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16函数与初等函数★★★★☆
设 λ∈R\lambda\in\mathbf{R}，数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\}，{cn}\{c_n\} 的通项分别为 an=10n−9a_n=10n-9，bn=2nb_n=2^n，cn=λan+(1−λ)bnc_n=\lambda a_n+(1-\lambda)b_n. 若对任意 λ∈[0,1]\lambda\in[0,1]，ana_n，bnb_n，cnc_n 均能作为三角形的三边长，则满足条件的正整数 nn 有（ ）
A.
1个
B.
3个
C.
4个
D.
无穷多个

2025 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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14数列★☆☆☆☆
在数列 {an}\{a_n\} 中，an=(−12)na_n=\left(-\dfrac12\right)^n，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，则 lim⁡n→∞an\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n（ ）
A.
−12-\dfrac12
B.
00
C.
12\dfrac12
D.
不存在

2017 · 上海 · 第 14 题 · 选择题

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15数列★★★☆☆
已知 aa，bb，cc 为实常数，数列 {xn}\{x_n\} 的通项 xn=an2+bn+cx_n=an^2+bn+c，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，则“存在 k∈N∗k\in\mathbf{N}^*，使得 x100+kx_{100+k}，x200+kx_{200+k}，x300+kx_{300+k} 成等差数列”的一个必要条件是（ ）
A.
a≥0a\ge0
B.
b≤0b\le0
C.
c=0c=0
D.
a−2b+c=0a-2b+c=0

2017 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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17数列★★★☆☆
已知无穷等比数列 {an}\{a_n\} 的公比为 qq，前 nn 项和为 SnS_n，且 lim⁡n→∞Sn=S\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=S，下列条件中，使得 2Sn<S2S_n<S（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）恒成立的是（ ）
A.
a1>0, 0.6<q<0.7a_1>0,\ 0.6<q<0.7
B.
a1<0a_1<0， −0.7<q<−0.6\ -0.7<q<-0.6
C.
a1>0a_1>0， 0.7<q<0.8\ 0.7<q<0.8
D.
a1<0a_1<0， −0.8<q<−0.7\ -0.8<q<-0.7

2016 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 选择题

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17数列★★★☆☆
记方程①： x2+a1x+1=0x^{2} + a_{1}x + 1 = 0，方程②： x2+a2x+2=0x^{2} + a_{2}x + 2 = 0，方程③： x2+a3x+4=0x^{2} + a_{3}x + 4 = 0，其中 a1a_{1}，a2a_{2}，a3a_{3} 是正实数. 当 a1a_{1}，a2a_{2}，a3a_{3} 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）
A.
方程①有实根，且②有实根
B.
方程①有实根，且②无实根
C.
方程①无实根，且②有实根
D.
方程①无实根，且②无实根

2015 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 选择题

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18解析几何★★★★☆
设 Pn(xn,yn)P_{n}(x_{n}, y_{n}) 是直线 2x−y=nn+12x - y = \frac{n}{n + 1}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）与圆 x2+y2=2x^{2} + y^{2} = 2 在第一象限的交点，则极限 lim⁡n→∞yn−1xn−1=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{y_{n} - 1}{x_{n} - 1} =（ ）
A.
−1-1
B.
−12-\frac{1}{2}
C.
1
D.
2

2015 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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17数列★★★☆☆
在数列 {an}\{a_n\} 中，an=2n−1a_n=2^n-1，若一个 77 行 1212 列的矩阵的第 ii 行第 jj 列的元素 aij=ai⋅aj+ai+aja_{ij}=a_i\cdot a_j+a_i+a_j （i=1i=1，22，⋯\cdots，7; j=17;\ j=1，22，⋯\cdots，1212），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由 an=2n−1a_n=2^n-1，有
aij=aiaj+ai+aj=(ai+1)(aj+1)−1=2i+j−1a_{ij}=a_i a_j+a_i+a_j=(a_i+1)(a_j+1)-1=2^{i+j}-1
其中 i=1i=1，…\ldots，77，j=1j=1，…\ldots，1212，所以 i+ji+j 可以取从 22 到 1919 的每一个整数，共有 19−2+1=1819-2+1=18 个不同值. 故选 A. \end{solution}
A.
18
B.
28
C.
48
D.
63

2013 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 选择题

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18数列★★★★☆
设 an=1nsin⁡nπ25a_{n} = \frac{1}{n}\sin \frac{n\pi}{25}，Sn=a1+a2+⋯+anS_{n} = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}. 在 S1S_{1}，S2S_{2}，⋯\cdots，S100S_{100} 中，正数的个数是（ ）
A.
25
B.
50
C.
75
D.
100

2012 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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18数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 是各项为正数的无穷数列，AiA_i 是边长为 aia_i，ai+1a_{i+1} 的矩形面积 （i=1i = 1，22，⋯\cdots），则 {An}\{A_n\} 为等比数列的充要条件为（ ）
A.
{an}\{a_n\} 是等比数列
B.
{a1,a3,⋯ ,a2n−1,⋯ }\{a_1, a_3, \cdots, a_{2n-1}, \cdots\} 或 {a2,a4,⋯ ,a2n,⋯ }\{a_2, a_4, \cdots, a_{2n}, \cdots\} 是等比数列
C.
{a1,a3,⋯ ,a2n−1,⋯ }\{a_1, a_3, \cdots, a_{2n-1}, \cdots\} 和 {a2,a4,⋯ ,a2n,⋯ }\{a_2, a_4, \cdots, a_{2n}, \cdots\} 均是等比数列
D.
{a1,a3,⋯ ,a2n−1,⋯ }\{a_1, a_3, \cdots, a_{2n-1}, \cdots\} 和 {a2,a4,⋯ ,a2n,⋯ }\{a_2, a_4, \cdots, a_{2n}, \cdots\} 均是等比数列，且公比相同

2011 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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14数列★★☆☆☆
若数列 {an}\{a_{n}\} 是首项为11，公比为 a−32a - \frac{3}{2} 的无穷等比数列，且 {an}\{a_{n}\} 的各项和为 aa，则 aa 的值是（\quad）
A.
11
B.
22
C.
12\frac{1}{2}
D.
54\frac{5}{4}

2008 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 选择题

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14数列★★☆☆☆
若数列 {an}\{a_{n}\} 是首项为 11，公比为 a−32a - \frac{3}{2} 的无穷等比数列，且 {an}\{a_{n}\} 各项的和为 aa，则 aa 的值是（ ）
A.
11
B.
22
C.
12\frac{1}{2}
D.
54\frac{5}{4}

2008 · 上海 · 文 · 第 14 题 · 选择题

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14数列★★☆☆☆
数列 {an}\{a_{n}\} 中，
an={1n2,1⩽n⩽1000,n2n2−2n,n⩾1001,a_{n} = \begin{cases} \frac{1}{n^{2}}, & 1 \leqslant n \leqslant 1000,\\ \frac{n^{2}}{n^{2} - 2n}, & n \geqslant 1001, \end{cases}
则数列 {an}\{a_{n}\} 的极限值（ ）
A.
等于 0
B.
等于 1
C.
等于 0 或 1
D.
不存在

2007 · 上海 · 文 · 第 14 题 · 选择题

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