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075分数列★★★☆☆
一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深邃的历史文化闻名遐迩. 该塔群共有 108108 座塔，依山势自上而下排成 1212 行，将第 ii 行中塔的座数记为 aia_i（i=1i=1，22，⋯\cdots，1212），其中 a1=1a_1=1，a2=a3=3a_2=a_3=3，a4=a5=5a_4=a_5=5，且 a6a_6，a7a_7，⋯\cdots，a12a_{12} 是一个首项为 77，公差为 22 的等差数列. 将 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，a12a_{12} 分为 66 组，每组 22 个数，使得每组的 22 个数之和可构成一个项数为 66 且公差为 dd（d>0d>0）的等差数列，则 d=d=（ ）
A.
22
B.
44
C.
66
D.
88

2026 · 全国 · 一卷 · 第 7 题 · 选择题

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145分数列★★★★☆
设实数 qq 满足：存在数列 {an}\{a_n\}，使得对于任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，均有 a1+a2+⋯+a3n=n2+na_1+a_2+\cdots+a_{3n}=n^2+n，且 {an}\{a_n\} 中有某连续 99 项 aka_k，ak+1a_{k+1}，⋯\cdots，ak+8a_{k+8} 是公比为 qq 的等比数列，则 qq 的最大值为______．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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106分数列★★★☆☆
设等比数列 {an}\{a_n\} 的公比 q≠1q\ne 1，a1>0a_1>0，2a3=a1+a22a_3=a_1+a_2，记其前 nn 项和为 SnS_n，则（ ）
A.
q=−12q=-\frac{1}{2}
B.
Sn>2a13S_n>\frac{2a_1}{3}
C.
2Sn+2=Sn+1+Sn2S_{n+2}=S_{n+1}+S_n
D.
∑k=1nSk>2na13\sum_{k=1}^{n} S_k>\frac{2na_1}{3}

2026 · 全国 · 二卷 · 第 10 题 · 多选题

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125分数列★☆☆☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 a1=−1a_1=-1，a3=5a_3=5，则 S6=‾S_6=\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 12 题 · 填空题

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07集合与逻辑基础★★★☆☆
{an}\left\{ a_n \right\}，{bn}\left\{ b_n \right\} 是无穷数列，则“存在常数 MM，使 an≤M≤bna_n\le M\le b_n（n=1n=1，22，33，⋯\cdots）”是“an≤bna_n\le b_n（n=1n=1，22，33，⋯\cdots）”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2026 · 北京 · 第 7 题 · 选择题

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12数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\left\{ a_n \right\} 的前 nn 项和为 SnS_n，且 S6=6a6+30S_6=6a_6+30，则公差 d=‾d=\underline{\hspace{2em}}，若 Sn≤S5S_n\le S_5 恒成立，则符合条件的 a1a_1 的一个取值为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 北京 · 第 12 题 · 填空题

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08数列★★★☆☆
已知 S2n−Sn=nS_{2n}-S_n=n，a3=6a_3=6，则 a7+a8=a_7+a_8=（ ）
A.
6868
B.
5656
C.
−3-3
D.
−4-4

2026 · 天津 · 第 8 题 · 选择题

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19数列★★★★★
已知等差数列 {an}\{a_n\} 与等比数列 {bn}\{b_n\} 满足：a1=2a_1=2，b1=1b_1=1，a2=b1+b2a_2=b_1+b_2，a4=b3−b1a_4=b_3-b_1.
(1) 求数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 记 En={x∈R∣x≤n, ∃k∈N∗, x=ak 或 x=bk}E_n=\left\{ x\in \mathbf{R}\mid x\le n,\ \exists k\in \mathbf{N}^*,\ x=a_k\text{\ 或\ }x=b_k \right\}，记 cnc_n 为 EnE_n 中的元素个数.
(i) 求 c3nc_{3^n}； (ii) 求 ∑m=13n−1(−1)m⋅am⋅cm\sum_{m=1}^{3^n-1}(-1)^m\cdot a_m\cdot c_m.

2026 · 天津 · 第 19 题 · 解答题

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02数列★☆☆☆☆
已知数列 {an}\left\{ a_n \right\} 是等比数列，且 a1=2a_1=2，a2=6a_2=6，则 a4=‾a_4=\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 上海 · 第 2 题 · 填空题

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09数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\left\{ a_n \right\} 中，a1=0a_1=0，dd 为公差，SnS_n 为前 nn 项和. 至少有两项 SnS_n 介于 (0,1)\left( 0,1 \right)，则 dd 的取值范围为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 上海 · 第 9 题 · 填空题

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13数列★☆☆☆☆
下列数列中是等差数列也是等比数列的是（ ）.
A.
1，−1-1，1，−1-1，1
B.
1，2，3，4，5
C.
5，5，5，5，5
D.
1，2，3，5，7

2026 · 上海 · 春季 · 第 13 题 · 选择题

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135分数列★★☆☆☆
若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为______.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 13 题 · 填空题

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1615分数列★★★★☆
设数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=3a_1 = 3，an+1n=ann+1+1n(n+1)\frac{a_{n+1}}{n} = \frac{a_n}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}.
(1) 证明：{nan}\{na_n\} 为等差数列； (2) 给定正整数 mm，设函数 f(x)=a1x+a2x2+⋯+amxmf(x) = a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_mx^m，求 f′(−2)f'(-2).

