i

分别表示第

i

个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得

\sum_{i=1}^{20}x_i=60

，

\sum_{i=1}^{20}y_i=1200

，

\sum_{i=1}^{20}\left( x_i-\bar{x} \right)^2=80

，

\sum_{i=1}^{20}\left( y_i-\bar{y} \right)^2=9000

，

\sum_{i=1}^{20}\left( x_i-\bar{x} \right)\left( y_i-\bar{y} \right)=800

.

(1) 求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）； (2) 求样本

(x_i,y_i)

（

i=1

，

2

，

\cdots

，

20

）的相关系数（精确到

0.01

）； (3) 根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大. 为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

附：相关系数

r=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}\left( x_i-\bar{x} \right)\left( y_i-\bar{y} \right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_i-\bar{x} \right)^2\sum_{i=1}^{n}\left( y_i-\bar{y} \right)^2}}

，

\sqrt2\approx 1.414

.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆

某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加. 为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的

200

个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取

20

个作为样区，调查得到样本数据

(x_i,y_i)

（

i=1

，

2

，

\cdots

，

20

），其中

x_i

和

y_i

分别表示第

i

个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得

\sum_{i=1}^{20}x_i=60

，

\sum_{i=1}^{20}y_i=1200

，

\sum_{i=1}^{20}(x_i-\bar x)^2=80

，

\sum_{i=1}^{20}(y_i-\bar y)^2=9000

，

\sum_{i=1}^{20}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)=800

.

(1) 求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）； (2) 求样本

(x_i,y_i)

（

i=1

，

2

，

\cdots

，

20

）的相关系数（精确到

0.01

）； (3) 根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大. 为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

附：相关系数

r=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar y)^2}}

，

\sqrt2\approx 1.414

.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆

某学生兴趣小组随机调查了某市

100

天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

锻炼人次	$[0,200]$	$(200,400]$	$(400,600]$
空气质量等级 $2$ （良）	5	10	12
空气质量等级 $3$ （轻度污染）	6	7	8
空气质量等级 $4$ （中度污染）	7	2	0

(1) 分别估计该市一天的空气质量等级为

1

，

2

，

3

，

4

的概率； (2) 求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3) 若某天的空气质量等级为

1

或

2

，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为

3

或

4

，则称这天“空气质量不好”. 根据所给数据，完成下面的

2\times2

列联表，并根据列联表，判断是否有

95\%

的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

	人次 $\le400$	人次 $>400$
空气质量不好

附：

K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

.

$P(K^2\ge k)$	0.050	0.010	0.001

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆

某学生兴趣小组随机调查了某市

100

天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

\airqualityheader	$[0,200]$	$(200,400]$	$(400,600]$
$2$ （良）	$5$	$10$	$12$
$3$ （轻度污染）	$6$	$7$	$8$
$4$ （中度污染）	$7$	$2$	$0$

(1) 分别估计该市一天的空气质量等级为

1

，

2

，

3

，

4

的概率； (2) 求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3) 若某天的空气质量等级为

1

或

2

，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为

3

或

4

，则称这天“空气质量不好”. 根据所给数据，完成下面的

2\times 2

列联表，并根据列联表，判断是否有

95\%

的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

	人次 $\le 400$	人次 $>400$
空气质量不好

附：

K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

.

$P(K^2\ge k)$	$0.050$	$0.010$	$0.001$

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆

某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二. 为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：

\begin{array}{c} \hline & \multicolumn{2}{c|}{男生} & \multicolumn{2}{c}{女生} \\ \hline & 支持 & 不支持 & 支持 & 不支持 \\ \hline 方案一 & $200\text{ 人}$ & $400\text{ 人}$ & $300\text{ 人}$ & $100\text{ 人}$ \\ 方案二 & $350\text{ 人}$ & $250\text{ 人}$ & $150\text{ 人}$ & $250\text{ 人}$ \\ \hline \end{array}

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.

(1) 分别估计该校男生支持方案一的概率，该校女生支持方案一的概率； (2) 从该校全体男生中随机抽取

2\text{ 人}

，全体女生中随机抽取

1\text{ 人}

，估计这

3\text{ 人}

中恰有

2\text{ 人}

支持方案一的概率； (3) 将该校学生支持方案的概率估计值记为

p_0

，假设该校年级有

500\text{ 名}

男生和

300\text{ 名}

女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为

p_1

，试比较

p_0

与

p_1

的大小. （结论不要求证明）

2020 · 北京 · 第 18 题 · 解答题

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23概率与统计★★★★★

甲口袋中装有

2

个黑球和

1

个白球，乙口袋中装有

3

个白球. 现从甲，乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复

n

次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为

X_n

，恰有

2

个黑球的概率为

p_n

，恰有

1

个黑球的概率为

q_n

.

(1) 求

p_1\cdot q_1

和

p_2\cdot q_2

； (2) 求

2p_n+q_n

与

2p_{n-1}+q_{n-1}

的递推关系式和

X_n

的数学期望

E(X_n)

（用

n

表示）.

2020 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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