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18数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，且 4Sn=3an+44S_n=3a_n+4.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 设 bn=(−1)n−1nanb_n=\left( -1 \right)^{n-1}na_n，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 TnT_n.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 2Sn=3an+1−32S_n=3a_{n+1}-3.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 求数列 {Sn}\{S_n\} 的前 nn 项和.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
设 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 a2=1a_2=1，2Sn=nan2S_n=na_n.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 求数列 {an+12n}\left\{ \frac{a_{n+1}}{2^n} \right\} 的前 nn 项和 TnT_n.

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 已知 2Snn+n=2an+1\frac{2S_n}{n}+n=2a_n+1.
(1) 证明：{an}\{a_n\} 是等差数列； (2) 若 a4a_4，a7a_7，a9a_9 成等比数列，求 SnS_n 的最小值.

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 已知 2Snn+n=2an+1\dfrac{2S_n}{n}+n=2a_n+1.
(1) 证明：{an}\{a_n\} 是等差数列； (2) 若 a4a_4，a7a_7，a9a_9 成等比数列，求 SnS_n 的最小值.

2022 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的各项均为正数，记 SnS_n 为 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，从下面三个条件中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
① 数列 {an}\{a_n\} 是等差数列； ② 数列 {Sn}\left\{\sqrt{S_n}\right\} 是等差数列； ③ a2=3a1a_2=3a_1.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 an>0a_n>0，a2=3a1a_2=3a_1，且数列 {Sn}\{\sqrt{S_n}\} 是等差数列，证明：{an}\{a_n\} 是等差数列.

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=3a_1=3，an+1=3an−4na_{n+1}=3a_n-4n.
(1) 计算 a2a_2，a3a_3，猜想 {an}\{a_n\} 的通项公式并加以证明； (2) 求数列 {2nan}\{2^na_n\} 的前 nn 项和 SnS_n.

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
设等比数列 {an}\{a_n\} 满足 a1+a2=4a_1+a_2=4，a3−a1=8a_3-a_1=8.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 记 SnS_n 为数列 {log⁡3an}\{\log_3 a_n\} 的前 nn 项和. 若 Sm+Sm+1=Sm+3S_m+S_{m+1}=S_{m+3}，求 mm.

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
等比数列 {an}\{a_n\} 中，a1=1a_1=1，a5=4a3a_5=4a_3.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 记 SnS_n 为 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 Sm=63S_m=63，求 mm.

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知斜率为 kk 的直线 ll 与椭圆 C:x24+y23=1C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1 交于 AA，BB 两点，线段 ABAB 的中点为 M(1,m)M(1,m)（m>0m>0）.
(1) 证明：k<−12k<-\dfrac12； (2) 设 FF 为 CC 的右焦点，PP 为 CC 上一点，且 FP→+FA→+FB→=0→\overrightarrow{FP}+\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{0}. 证明：∣FA→∣\left|\overrightarrow{FA}\right|，∣FP→∣\left|\overrightarrow{FP}\right|，∣FB→∣\left|\overrightarrow{FB}\right| 成等差数列，并求该数列的公差.

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
等比数列 {an}\{a_n\} 中，a1=1a_1=1，a5=4a3a_5=4a_3.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 记 SnS_n 为 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 Sm=63S_m=63，求 mm.

2018 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的首项为 11，SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，Sn+1=qSn+1S_{n+1}=qS_n+1，其中 q>0q>0，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*.
(1) 若 a2a_2，a3a_3，a2+a3a_2+a_3 成等差数列，求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 设双曲线 x2−y2an2=1x^2-\dfrac{y^2}{a_n^2}=1 的离心率为 ene_n，且 e2=2e_2=2，求 e12+e22+⋯+en2e_1^2+e_2^2+\cdots+e_n^2.

