已知数列 $\{a_n\}$ 是公比大于 0 的等比数列，其前 $n$ 项和为 $S_n$. 若 $a_1=1$，$S_2=a_3-1$.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 前 $n$ 项和 $S_n$； (2) 设 $b_n=k$（$n=a_k$），$b_n=b_{n-1}+2k$（$a_k<n<a_{k+1}$），其中 $k\in \mathbb N^*$.

(i) 当 $k\ge 2$，$n=a_{k+1}$ 时，求证：$b_{n-1}\ge a_k b_n$； (ii) 求 $\displaystyle \sum_{i=1}^{S_n}b_i$.