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共找到 35 题
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18指数函数与对数函数★★★☆☆
若 f(x)=log⁡axf(x)=\log_a x（a>0a>0，a≠1a\ne 1）.
(1) y=f(x)y=f(x) 过 (4,2)(4,2)，求 f(2x−2)<f(x)f(2x-2)<f(x) 的解集； (2) 存在 xx 使得 f(x+1)f(x+1)，f(ax)f(ax)，f(x+2)f(x+2) 成等差数列，求 aa 的取值范围.

2024 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x. 曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (a1,f(a1))\left(a_1,f(a_1)\right) 处的切线交 yy 轴于点 (0,a2)(0,a_2)，且 a2>0a_2>0；曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (a2,f(a2))\left(a_2,f(a_2)\right) 处的切线交 yy 轴于点 (0,a3)(0,a_3)；以此类推，直至 am≤0a_m\le 0 时停止，得到数列 {an}\{a_n\}.
(1) 证明：当正整数 n≥2n\ge 2 时，an=ln⁡an−1−1a_n=\ln a_{n-1}-1； (2) 当正整数 n≥2n\ge 2 时，试比较 ana_n 与 an−1−2a_{n-1}-2 的大小； (3) 若正整数 k≥3k\ge 3，是否存在 kk 使得 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，aka_k 依次成等差数列？若存在，求出 kk 的所有取值；若不存在，试说明理由.

2023 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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21数列★★★★★
在数列 {an}\{a_n\} 中，a1=1a_1=1，a2=3a_2=3，对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^* 且 n≥2n\ge2，均存在正整数 i∈[1,n−1]i\in[1,n-1]，满足 an+1=2an−aia_{n+1}=2a_n-a_i.
(1) 求 a4a_4 所有可能的值； (2) 命题 pp：若 a1a_1，a2a_2，…\ldots，a8a_8 成等差数列，则 a9<30a_9<30，证明 pp 是真命题，同时写出 pp 的逆命题 qq，并判断命题 qq 是真命题还是假命题，说明理由； (3) 若 a2m=3ma_{2m}=3^m（m∈N∗m\in\mathbf{N}^*），求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式.

2022 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
已知一企业今年第一季度的营业额为 1.11.1 亿元，往后每个季度增加 0.050.05 亿元，第一季度的利润为 0.160.16 亿元，往后每一季度比前一季度增长 4%4\%.
(1) 求今年起的前 2020 个季度的总营业额； (2) 请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的 18%18\%？

2021 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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21数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\} 为有限数列，满足 ∣a1−a2∣≤∣a1−a3∣≤⋯≤∣a1−am∣|a_1-a_2|\le|a_1-a_3|\le\cdots\le|a_1-a_m|，则称 {an}\{a_n\} 满足性质 PP.
(1) 判断数列 33，22，55，11 和 44，33，22，55，11 是否具有性质 PP，请说明理由； (2) 若 a1=1a_1=1，公比为 qq 的等比数列，项数为 1010，具有性质 PP，求 qq 的取值范围； (3) 若 {an}\{a_n\} 是 11，22，33，…\ldots，mm 的一个排列（m≥4m\ge4），{bn}\{b_n\} 符合 bk=ak+1b_k=a_{k+1}（k=1k=1，22，…\ldots，m−1m-1），{an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 都具有性质 PP，求所有满足条件的数列 {an}\{a_n\}.

2020 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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21数列★★★★★
数列 {an}\{a_n\} 有 100100 项，a1=aa_1=a，对任意 n∈[2,100]n\in[2,100]，存在 ii 使得 an=ai+da_n=a_i+d，i∈[1,n−1]i\in[1,n-1]，若 aka_k 与其之前中某一项相等，则称 aka_k 具有性质 PP.
(1) 若 a1=1a_1=1，d=2d=2，求 a4a_4 所有可能的值； (2) 若 {an}\{a_n\} 不是等差数列，求证：{an}\{a_n\} 中存在具有性质 PP 的项； (3) 若 {an}\{a_n\} 中恰有三项具有性质 PP，这三项和为 cc，试用 aa，dd，cc 表示 a1+a2+⋯+a100a_1+a_2+\cdots+a_{100}.

