国内生产总值 (GDP) 是衡量该地区经济状况的最佳指标.根据统计数据显示, 某市在 2020 年间经济高质量增长, GDP 稳定增长, 第一季度和第四季度的 GDP 分别为 $232$ 亿元和 $241$ 亿元, 且四个季度的 GDP 逐季度增长.若这四个季度的 GDP 的中位数与平均数相等, 则该市 2020 年的 GDP 为______亿元.

有一组样本数据 $x_1, \cdots, x_6$, 其中 $x_1$ 最小, $x_6$ 最大, 则 （ ）

某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应, 进行 $10$ 次配对试验, 每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品, 随机地选其中一个用甲工艺处理, 另一个用乙工艺处理, 测量处理后的橡胶产品的伸缩率。甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 $x_i, y_i$ ($i = 1, 2, \cdots, 10$)。试验结果如下:

记 $z_i = x_i - y_i$ ($i = 1, 2, \cdots, 10$), 记 $z_1, z_2, \cdots, z_{10}$ 的样本平均数为 $\bar{z}$, 样本方差为 $s^2$。

(1) 求 $\bar{z}$, $s^2$;

(2) 判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果 $\bar{z} \ge 2\sqrt{\dfrac{s^2}{10}}$, 则认为有显著提高, 否则不认为有显著提高）。

某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应, 进行 $10$ 次配对试验, 每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品, 随机地选其中一个用甲工艺处理, 另一个用乙工艺处理, 测量处理后的橡胶产品的伸缩率。甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 $x_i, y_i$ ($i = 1, 2, \cdots, 10$)。试验结果如下:

记 $z_i = x_i - y_i$ ($i = 1, 2, \cdots, 10$), 记 $z_1, z_2, \cdots, z_{10}$ 的样本平均数为 $\bar{z}$, 样本方差为 $s^2$。

(1) 求 $\bar{z}$, $s^2$;

(2) 判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果 $\bar{z} \ge 2\sqrt{\dfrac{s^2}{10}}$, 则认为有显著提高, 否则不认为有显著提高）。

一项试验研究臭氧对小白鼠体重影响。40 只小白鼠随机分实验组和对照组。数据见原题表格。

(1) 求对照组体重增加量的均值和方差;

(2) 检验两组是否有显著差异。

疾病检测: 患病者/未患病者指标频率分布直方图, 临界值 $c$, 漏诊率 $p(c)$, 误诊率 $q(c)$。

(1) $p(c) = 0.5\%$ 时求 $c$ 和 $q(c)$;

(2) $f(c) = p(c) + q(c)$, $c \in [95, 105]$, 求 $f(c)$ 解析式及最小值。