2016 · 四川 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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16数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_{n}\}（n=1n = 1，22，33，…\dots） 的前 nn 项和 SnS_{n} 满足 Sn=2an−a1S_{n} = 2a_{n} - a_{1}，且 a1a_1，a2+1a_2 + 1，a3a_3 成等差数列.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 记数列 {1an}\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\} 的前 nn 项和为 TnT_{n}，求使得 ∣Tn−1∣<11000\left|T_{n} - 1\right| < \frac{1}{1000} 成立的 nn 的最小值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 n⩾2n\geqslant2 时，由 Sn−Sn−1=anS_n-S_{n-1}=a_n 得
(2an−a1)−(2an−1−a1)=an(2a_n-a_1)-(2a_{n-1}-a_1)=a_n
所以 an=2an−1a_n=2a_{n-1}. 因而 an=2n−1a1a_n=2^{n-1}a_1. 又 a1a_1，a2+1a_2+1，a3a_3 成等差数列，所以 2(a2+1)=a1+a32(a_2+1)=a_1+a_3，2(2a1+1)=a1+4a12(2a_1+1)=a_1+4a_1 解得 a1=2a_1=2，从而 an=2na_n=2^n. \item
Tn=∑k=1n12k=1−12nT_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{2^k}=1-\frac1{2^n}
故 ∣Tn−1∣=2−n\lvert T_n-1\rvert=2^{-n}. 条件 2−n<110002^{-n}<\dfrac1{1000} 等价于 2n>10002^n>1000. 由于 29=512<1000<1024=2102^9=512<1000<1024=2^{10}，所以 nn 的最小值为 1010. \end{enumerate} \end{solution}

2015 · 四川 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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16数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_n\}（n=1n = 1，22，33，⋯\cdots）的前 nn 项和 SnS_n 满足 Sn=2an−a1S_n = 2a_n - a_1，且 a1a_1，a2+1a_2 + 1，a3a_3 成等差数列.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 记数列 {1an}\left\{\frac{1}{a_n}\right\} 的前 nn 项和为 TnT_n，求 TnT_n.

2015 · 四川 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
设等差数列 {an}\{a_{n}\} 的公差为 dd，点 (an,bn)(a_{n}, b_{n}) 在函数 f(x)=2xf(x) = 2^{x} 的图象上 （n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）.
(1) 若 a1=−2a_{1} = -2，点 (a8,4b7)(a_{8}, 4b_{7}) 在函数 f(x)f(x) 的图象上，求数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}； (2) 若 a1=1a_{1} = 1，函数 f(x)f(x) 的图象在点 (a2,b2)(a_{2}, b_{2}) 处的切线在 xx 轴上的截距为 2−1ln⁡22 - \frac{1}{\ln 2}，求数列 {anbn}\left\{\frac{a_n}{b_n}\right\} 的前 nn 项和 TnT_{n}.

2014 · 四川 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
设等差数列 {an}\{a_{n}\} 的公差为 dd，点 (an,bn)(a_{n}, b_{n}) 在函数 f(x)=2xf(x) = 2^{x} 的图象上（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）.
(1) 证明：数列 {bn}\{b_{n}\} 为等比数列； (2) 若 a1=1a_{1} = 1，函数 f(x)f(x) 的图象在点 (a2,b2)(a_{2}, b_{2}) 处的切线在 xx 轴上的截距为 2−1ln⁡22 - \frac{1}{\ln 2}，求数列 {anbn2}\{a_{n} b_{n}^{2}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为点 (an,bn)(a_n,b_n) 在 y=2xy=2^x 的图象上，所以 bn=2anb_n=2^{a_n}. 又 an+1=an+da_{n+1}=a_n+d，故
bn+1bn=2an+d2an=2d\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{2^{a_n+d}}{2^{a_n}}=2^d
这个比值与 nn 无关，所以 {bn}\{b_n\} 是以 2d2^d 为公比的等比数列. \item 函数 f(x)=2xf(x)=2^x 的导数为 f′(x)=2xln⁡2f'(x)=2^x\ln2. 在点 (a2,b2)(a_2,b_2) 处的切线方程为
y−b2=b2ln⁡2(x−a2)y-b_2=b_2\ln2\left(x-a_2\right)
令 y=0y=0，得该切线在 xx 轴上的截距为 a2−1ln⁡2a_2-\frac1{\ln2}. 由题设及 a1=1a_1=1，得 a2=2a_2=2，从而 d=1d=1，an=na_n=n，bn=2nb_n=2^n. 因此
Sn=∑k=1nakbk2=∑k=1nk4kS_n=\sum_{k=1}^n a_kb_k^2=\sum_{k=1}^n k4^k
设上式为 SnS_n，则 4Sn=∑k=2n+1(k−1)4k4S_n=\sum_{k=2}^{n+1}(k-1)4^k，相减得
3Sn=n4n+1−∑k=1n4k=n4n+1−4n+1−433S_n=n4^{n+1}-\sum_{k=1}^n4^k=n4^{n+1}-\frac{4^{n+1}-4}{3}
所以 Sn=(3n−1)4n+1+49S_n=\frac{(3n-1)4^{n+1}+4}{9}. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 四川 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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16数列★★☆☆☆
在等差数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1+a3=8a_{1} + a_{3} = 8，且 a4a_{4} 为 a2a_{2} 和 a9a_{9} 的等比中项，求数列 {an}\{a_{n}\} 的首项，公差及前 nn 项和.