2019 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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21数列★★★★★
给定无穷数列 {an}\{a_n\}，若无穷数列 {bn}\{b_n\} 满足：对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，都有 ∣bn−an∣≤1\lvert b_n-a_n\rvert\le1，则称 {bn}\{b_n\} 与 {an}\{a_n\}“接近”.
(1) 设 {an}\{a_n\} 是首项为 11，公比为 12\frac12 的等比数列，bn=an+1+1b_n=a_{n+1}+1，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*. 判断数列 {bn}\{b_n\} 是否与 {an}\{a_n\} 接近，并说明理由； (2) 设数列 {an}\{a_n\} 的前四项为：a1=1a_1=1，a2=2a_2=2，a3=4a_3=4，a4=8a_4=8，{bn}\{b_n\} 是一个与 {an}\{a_n\} 接近的数列，记集合 M={x∣x=bi, i=1,2,3,4}M=\{x\mid x=b_i,\ i=1,2,3,4\}，求 MM 中元素的个数 mm； (3) 已知 {an}\{a_n\} 是公差为 dd 的等差数列. 若存在数列 {bn}\{b_n\} 满足：{bn}\{b_n\} 与 {an}\{a_n\} 接近，且在 b2−b1b_2-b_1，b3−b2b_3-b_2，…\ldots，b201−b200b_{201}-b_{200} 中至少有 100100 个为正数，求 dd 的取值范围.

2018 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
根据预测，某地第 nn（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）个月共享单车的投放量和损失量分别为 ana_n 和 bnb_n（单位：辆），其中
an={5n4+15,1≤n≤3,−10n+470,n≥4,bn=n+5a_n=\begin{cases} 5n^4+15,&1\le n\le 3,\\ -10n+470,&n\ge4, \end{cases}\quad b_n=n+5
，第 nn 个月底的共享单车的保有量是前 nn 个月的累计投放量与累计损失量的差.
(1) 求该地区第 44 个月底的共享单车的保有量； (2) 已知该地共享单车停放点第 nn 个月底的单车容纳量 Sn=−4(n−46)2+8800S_n=-4(n-46)^2+8800（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？

2017 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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23数列★★★★★
若无穷数列 {an}\{a_n\} 满足：只要 ap=aqa_p=a_q（pp，q∈N∗q\in\mathbf{N}^*），必有 ap+1=aq+1a_{p+1}=a_{q+1}，则称 {an}\{a_n\} 具有性质 PP.
(1) 若 {an}\{a_n\} 具有性质 PP，且 a1=1a_1=1，a2=2a_2=2，a4=3a_4=3，a5=2a_5=2，a6+a7+a8=21a_6+a_7+a_8=21，求 a3a_3； (2) 若无穷数列 {bn}\{b_n\} 是等差数列，无穷数列 {cn}\{c_n\} 是公比为正数的等比数列，b1=c5=1b_1=c_5=1，b5=c1=81b_5=c_1=81，an=bn+cna_n=b_n+c_n，判断 {an}\{a_n\} 是否具有性质 PP，并说明理由； (3) 设 {bn}\{b_n\} 是无穷数列，已知 an+1=bn+sin⁡ana_{n+1}=b_n+\sin a_n（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），求证：“对任意 a1a_1，{an}\{a_n\} 都具有性质 PP”的充要条件为“{bn}\{b_n\} 是常数列”.

2016 · 上海 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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22数列★★★★☆
对于无穷数列 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\}，记 A={x∣x=an, n∈N∗}A=\{x\mid x=a_n,\ n\in\mathbf{N}^*\}，B={x∣x=bn, n∈N∗}B=\{x\mid x=b_n,\ n\in\mathbf{N}^*\}. 若同时满足条件：
① {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 均单调递增； ② A∩B=∅A\cap B=\varnothing 且 A∪B=N∗A\cup B=\mathbf{N}^*，则称 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是无穷互补数列.
(1) 若 an=2n−1a_n=2n-1，bn=4n−2b_n=4n-2，判断 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是否为无穷互补数列，并说明理由； (2) 若 an=2na_n=2^n 且 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是无穷互补数列，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 1616 项的和； (3) 若 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是无穷互补数列，{an}\{a_n\} 为等差数列且 a16=36a_{16}=36，求 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 的通项公式.

2016 · 上海 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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22数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_{n}\} 与 {bn}\{b_{n}\} 满足 an+1−an=2(bn+1−bn)a_{n + 1} - a_n = 2(b_{n + 1} - b_n)，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 若 bn=3n+5b_{n} = 3n + 5，且 a1=1a_{1} = 1，求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 {an}\{a_{n}\} 的第 n0n_0 项是最大项，即 an0⩾ana_{n_0} \geqslant a_n （n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）. 求证： {bn}\{b_n\} 的第 n0n_0 项是最大项； (3) 设 a1=λ<0a_1 = \lambda < 0，bn=λnb_n = \lambda^n（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）. 求 λ\lambda 的取值范围，使得 {an}\{a_n\} 有最大值 MM 与最小值 mm，且 Mm∈(−2,2)\frac{M}{m} \in (-2, 2).

