某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加, 每人出场一次, 出场次序由随机抽签确定. 则丙不是第一个出场, 且甲或乙最后出场的概率是 （ ）

甲、乙两人各有四张卡片, 每张卡片上标有一个数字, 甲的卡片上分别标有数字 1, 3, 5, 7, 乙的卡片上分别标有数字 2, 4, 6, 8. 两人进行四轮比赛. 在每轮比赛中, 两人各自从自己持有的卡片中随机选一张, 并比较所选卡片上数字的大小, 数字大的人得 1 分, 数字小的人得 0 分, 然后各自弃置此轮所选的卡片 (弃置的卡片在此后的轮次中不能使用). 则四轮比赛后, 甲的总得分不小于 2 的概率为 ______.

有 $6$ 个相同的球, 分别标有数字 $1, 2, 3, 4, 5, 6$, 从中无放回地随机取 $3$ 次, 每次取 $1$ 个球. 设 $m$ 为前两次取出的球上数字的平均值, $n$ 为取出的三个球上数字的平均值, 则 $|m - n| \leqslant \dfrac{1}{2}$ 的概率为______.

设 $m$ 为正整数, 数列 $a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2}$ 是公差不为 $0$ 的等差数列, 若从中删去两项 $a_i$ 和 $a_j\ (i<j)$ 后剩余的 $4m$ 项可被平均分为 $m$ 组, 且每组的 $4$ 个数都能构成等差数列, 则称数列 $a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2}$ 是 $(i,j)$-可分数列.

(1) 写出所有的 $(i,j)$, $1 \le i < j \le 6$, 使数列 $a_1, a_2, \ldots, a_6$ 是 $(i,j)$-可分数列;

(2) 当 $m \ge 3$ 时, 证明: 数列 $a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2}$ 是 $(2,13)$-可分数列;

(3) 从 $1, 2, \ldots, 4m+2$ 中一次任取两个数 $i$ 和 $j\ (i<j)$, 记数列 $a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2}$ 是 $(i,j)$-可分数列的概率为 $P_m$, 证明: $P_m > \frac{1}{8}$.