2025 · 全国 · 一卷 · 第 16 题 · 解答题

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075分数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，若 S3=6S_3=6，S5=−5S_5=-5，则 S6=S_6=（ ）
A.
−20-20
B.
−15-15
C.
−10-10
D.
−5-5

2025 · 全国 · 二卷 · 第 7 题 · 选择题

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096分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，qq 为 {an}\{a_n\} 的公比，q>0q>0. 若 S3=7S_3=7，a3=1a_3=1，则（ ）
A.
q=12q=\frac12
B.
a5=19a_5=\frac19
C.
S5=8S_5=8
D.
an+Sn=8a_n+S_n=8

2025 · 全国 · 二卷 · 第 9 题 · 多选题

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05数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是公差不为 0 的等差数列，a1=−2a_1=-2，若 a3a_3，a4a_4，a6a_6 成等比数列，则 a10=a_{10}=（ ）
A.
−20-20
B.
−18-18
C.
16
D.
18

2025 · 北京 · 第 5 题 · 选择题

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06数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 已知 Sn=−n2+8nS_n=-n^2+8n，则数列 {∣an∣}\{|a_n|\} 的前 12 项和为（ ）
A.
112
B.
48
C.
80
D.
64

2025 · 天津 · 第 6 题 · 选择题

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19数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 为等差数列，{bn}\{b_n\} 为等比数列，a1=b1=2a_1=b_1=2，a2=b2+1a_2=b_2+1，a3=b3a_3=b_3.
(1) 求 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的通项； (2) ∀n∈N∗\forall n\in\mathbf{N}^*，I={0,1}I=\{0,1\}，定义 Tn={p1a1b1+p2a2b2+⋯+pnanbn∣pi∈I,i=1,…,n}T_n=\{p_1a_1b_1+p_2a_2b_2+\cdots+p_na_nb_n\mid p_i\in I,i=1,\dots,n\}.
(i) 求证：对任意 t∈Tnt\in T_n，有 t<an+1bn+1t<a_{n+1}b_{n+1}； (ii) 求 TnT_n 的所有元素之和.

2025 · 天津 · 第 19 题 · 解答题

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03数列★☆☆☆☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 的首项 a1=−3a_1 = -3，公差 d=2d = 2，则该数列的前 66 项和为______.

2025 · 上海 · 第 3 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★★☆
设 λ∈R\lambda\in\mathbf{R}，数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\}，{cn}\{c_n\} 的通项分别为 an=10n−9a_n=10n-9，bn=2nb_n=2^n，cn=λan+(1−λ)bnc_n=\lambda a_n+(1-\lambda)b_n. 若对任意 λ∈[0,1]\lambda\in[0,1]，ana_n，bnb_n，cnc_n 均能作为三角形的三边长，则满足条件的正整数 nn 有（ ）
A.
1个
B.
3个
C.
4个
D.
无穷多个

2025 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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07数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是首项为 11，公差为 11 的等差数列，{bn}\{b_n\} 是首项为 11，公比为 qq（q>0q>0） 的等比数列. 若数列 {anbn}\{a_nb_n\} 的前三项和为 22，则 q=‾q=\underline{\hspace{2em}}.

2025 · 上海 · 春季 · 第 7 题 · 填空题

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085分数列★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且 f(x)>f(x−1)+f(x−2)f(x)>f(x-1)+f(x-2)， 当 x<3x<3 时 f(x)=xf(x)=x. 则下列结论中一定正确的是（ ）
A.
f(10)>100f(10)>100
B.
f(20)>1000f(20)>1000
C.
f(10)<1000f(10)<1000
D.
f(20)<10000f(20)<10000

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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1917分数列★★★★★
设 mm 为正整数，数列 a1a_1，a2a_2，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 为公差不为 00 的等差数列，若删去两项 aia_i，aja_j（i<ji<j） 后剩余 4m4m 项可平均分为 mm 组且每组 4 个数都成等差，则称该数列为 (i,j)(i,j)-可分数列.
(1) 写出所有 (i,j)(i,j)，1≤i<j≤61\le i<j\le6，使 a1a_1，…\dots，a6a_6 是 (i,j)(i,j)-可分数列； (2) 当 m≥3m\ge3 时，证明 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (2,13)(2,13)-可分数列； (3) 从 11，22，…\dots，4m+24m+2 中不放回任取 i<ji<j，设 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (i,j)(i,j)-可分数列的概率为 PmP_m，证明 Pm>18P_m>\frac18.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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125分数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，若 a3+a4=7a_3+a_4=7，3a2+a5=53a_2+a_5=5，则 S10=S_{10}=______.

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 12 题 · 填空题

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1917分解析几何★★★★★
已知双曲线 C:x2−y2=mC:x^2-y^2=m（m>0m>0），点 P1(5,4)P_1(5,4) 在 CC 上，kk 为常数，0<k<10<k<1. 按照如下方式依次构造点 PnP_n（n=2n=2，33，…\dots）：过 Pn−1P_{n-1} 作斜率为 kk 的直线与 CC 的左支交于点 Qn−1Q_{n-1}，令 PnP_n 为 Qn−1Q_{n-1} 关于 yy 轴的对称点，记 PnP_n 的坐标为 (xn,yn)(x_n,y_n).
(1) 若 k=12k=\frac12，求 x2x_2，y2y_2； (2) 证明：数列 {xn−yn}\{x_n-y_n\} 是公比为 1+k1−k\frac{1+k}{1-k} 的等比数列； (3) 设 SnS_n 为 △PnPn+1Pn+2\triangle P_nP_{n+1}P_{n+2} 的面积，证明：对任意的正整数 nn，Sn=Sn+1S_n=S_{n+1}.

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 19 题 · 解答题

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