2015 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_{n}\} 与 {bn}\{b_{n}\} 满足 an+1−an=2(bn+1−bn)a_{n + 1} - a_n = 2(b_{n + 1} - b_n)，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 若 bn=3n+5b_{n} = 3n + 5，且 a1=1a_{1} = 1，求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 {an}\{a_{n}\} 的第 n0n_0 项是最大项，即 an0⩾ana_{n_0} \geqslant a_n（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*），求证： {bn}\{b_n\} 的第 n0n_0 项是最大项； (3) 设 a1=3λ<0a_{1} = 3\lambda < 0，bn=λnb_{n} = \lambda^{n}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），求 λ\lambda 的取值范围，使得对任意 mm，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，an≠0a_{n} \neq 0，且 aman∈(16,6)\frac{a_{m}}{a_{n}} \in \left(\frac{1}{6}, 6\right).

2015 · 上海 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足 13an⩽an+1⩽3an\frac{1}{3} a_{n} \leqslant a_{n+1} \leqslant 3a_{n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，a1=1a_{1} = 1.
(1) 若 a2=2a_{2} = 2，a3=xa_{3} = x，a4=9a_{4} = 9，求 xx 的取值范围； (2) 设 {an}\{a_{n}\} 是公比为 qq 的等比数列，Sn=a1+a2+⋯+anS_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}. 若 13Sn⩽Sn+1⩽3Sn\frac{1}{3} S_{n} \leqslant S_{n+1} \leqslant 3S_{n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，求 qq 的取值范围； (3) 若 a1a_{1}，a2a_{2}，⋯\cdots，aka_{k} 成等差数列，且 a1+a2+⋯+ak=1000a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{k} = 1000，求正整数 kk 的最大值，以及 kk 取最大值时相应数列 a1a_{1}，a2a_{2}，⋯\cdots，aka_{k} 的公差.

2014 · 上海 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足 13an⩽an+1⩽3an\frac{1}{3} a_{n} \leqslant a_{n+1} \leqslant 3a_{n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，a1=1a_{1} = 1.
(1) 若 a2=2a_{2} = 2，a3=xa_{3} = x，a4=9a_{4} = 9，求 xx 的取值范围； (2) 若 {an}\{a_{n}\} 是等比数列，且 am=11000a_{m} = \frac{1}{1000}，求正整数 mm 的最小值，以及 mm 取最小值时相应 {an}\{a_{n}\} 的公比； (3) 若 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，a100a_{100} 成等差数列，求 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，a100a_{100} 的公差的取值范围.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 n=2n=2 时的不等式，得 23⩽x⩽6\dfrac23\leqslant x\leqslant6. 由 n=3n=3 时的不等式，得 x3⩽9⩽3x\dfrac x3\leqslant9\leqslant3x，即 3⩽x⩽273\leqslant x\leqslant27. 两个范围取交集，得到 x∈[3,6]x\in[3,6]. \item 设公比为 qq. 由 n=1n=1 时的条件，13⩽q⩽3\dfrac13\leqslant q\leqslant3，所以 q>0q>0. 因为 a1=1a_1=1，有 am=qm−1=10−3a_m=q^{m-1}=10^{-3}，故 q=10−3(m−1)q=10^{-\frac{3}{(m-1)}}. 条件 q⩾13q\geqslant\dfrac13 等价于 103(m−1)⩽310^{\frac{3}{(m-1)}}\leqslant3. 当 m=7m=7 时，q=10−12<13q=10^{-\frac{1}{2}}<\dfrac13，不满足条件；当 m=8m=8 时，q=10−37>13q=10^{-\frac{3}{7}}>\dfrac13，且 q<1<3q<1<3，满足上界条件. 因为 10−3(m−1)10^{-\frac{3}{(m-1)}} 随正整数 mm 增大而增大，故 m=7m=7 不可而 m=8m=8 可行，最小值为 88，相应公比为 q=10−37q=10^{-\frac{3}{7}}. \item 设公差为 dd，则 an=1+(n−1)da_n=1+(n-1)d. 对 n=1n=1，22，…\ldots，9999，原条件分别等价于 an+d⩾an3a_n+d\geqslant\dfrac{a_n}{3} 和 an+d⩽3ana_n+d\leqslant3a_n. 代入 ana_n 后，前一个不等式化为 (2n+1)d⩾−2(2n+1)d\geqslant-2，即 d⩾−22n+1d\geqslant-\dfrac{2}{2n+1}；后一个不等式化为 (3−2n)d⩽2(3-2n)d\leqslant2. 当 n=1n=1 时给出 d⩽2d\leqslant2，当 n⩾2n\geqslant2 时给出 d⩾−22n−3d\geqslant-\dfrac{2}{2n-3}. 前一组下界中，2n+12n+1 随 nn 增大而增大，故最强条件来自 n=99n=99，即 d⩾−2199d\geqslant-\dfrac{2}{199}. 对 n⩾2n\geqslant2，有 2n−3<2n+12n-3<2n+1，从而 −22n−3<−22n+1-\dfrac{2}{2n-3}< -\dfrac{2}{2n+1}，所以后一组下界不比前一组的最强下界严格. 综合得公差范围为 d∈[−2199,2]d\in\left[-\dfrac{2}{199},2\right]. 代回上述两组不等式可知该范围内各不等式均成立，所以这是充要范围. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★★★
给定常数 c>0c>0，定义函数 f(x)=2∣x+c+4∣−∣x+c∣f(x)=2|x+c+4|-|x+c|，数列 a1a_1，a2a_2，a3a_3，…\ldots 满足 an+1=f(an)a_{n+1}=f(a_n)，n∈N∗n\in \mathbf{N}^*.
(1) 若 a1=−c−2a_1=-c-2，求 a2a_2 及 a3a_3； (2) 求证：对任意 n∈N∗n\in \mathbf{N}^*，an+1−an⩾ca_{n+1}-a_n\geqslant c； (3) 是否存在 a1a_1，使得 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，ana_n，⋯\cdots 成等差数列？ 若存在，求出所有这样的 a1a_1，若不存在，说明理由.

