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共找到 37 题
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02数列★☆☆☆☆
已知数列 {an}\left\{ a_n \right\} 是等比数列，且 a1=2a_1=2，a2=6a_2=6，则 a4=‾a_4=\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 上海 · 第 2 题 · 填空题

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09数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\left\{ a_n \right\} 中，a1=0a_1=0，dd 为公差，SnS_n 为前 nn 项和. 至少有两项 SnS_n 介于 (0,1)\left( 0,1 \right)，则 dd 的取值范围为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 上海 · 第 9 题 · 填空题

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03数列★☆☆☆☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 的首项 a1=−3a_1 = -3，公差 d=2d = 2，则该数列的前 66 项和为______.

2025 · 上海 · 第 3 题 · 填空题

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12数列★★★★★
等比数列 {an}\{a_n\} 满足首项 a1>0a_1>0，公比 q>1q>1，记 In={x−y∣x,y∈[a1,a2]∪[an,an+1]}I_n=\{x-y\mid x,y\in [a_1,a_2]\cup [a_n,a_{n+1}]\}，若对任意正整数 nn，集合 InI_n 都是闭区间，则 qq 的取值范围是______.

2024 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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03数列★☆☆☆☆
若数列 {an}\{a_n\} 是首项为 33，公比为 22 的等比数列，其前 nn 项和为 SnS_n，则 S6=‾S_6=\underline{\hspace{2em}}.

2023 · 上海 · 第 3 题 · 填空题

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10数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 的公差不为零，SnS_n 为其前 nn 项和. 若 S5=0S_5=0，则 S1S_1，S2S_2，…\ldots，S100S_{100} 这 100100 个数中所有不同数值的个数为______.

2022 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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08数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_n\} 为无穷等比数列，a1=3a_1=3，ana_n 的各项和为 99，bn=a2nb_n=a_{2n}，则数列 {bn}\{b_n\} 的各项和为______.

2021 · 上海 · 第 8 题 · 填空题

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12数列★★★★☆
已知 ai∈N∗a_i\in \mathbf{N}^*（i=1i=1，22，…\dots，99），对任意的 k∈N∗k\in \mathbf{N}^*（2≤k≤82\le k\le 8），ak=ak−1+1a_k=a_{k-1}+1 或 ak=ak+1−1a_k=a_{k+1}-1 中有且仅有一个成立，a1=6a_1=6，a9=9a_9=9，则 a1+⋯+a9a_1+\cdots+a_9 的最小值为______.

2021 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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02数列★☆☆☆☆
计算：lim⁡n→∞n+13n−1=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n+1}{3n-1}=______.

2020 · 上海 · 第 2 题 · 填空题

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08数列★★☆☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 是公差不为零的等差数列，且 a1+a10=a9a_1+a_{10}=a_9，则 a1+a2+⋯+a9a10\frac{a_1+a_2+\cdots+a_9}{a_{10}}=______.

2020 · 上海 · 第 8 题 · 填空题

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08数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 前 nn 项和为 SnS_n，且满足 Sn+an=2S_n+a_n=2，则 S5=S_5=______.

2019 · 上海 · 第 8 题 · 填空题

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11解析几何★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 an<an+1a_n<a_{n+1}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），若点 Pn(n,an)P_n(n,a_n) 在双曲线 x26−y22=1\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{2}=1 上，则 lim⁡n→∞∣PnPn+1∣=\displaystyle\lim_{n\to\infty}|P_nP_{n+1}|=______.

2019 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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06数列★★☆☆☆
记等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，若 a3=0a_3=0，a6+a7=14a_6+a_7=14，则 S7=S_7=______.

2018 · 上海 · 第 6 题 · 填空题

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10数列★★★☆☆
设等比数列 {an}\{a_n\} 的通项公式为 an=qn−1a_n=q^{n-1}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），前 nn 项和为 SnS_n. 若 lim⁡n→∞Snan+1=12\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{a_{n+1}}=\frac12，则 q=q=______.

2018 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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10数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\}，其中 an=n2a_n=n^2，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，{bn}\{b_n\} 的项是互不相等的正整数. 若对于任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，{bn}\{b_n\} 的第 ana_n 项都等于 {an}\{a_n\} 的第 bnb_n 项，则 lg⁡(b1b4b9b16)lg⁡(b1b2b3b4)=‾\dfrac{\lg(b_1b_4b_9b_{16})}{\lg(b_1b_2b_3b_4)}=\underline{\hspace{2em}}.

2017 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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11数列★★★★☆
无穷数列 {an}\{a_n\} 由 kk 个不同的数组成，SnS_n 为 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若对任意的 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，Sn∈{2,3}S_n\in\{2,3\}，则 kk 的最大值为______.

2016 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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14数列★★★★☆
无穷数列 {an}\{a_n\} 由 kk 个不同的数组成，SnS_n 为 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若对任意的 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，Sn∈{2,3}S_n\in\{2,3\}，则 kk 的最大值为______.

2016 · 上海 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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08数列★★★☆☆
设无穷等比数列 {an}\{a_{n}\} 的公比为 qq，若 a1=lim⁡n→∞(a3+a4+⋯+an)a_{1} = \displaystyle\lim_{n\to \infty}(a_{3} + a_{4} + \dots + a_{n})，则 q=q =______.

