已知等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $3$ 项和为 $168$, $a_2 - a_5 = 42$, 则 $a_6 =$ （ ）

已知等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $3$ 项和为 $168$，$a_2 - a_5 = 42$，则 $a_6 =$ （ ）

记 $S_n$ 为等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和。若 $2S_3 = 3S_2 + 6$，则公差 $d =$ ______。

已知数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正数, 其前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $a_n \cdot S_n = 9 \ (n = 1, 2, \ldots)$。给出下列四个结论: ① $\{a_n\}$ 的第 2 项小于 3; ② $\{a_n\}$ 为等比数列; ③ $\{a_n\}$ 为递减数列; ④ $\{a_n\}$ 中存在小于 $\dfrac{1}{100}$ 的项。 其中所有正确结论的序号是 ______$

已知 $Q: a_1, a_2, \ldots, a_k$ 为有穷整数数列, 给定正整数 $m$, 若对任意的 $n \in \{1, 2, \ldots, m\}$, 在 $Q$ 中存在 $a_i, a_{i+1}, a_{i+2}, \ldots, a_{i+j} \ (j \geqslant 0)$, 使得 $a_i + a_{i+1} + a_{i+2} + \cdots + a_{i+j} = n$, 则称为 $m$-连续可表数列。 (1) 判断 $Q: 2, 1, 4$ 是否为 5-连续可表数列? 是否为 6-连续可表数列? 说明理由; (2) 若 $Q: a_1, a_2, \ldots, a_k$ 为 8-连续可表数列, 求证: $k$ 的最小值为 4; (3) 若 $Q: a_1, a_2, \ldots, a_k$ 为 20-连续可表数列, $a_1 + a_2 + \cdots + a_k < 20$, 求证: $k \geqslant 7$。