2013 · 上海 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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22数列★★★★☆
已知函数 f(x)=2−∣x∣f(x) = 2 - |x|，无穷数列 {an}\{a_n\} 满足 an+1=f(an)a_{n+1} = f(a_n)，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 若 a1=0a_1 = 0，求 a2a_2，a3a_3，a4a_4； (2) 若 a1>0a_1 > 0，且 a1a_1，a2a_2，a3a_3 成等比数列，求 a1a_1 的值； (3) 是否存在 a1a_1，使得 a1a_1，a2a_2，a3a_3，⋯\cdots，ana_n，⋯\cdots 成等差数列？若存在，求出所有这样的 a1a_1；若不存在，说明理由.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 a1=0a_1=0 时，a2=2−∣0∣=2a_2=2-|0|=2，a3=2−∣2∣=0a_3=2-|2|=0，a4=2−∣0∣=2a_4=2-|0|=2. \item 设 a1=t>0a_1=t>0.
当 0<t⩽20<t\leqslant2 时，a2=2−t⩾0a_2=2-t\geqslant0，从而 a3=2−(2−t)=ta_3=2-(2-t)=t. 由 a1a_1，a2a_2，a3a_3 成等比数列，得 (2−t)2=t2(2-t)^2=t^2， 所以 4−4t=04-4t=0，即 t=1t=1.
当 t>2t>2 时，a2=2−t<0a_2=2-t<0，从而 a3=2−∣2−t∣=4−ta_3=2-|2-t|=4-t. 于是 (2−t)2=t(4−t)(2-t)^2=t(4-t)， 即 2t2−8t+4=02t^2-8t+4=0，解得 t=2±2t=2\pm\sqrt{2}. 结合 t>2t>2，得 t=2+2t=2+\sqrt{2}. 因此 a1=1a_1=1 或 a1=2+2a_1=2+\sqrt{2}. \item 假设数列成等差数列，公差为 dd，则 an=a1+(n−1)da_n=a_1+(n-1)d. 由于对任意 nn 都有 an+1=2−∣an∣⩽2a_{n+1}=2-|a_n|\leqslant2，若 d>0d>0，则等差表达式使 an+1a_{n+1} 在 nn 足够大时大于 22，矛盾. 若 d<0d<0，则 ana_n 在 nn 足够大时为负数，此时递推式变为 an+1=2+ana_{n+1}=2+a_n，所以 d=2d=2，又与 d<0d<0 矛盾. 因此只能有 d=0d=0.
此时所有 ana_n 都等于 a1a_1，由递推式得 a1=2−∣a1∣a_1=2-|a_1|. 当 a1⩾0a_1\geqslant0 时，a1=2−a1a_1=2-a_1，得 a1=1a_1=1；当 a1<0a_1<0 时，a1=2+a1a_1=2+a_1，矛盾. 因此存在且唯一的取值为 a1=1a_1=1. \end{enumerate} \end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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23平面向量★★★★★
对于数集 X={−1,x1,x2,⋯ ,xn}X = \{-1, x_1, x_2, \cdots, x_n\}，其中 0<x1<x2<⋯<xn0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n，n⩾2n \geqslant 2，定义向量集 Y={a∣a=(s,t),s∈X,t∈X}Y = \{\boldsymbol{a} \mid \boldsymbol{a} = (s, t), s \in X, t \in X\}. 若对任意 a1∈Y\boldsymbol{a}_1 \in Y，存在 a2∈Y\boldsymbol{a}_2 \in Y，使得 a1⋅a2=0\boldsymbol{a}_1 \cdot \boldsymbol{a}_2 = 0，则称 XX 具有性质 PP. 例如 {−1,1,2}\{-1, 1, 2\} 具有性质 PP.
(1) 若 x>2x > 2，且 {−1,1,2,x}\{-1, 1, 2, x\} 具有性质 PP，求 xx 的值； (2) 若 XX 具有性质 PP，求证： 1∈X1 \in X，且当 xn>1x_n > 1 时，x1=1x_1 = 1； (3) 若 XX 具有性质 PP，且 x1=1x_{1} = 1，x2=qx_{2} = q （qq 为常数），求有穷数列 x1x_{1}，x2x_{2}，⋯\cdots，xnx_{n} 的通项公式.