2014 · 上海 · 理 · 第 8 题 · 填空题

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10数列★★★☆☆
设无穷等比数列 {an}\{a_{n}\} 的公比为 qq，若 a1=lim⁡n→∞(a3+a4+⋯+an)a_{1} = \lim\limits_{n\to \infty}(a_{3} + a_{4} + \dots + a_{n})，则 q=‾q =\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 5−12\frac{\sqrt{5}-1}{2} \end{answer}
\begin{solution} 按非零首项的无穷等比数列定义，尾项和存在必须有 ∣q∣<1|q|<1. 由等比数列求和公式， lim⁡n→∞(a3+a4+⋯+an)=a1q21−q\lim\limits_{n\to\infty}(a_3+a_4+\cdots+a_n)=\dfrac{a_1q^2}{1-q}. 与题设相等并约去非零的 a1a_1，得 1=q21−q1=\dfrac{q^2}{1-q}，即 q2+q−1=0q^2+q-1=0. 解得 q=−1±52q=\dfrac{-1\pm\sqrt5}{2}，其中只有 5−12\dfrac{\sqrt5-1}{2} 满足 ∣q∣<1|q|<1，故所求为 5−12\dfrac{\sqrt5-1}{2}. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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01数列★☆☆☆☆
计算： lim⁡n→∞n+203n+13=‾\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n+20}{3n+13}=\underline{\hspace{2em}} \begin{answer} 13\frac{1}{3} \end{answer}
\begin{solution} 将分子、分母同除以 nn，得
lim⁡n→∞n+203n+13=lim⁡n→∞1+20n3+13n=13\lim_{n\to\infty}\frac{n+20}{3n+13} =\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{20}{n}}{3+\frac{13}{n}} =\frac{1}{3}
\end{solution}

2013 · 上海 · 理 · 第 1 题 · 填空题

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10概率与统计★★★☆☆
设非零常数 dd 是等差数列 x1x_1，x2x_2，x3x_3，⋯\cdots，x19x_{19} 的公差，随机变量 ξ\xi 等可能地取值 x1x_1，x2x_2，⋯\cdots，x19x_{19}，则方差 D(ξ)=D(\xi)=______. \begin{answer} 30d230d^2 \end{answer}
\begin{solution} 等差数列可写为 xi=x1+(i−1)dx_i=x_1+(i-1)d. 由于 ξ\xi 等可能取这 1919 个值，其平均数为
E(ξ)=x1+x192=x1+9dE(\xi)=\frac{x_1+x_{19}}{2}=x_1+9d
因此
D(ξ)=119∑i=119(xi−x1−9d)2=d219∑i=119(i−10)2D(\xi)=\frac{1}{19}\sum_{i=1}^{19}(x_i-x_1-9d)^2 =\frac{d^2}{19}\sum_{i=1}^{19}(i-10)^2
令 r=i−10r=i-10，则
∑i=119(i−10)2=2∑r=19r2=2⋅9⋅10⋅196=570\sum_{i=1}^{19}(i-10)^2=2\sum_{r=1}^{9}r^2 =2\cdot\frac{9\cdot10\cdot19}{6}=570
所以 D(ξ)=57019d2=30d2D(\xi)=\frac{570}{19}d^2=30d^2. \end{solution}

2013 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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02数列★☆☆☆☆
在等差数列 {an}\{a_n\} 中，若 a1+a2+a3+a4=30a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 30，则 a2+a3=‾a_2 + a_3 =\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 1515 \end{answer}
\begin{solution} 等差数列中，首末两项之和等于中间两项之和，因此 a1+a4=a2+a3a_1+a_4=a_2+a_3. 由题设
30=a1+a2+a3+a4=2(a2+a3)30=a_1+a_2+a_3+a_4=2(a_2+a_3)
所以 a2+a3=15a_2+a_3=15. \end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 2 题 · 填空题

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06数列★★☆☆☆
有一列正方体，棱长组成以 1 为首项，12\frac{1}{2} 为公比的等比数列，体积分别记为 V1V_{1}，V2V_{2}，⋯\cdots，VnV_{n}，⋯\cdots，则 lim⁡n→∞(V1+V2+⋯+Vn)=‾\displaystyle\lim_{n \to \infty} (V_{1} + V_{2} + \cdots + V_{n}) =\underline{\hspace{2em}}.

2012 · 上海 · 理 · 第 6 题 · 填空题

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07数列★★☆☆☆
有一列正方体，棱长组成以 11 为首项，12\frac{1}{2} 为公比的等比数列，体积分别记为 V1V_{1}，V2V_{2}，⋯\cdots，VnV_{n}，⋯\cdots，则 lim⁡n→∞(V1+V2+⋯+Vn)=\displaystyle\lim_{n \to \infty} (V_{1} + V_{2} + \cdots + V_{n}) =______.

2012 · 上海 · 文 · 第 7 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
已知 f(x)=11+xf(x) = \frac{1}{1 + x}，各项均为正数的数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_{1} = 1，an+2=f(an)a_{n + 2} = f(a_n). 若 a2010=a2012a_{2010} = a_{2012}，则 a20+a11a_{20} + a_{11} 的值是______.

2012 · 上海 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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