已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=\frac{1}{4}(a_n-6)^3+6$（$n=1$，$2$，$3$，$\dots$），则（ ）

我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的，用来测量物体质量的“环权”. 已知 9 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 9 的数列 $\{a_n\}$，该数列的前 3 项成等差数列，后 7 项成等比数列，且 $a_1=1$，$a_5=12$，$a_9=192$，则 $a_7=\underline{\hspace{2em}}$；数列 $\{a_n\}$ 所有项的和为 $\underline{\hspace{2em}}$.

已知数列 $\{a_n\}$，$\{b_n\}$ 的项数均为 $m$（$m>2$），且 $a_n$，$b_n\in\{1,2,\dots,m\}$，$\{a_n\}$，$\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $A_n$，$B_n$，并规定 $A_0=B_0=0$. 对于 $k\in\{0,1,2,\dots,m\}$，定义 $r_k=\max \{ i\mid B_i\le A_k,\ i\in\{0,1,2,\dots,m\}\}$，其中，$\max M$ 表示数集 $M$ 中最大的数.

(1) 若 $a_1=2$，$a_2=1$，$a_3=3$，$b_1=1$，$b_2=3$，$b_3=3$，求 $r_0$，$r_1$，$r_2$，$r_3$ 的值； (2) 若 $a_1\ge b_1$，且 $2r_j\le r_{j+1}+r_{j-1}$（$j=1$，$2$，$\dots$，$m-1$），求 $r_n$； (3) 证明：存在 $p$，$q$，$s$，$t\in\{0,1,2,\dots,m\}$，满足 $p>q$，$s>t$，使得 $A_p+B_t=A_q+B_s$.