2012 · 上海 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23数列★★★★★
对于项数为 mm 的有穷数列 {an}\{a_{n}\}，记 bk=max⁡{a1,a2,⋯ ,ak}b_{k} = \max \{a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{k}\} （k=1k = 1，22，⋯\cdots，mm），即 bkb_{k} 为 a1a_{1}，a2a_{2}，⋯\cdots，aka_{k} 中的最大值，并称数列 {bk}\{b_{k}\} 是 {an}\{a_{n}\} 的控制数列. 如 11，33，22，55，55 的控制数列是 11，33，33，55，55.
(1) 若各项均为正整数的数列 {an}\{a_{n}\} 的控制数列为 22，33，44，55，55，写出所有的 {an}\{a_{n}\}； (2) 设 {bn}\{b_{n}\} 是 {an}\{a_{n}\} 的控制数列，满足 ak+bm−k+1=Ca_{k} + b_{m - k + 1} = C （CC 为常数，k=1k = 1，22，⋯\cdots，mm）. 求证：bk=akb_{k} = a_{k} （k=1k = 1，22，⋯\cdots，mm）； (3) 设 m=100m = 100，常数 a∈(12,1)a \in \left(\frac{1}{2}, 1\right)，若 an=an2−(−1)n(n+1)2na_{n} = a n^{2} - (-1)^{\frac{n(n + 1)}{2}} n，{bn}\{b_{n}\} 是 {an}\{a_{n}\} 的控制数列，求 (b1−a1)+(b2−a2)+⋯+(b100−a100)(b_{1} - a_{1}) + (b_{2} - a_{2}) + \cdots + (b_{100} - a_{100}).

2012 · 上海 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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22数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式分别为 an=3n+6a_n = 3n + 6，bn=2n+7b_n = 2n + 7 （n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），将集合 {x∣x=an,n∈N∗}∪{x∣x=bn,n∈N∗}\{x \mid x = a_n, n \in \mathbf{N}^{*}\} \cup \{x \mid x = b_n, n \in \mathbf{N}^{*}\} 中的元素从小到大依次排列，构成数列 c1c_1，c2c_2，c3c_3，c4c_4，⋯\cdots，cnc_n，⋯\cdots.
(1) 求 c1c_1，c2c_2，c3c_3，c4c_4； (2) 求证：在数列 {an}\{a_n\} 中，但不在数列 {bn}\{b_n\} 中的项恰为 a2a_2，a4a_4，⋯\cdots，a2na_{2n}，⋯\cdots； (3) 求数列 {cn}\{c_n\} 的通项公式.