2013 · 四川 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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16数列★★☆☆☆
在等比数列 {an}\{a_n\} 中，a2−a1=2a_2-a_1=2，且 2a22a_2 为 3a13a_1 和 a3a_3 的等差中项，求数列 {an}\{a_n\} 的首项，公比及前 nn 项和.

2013 · 四川 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，且 a2an=S2+Sna_{2}a_{n} = S_{2} + S_{n} 对一切正整数 nn 都成立.
(1) 求 a1a_{1}，a2a_{2} 的值； (2) 设 a1>0a_{1} > 0，数列 {lg⁡10a1an}\left\{\lg \frac{10a_{1}}{a_{n}}\right\} 的前 nn 项和为 TnT_{n}，当 nn 为何值时，TnT_{n} 最大，并求出 TnT_{n} 的最大值.

2012 · 四川 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知 aa 为正实数，nn 为自然数，抛物线 y=−x2+an2y = -x^{2} + \frac{a^{n}}{2} 与 xx 轴正半轴相交于点 AA，设 f(n)f(n) 为该抛物线在点 AA 处切的切线在 yy 轴上的截距.
(1) 用 aa 和 nn 表示 f(n)f(n)； (2) 求对所有 nn 都有 f(n)−1f(n)+1⩾n3n3+1\frac{f(n) - 1}{f(n) + 1} \geqslant \frac{n^3}{n^3 + 1} 成立的 aa 的最小值； (3) 当 0<a<10 < a < 1 时，比较 ∑k=1n1f(k)−f(2k)\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{f(k) - f(2k)} 与 274⋅f(1)−f(n)f(0)−f(1)\frac{27}{4} \cdot \frac{f(1) - f(n)}{f(0) - f(1)} 的大小，并说明理由.

2012 · 四川 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，常数 λ>0\lambda > 0，且 λa1an=S1+Sn\lambda a_{1}a_{n} = S_{1} + S_{n}. 对一切正整数 nn 都成立.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 a1>0a_{1} > 0，λ=100\lambda = 100. 当 nn 为何值时，数列 {lg⁡1an}\left\{\lg \frac{1}{a_n}\right\} 的前 nn 项和最大.

2012 · 四川 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20计数原理与组合数学★★★★☆
设 dd 为非零实数，an=1n[Cn1d+2Cn2d2+⋯+(n−1)Cnn−1dn−1+nCnndn]a_{n} = \frac{1}{n}\left[\mathrm C_n^1d + 2\mathrm C_n^2d^{2} + \dots + (n - 1)\mathrm C_n^{n - 1}d^{n - 1} + n\mathrm C_n^nd^{n}\right] （n∈N∗n\in \mathbf{N}^{*}）.
(1) 写出 a1a_1，a2a_2，a3a_3 并判断 {an}\{a_n\} 是否为等比数列. 若是，给出证明；若不是，说明理由； (2) 设 bn=ndanb_n = nda_n （n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 SnS_n.

2011 · 四川 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
已知 {an}\{a_n\} 是以 aa 为首项，qq 为公比的等比数列，SnS_n 为它的前 nn 项和.
(1) 当 S1S_1，S3S_3，S4S_4 成等差数列时，求 qq 的值； (2) 当 SmS_m，SnS_n，SlS_l 成等差数列时，求证：对任意自然数 kk，am+ka_{m+k}，an+ka_{n+k}，al+ka_{l+k} 也成等差数列.

2011 · 四川 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=0a_1 = 0，a2=2a_2 = 2，且对任意 mm，n∈N∗n \in \mathbf{N}^* 都有 a2m−1+a2n−1=2am+n−1+2(m−n)2a_{2m-1} + a_{2n-1} = 2a_{m+n-1} + 2(m - n)^2.
(1) 求 a3a_{3}，a5a_{5}； (2) 设 bn=a2n+1−a2n−1b_{n} = a_{2n + 1} - a_{2n - 1}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），证明：数列 {bn}\{b_{n}\} 是等差数列； (3) 设 cn=(an+1−an)qn−1c_{n} = (a_{n + 1} - a_{n})q^{n - 1}（q≠0q\ne 0， n∈N∗\ n\in \mathbf{N}^{*}），求数列 {cn}\{c_n\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.

2010 · 四川 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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