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1917分数列★★★★★
设 mm 为正整数，数列 a1a_1，a2a_2，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 为公差不为 00 的等差数列，若删去两项 aia_i，aja_j（i<ji<j） 后剩余 4m4m 项可平均分为 mm 组且每组 4 个数都成等差，则称该数列为 (i,j)(i,j)-可分数列.
(1) 写出所有 (i,j)(i,j)，1≤i<j≤61\le i<j\le6，使 a1a_1，…\dots，a6a_6 是 (i,j)(i,j)-可分数列； (2) 当 m≥3m\ge3 时，证明 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (2,13)(2,13)-可分数列； (3) 从 11，22，…\dots，4m+24m+2 中不放回任取 i<ji<j，设 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (i,j)(i,j)-可分数列的概率为 PmP_m，证明 Pm>18P_m>\frac18.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分概率与统计★★★★☆
某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮 3 次3\text{ 次}，若 3 次3\text{ 次}都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为 0 分0\text{ 分}；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮 3 次3\text{ 次}，每次投中得 5 分5\text{ 分}，未投中得 0 分0\text{ 分}，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和. 某参赛队由甲，乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 pp，乙每次投中的概率为 qq，各次投中与否相互独立.
(1) 若 p=0.4p=0.4，q=0.5q=0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲，乙所在队的比赛成绩不少于 5 分的概率； (2) 假设 0<p<q0<p<q，
(i) 为使得甲，乙所在队的比赛成绩为 15 分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ (ii) 为使得甲，乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 18 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲，乙两个车间的产品中随机抽取 150 件150\text{ 件} 进行检验，数据如下：
优级品合格品不合格品总计
(1) 填写如下列联表：
优级品非优级品
能否有 95%95\% 的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有 99%99\% 的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2) 已知升级改造前该工厂产品的优级品率 p=0.5p=0.5，设 pˉ\bar p 为升级改造后抽取的 n 件n\text{ 件} 产品的优级品率. 如果 pˉ>p+1.65p(1−p)n\bar p>p+1.65\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}，则认为该工厂产品的优级品率提高了. 根据抽取的 150 件150\text{ 件} 产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（150≈12.247\sqrt{150}\approx 12.247）
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}
P(K2≥k)P\left( K^2\ge k \right)0.0500.0100.001

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某工厂进行生产线智能化升级改造. 升级改造后，从该工厂甲，乙两个车间的产品中随机抽取 150 件150\text{ 件} 进行检验，数据如下：
优级品合格品不合格品总计
乙车间70282100
(1) 填写如下列联表：
优级品非优级品
乙车间\fillinblank{}\fillinblank{}
能否有 95%95\% 的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有 99%99\% 的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2) 已知升级改造前该工厂产品的优级品率 p=0.5p=0.5. 设 pˉ\bar p 为升级改造后抽取的 n 件n\text{ 件} 产品的优级品率，如果 pˉ>p+1.65p(1−p)n\bar p>p+1.65\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}，则认为该工厂产品的优级品率提高了. 根据抽取的 150 件150\text{ 件} 产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（150≈12.247\sqrt{150}\approx12.247）
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，P(K2≥k)P(K^2\ge k) 的临界值如下：
0.0500.0100.001

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取 1000 份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
假设：一份保单的保费为 0.4 万元；前 3 次索赔时，保险公司每次赔偿 0.8 万元；第四次索赔时，保险公司赔偿 0.6 万元. 假设不同保单的索赔次数相互独立. 用频率估计概率.
(1) 估计一份保单索赔次数不少于 2 的概率； (2) 一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
(i) 记 XX 为一份保单的毛利润，估计 E(X)E(X)； (ii) 如果无索赔的保单的保费减少 4%，有索赔的保单的保费增加 20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（1）中 E(X)E(X) 估计值的大小（结论不要求证明）.

2024 · 北京 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
某地区为调查初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区 29000 名初中生中抽取 580 人，得到日均体育锻炼时长（表中简称时长）与学业成绩的数据如下表所示：
(1) 估计该地区 29000 名初中生中体育锻炼时长大于 1 小时人数； (2) 估计该地区初中生平均日均体育锻炼时长（结果精确到 0.1 小时）； (3) 判断是否有 95% 的把握认为该地区初中生学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于 1 小时且小于 2 小时有关？ （附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中 n=a+b+c+dn=a+b+c+d，P(χ2≥3.841)≈0.05P(\chi^2\ge 3.841)\approx 0.05.）

2024 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
水果分为一级果和二级果，共 136136 箱，其中一级果 102102 箱，二级果 3434 箱.
(1) 随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率； (2) 进行分层抽样，共抽 88 箱水果，求一级果和二级果各几箱； (3) 抽取若干箱水果，其中一级果共 120120 个，单果质量平均数为 303.45303.45 克，方差为 603.46603.46；二级果 4848 个，单果质量平均数为 240.41240.41 克，方差为 648.21648.21；求 168168 个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量.

2024 · 上海 · 春季 · 第 19 题 · 解答题

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