若数列 $\{a_n\}$ 是首项为 $3$，公比为 $2$ 的等比数列，其前 $n$ 项和为 $S_n$，则 $S_6=\underline{\hspace{2em}}$.

已知 $f(x)=\ln x$. 曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(a_1,f(a_1)\right)$ 处的切线交 $y$ 轴于点 $(0,a_2)$，且 $a_2>0$；曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(a_2,f(a_2)\right)$ 处的切线交 $y$ 轴于点 $(0,a_3)$；以此类推，直至 $a_m\le 0$ 时停止，得到数列 $\{a_n\}$.

(1) 证明：当正整数 $n\ge 2$ 时，$a_n=\ln a_{n-1}-1$； (2) 当正整数 $n\ge 2$ 时，试比较 $a_n$ 与 $a_{n-1}-2$ 的大小； (3) 若正整数 $k\ge 3$，是否存在 $k$ 使得 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_k$ 依次成等差数列？若存在，求出 $k$ 的所有取值；若不存在，试说明理由.