2011 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 和 {bn}\{b_{n}\} 的通项公式分别为 an=3n+6a_{n} = 3n + 6，bn=2n+7b_{n} = 2n + 7（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），将集合 {x∣x=an,n∈N∗}∪{x∣x=bn,n∈N∗}\{x \mid x = a_{n}, n \in \mathbf{N}^{*}\} \cup \{x \mid x = b_{n}, n \in \mathbf{N}^{*}\} 中的元素从小到大依次排列，构成数列 c1c_{1}，c2c_{2}，c3c_{3}，⋯\cdots，cnc_{n}，⋯\cdots.
(1) 求三个最小的数，使它们既是数列 {an}\{a_{n}\} 中的项，又是数列 {bn}\{b_{n}\} 中的项； (2) 数列 c1c_{1}，c2c_{2}，c3c_{3}，⋯\cdots，c40c_{40} 中有多少项不是数列 {bn}\{b_{n}\} 中的项？请说明理由； (3) 求数列 {cn}\{c_{n}\} 的前 4n4n 项和 S4nS_{4n}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）.

2011 · 上海 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，且 Sn=n−5an−85S_{n} = n - 5a_{n} - 85，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 证明：{an−1}\{a_{n}-1\} 是等比数列； (2) 求数列 {Sn}\{S_n\} 的通项公式，并指出 nn 为何值时，SnS_n 取得最小值，并说明理由.

2010 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
(1) 已知数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，且 Sn=n−5an−85S_{n} = n - 5a_{n} - 85，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，证明：{an−1}\{a_{n} - 1\} 是等比数列； (2) 求数列 {Sn}\{S_{n}\} 的通项公式，并求出使得 Sn+1>SnS_{n+1} > S_{n} 成立的最小正整数 nn.

2010 · 上海 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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23数列★★★★★
已知 {an}\{a_n\} 是公差为 dd 的等差数列，{bn}\{b_n\} 是公比为 qq 的等比数列.
(1) 若 an=3n+1a_n = 3n + 1，是否存在 mm，k∈N∗k \in \mathbf{N}^*，有 am+am+1=aka_m + a_{m+1} = a_k？请说明理由； (2) 找出所有数列 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\}，使对一切 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，an+1an=bn\frac{a_{n+1}}{a_n} = b_n，并说明理由； (3) 若 a1=5a_1 = 5，d=4d = 4，b1=q=3b_1 = q = 3，试确定所有的 pp，使数列 {an}\{a_n\} 中存在某个连续 pp 项的和是数列 {bn}\{b_n\} 中的一项，请证明.

2009 · 上海 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23数列★★★★☆
已知 {an}\{a_n\} 是公差为 dd 的等差数列，{bn}\{b_n\} 是公比为 qq 的等比数列.
(1) 若 an=3n+1a_n = 3n + 1，是否存在 mm，k∈N∗k \in \mathbf{N}^*，使 am+am+1=aka_m + a_{m+1} = a_k？请说明理由； (2) 若 bn=aqnb_n = aq^n（aa，qq 为常数，且 aq≠0aq \neq 0），对任意 mm 存在 kk，使 bm⋅bm+1=bkb_m \cdot b_{m+1} = b_k，试求 aa，qq 满足的充要条件； (3) 若 an=2n+1a_n = 2n + 1，bn=3nb_n = 3^n，试确定所有的 pp，使数列 {bn}\{b_n\} 中存在某个连续 pp 项的和是数列 {an}\{a_n\} 中的一项，请证明.

2009 · 上海 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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21数列★★★★★
已知以 a1a_{1} 为首项的数列 {an}\{a_{n}\} 满足：
an+1={an+c,an<3,andan⩾3.a_{n+1} = \begin{cases} a_{n} + c, & a_{n} < 3,\\ \frac{a_{n}}{d} & a_{n} \geqslant 3. \end{cases}
(1) 当 a1=1a_{1} = 1，c=1c = 1，d=3d = 3 时，求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 当 0<a1<10 < a_{1} < 1，c=1c = 1，d=3d = 3 时，试用 a1a_{1} 表示数列 {an}\{a_{n}\} 的前100100项的和 S100S_{100}； (3) 当 0<a1<1m0 < a_{1} < \frac{1}{m} （mm 是正整数），c=1mc = \frac{1}{m}，正整数 d⩾3md \geqslant 3m 时，求证：数列 a2−1ma_{2} - \frac{1}{m}，a3m+2−1ma_{3m+2} - \frac{1}{m}，a6m+2−1ma_{6m+2} - \frac{1}{m}，a9m+2−1ma_{9m+2} - \frac{1}{m} 成等比数列当且仅当 d=3md = 3m.

2008 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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