设整数 $N\ge 2$. 某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 $N$ 次，当且仅当投中 $1$ 次时或 $N$ 次均未投中时，停止练习. 设该同学每次投中的概率为 $p$（$0<p<1$），各次投中与否相互独立. 记 $X$ 为停止练习时该同学的投篮次数.

(1) 当 $N=4$，$p=\dfrac{1}{3}$ 时，求 $X$ 的分布列； (2) 设 $k$，$m$ 均为自然数.

(i) 当 $k\le N-1$ 时，求 $P(X>k)$； (ii) 当 $k+m\le N-1$ 时，证明：$P(X>k+m\mid X>k)=P(X>m)$．

从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图：

(1) 估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀分布）； (2) 记 $\hat{p}$ 为 $1$ 件这种电子产品首次出现故障的时间小于 $365$ 天的概率的估计值.

(i) 求 $\hat{p}$； (ii) 该厂向某用户销售 $100$ 件这种电子产品，记 $X$ 为这 $100$ 件电子产品中首次出现故障的时间小于 $365$ 天的件数，假设 $X\sim B\left( 100,\hat{p} \right)$，求 $E\left( X \right)$，$D\left( X \right)$.

现从全校学生中随机抽取 200 人统计数学成绩，成绩分组及对应人数如下：

以频率估计概率，完成下列问题：

(1) 求数学成绩低于 120 分的概率； (2) 从学校随机抽取 4 人，求 2 人不低于 120 且 2 人小于 94 的概率； (3) 每组数据取左端，中间，右端，比较 $s_{\text{左}}^2$，$s_{\text{中}}^2$，$s_{\text{右}}^2$ 的大小关系.

工厂为了保护和改善环境，记录了颗粒物密度和二氧化硫密度. 下表是 $2023$ 年前九年数据：

(1) 从九年中任意抽取一年，该年份颗粒物密度比二氧化硫密度高的概率是多少？ (2) 想要研究颗粒物密度和二氧化硫密度的线性关系，你准备选择扇形图，茎叶图还是散点图？研究颗粒物密度和二氧化硫密度的相关系数，你认为在区间 $(-1,0)$，$(0,1)$ 还是 $(1,2)$ 内？直接写出答案； (3) 九年中的平均年份是 $2018$ 年. 设 $x$ 为年份，颗粒物密度为 $y$，现在有两个选择：$y_1=106.55\mathrm{e}^{-0.461\left( x-2014 \right)}$，$y_2=a\left( x-2014 \right)+83.743$（$a\in\mathbf{R}$），其中 $y_1$ 是回归方程，$y_2$ 是线性回归方程. 通过预测值与实际值之差的绝对值来比较精确度，已知在 $2023$ 年实际颗粒物密度为 $3.88$，预测值与实际值之差的绝对值哪个更小（精确到 $0.01$）？

某兴趣班共$150\text{ 人}$，年龄分布及兴趣爱好统计如下：

(1) 现采用分层抽样抽取$30\text{ 人}$，其中抽到年龄在$[25,35)\text{ 岁}$的有多少人？ (2) 该兴趣班$150\text{ 人}$的平均年龄是多少？ (3) 现从$150\text{ 人}$中任意抽选$1\text{ 人}$，记抽到的学员年龄在$[35,45)$为事件$A$，记抽到学员爱好摄影为事件$B$. 事件$A$与$B$是否独立？请说明理由.