为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：

(1) 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 $p$，求 $p$ 的估计值； (2) 根据小概率值 $\alpha = 0.001$ 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.

附：$\chi^2 = \frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

甲，乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得 1 分，负者得 0 分. 设每个球甲胜的概率为 $p$（$\frac12<p<1$），乙胜的概率为 $q$，$p+q=1$，且各球的胜负相互独立. 对正整数 $k\ge 2$，记 $p_k$ 为打完 $k$ 个球后甲比乙至少多得 2 分的概率，$q_k$ 为打完 $k$ 个球后乙比甲至少多得 2 分的概率.

(1) 求 $p_3$，$p_4$（用 $p$ 表示）； (2) 若 $\frac{p_4-p_3}{q_4-q_3}=4$，求 $p$； (3) 证明：对任意正整数 $m$，$p_{2m+1}-q_{2m+1}<p_{2m}-q_{2m}<p_{2m+2}-q_{2m+2}$.

有一道选择题考查某知识点. 甲，乙两校各随机抽取 $100$ 人，甲校有 $80$ 人答对，乙校有 $75$ 人答对，用频率估计概率.

(1) 从甲校随机抽取 1 人，求这个人做对该题目的概率； (2) 从甲乙两校各随机抽取 1 人，设 $X$ 为做对人数，求 $P(X=1)$ 与 $E(X)$； (3) 若甲校同学掌握该知识点，则有 $100\%$ 的概率做对该题目；乙校同学掌握该知识点，则有 $85\%$ 的概率做对该题目；未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个. 设甲校学生掌握该知识点的概率为 $p_1$，乙校学生掌握该知识点的概率为 $p_2$，比较 $p_1$ 与 $p_2$ 的大小.

2024 年巴黎奥运会，中国获得了男子 $4\times100$ 米混合泳接力金牌，以下是历届奥运会男子 $4\times100$ 米混合泳接力项目冠军成绩（单位：秒），数据按照升序排列.

(1) 求这组数据的极差与中位数； (2) 从这 10 个数据中任选 3 个，求恰有 2 个数据大于 $211$ 的概率； (3) 若比赛成绩 $y$ 关于年份 $x$ 的回归方程为 $y=-0.311x+\hat b$，年份 $x$ 的平均数为 $2006$，预测 $2028$ 年男子 $4\times100$ 米混合泳接力项目冠军队的成绩（精确到 $0.01$ 秒）.

甲，乙是两个体育社团的小组，给出两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间，个位数作为“叶”分列在两边.

(1) 分别求甲，乙两组组员身高的第 $60$ 百分位数； (2) 从甲，乙两组各选取一个组员，求两人身高均在 $170\text{ 厘米}$ 以上的概率； (3) 为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组. 是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲，乙两组的平均身高都增大？