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145分数列★★★★☆
设实数 qq 满足：存在数列 {an}\{a_n\}，使得对于任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，均有 a1+a2+⋯+a3n=n2+na_1+a_2+\cdots+a_{3n}=n^2+n，且 {an}\{a_n\} 中有某连续 99 项 aka_k，ak+1a_{k+1}，⋯\cdots，ak+8a_{k+8} 是公比为 qq 的等比数列，则 qq 的最大值为______．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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135分数列★★☆☆☆
若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为______.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 13 题 · 填空题

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13数列★☆☆☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 2S3=3S2+62S_3=3S_2+6，则公差 d=‾d=\underline{\hspace{2em}}.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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16数列★★★★☆
数列 {an}\{a_n\} 满足 an+2+(−1)nan=3n−1a_{n+2}+(-1)^n a_n=3n-1，前 1616 项和为 540540，则 a1=‾a_1=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 a1=13a_1=\dfrac13，a42=a6a_4^2=a_6，则 S5=‾S_5=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 1213\dfrac{121}{3} \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 a1=1a_1=1，S3=34S_3=\dfrac{3}{4}，则 S4=S_4=______.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 Sn=2an+1S_n=2a_n+1，则 S6=S_6=______.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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13数列★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的 nn 为______.
\begin{solution} 初始时 a=1a=1，n=1n=1. 第一次判断满足 ∣1−1.414∣=0.414⩾0.005|1-1.414|=0.414\geqslant0.005，更新为 a=1+11+1=1.5a=1+\frac1{1+1}=1.5，n=2n=2. 第二次判断仍满足条件，更新为 a=1+11+1.5=1.4a=1+\frac1{1+1.5}=1.4，n=3n=3. 第三次判断仍满足条件，更新为 a=1+11+1.4=1+512=1712a=1+\frac1{1+1.4}=1+\frac5{12}=\frac{17}{12}，n=4n=4. 此时
∣1712−1.414∣=1712−707500=2750<0.005\left|\frac{17}{12}-1.414\right|=\frac{17}{12}-\frac{707}{500}=\frac2{750}<0.005
条件不成立，程序输出 n=4n=4. \end{solution}

2015 · 安徽 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 是递增的等比数列，a1+a4=9a_{1} + a_{4} = 9，a2a3=8a_{2}a_{3} = 8，则数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和等于______.
\begin{solution} 设首项为 a1a_1，公比为 qq. 由 a2a3=a12q3=8>0a_2a_3=a_1^2q^3=8>0 知 q>0q>0. 再由 a1(1+q3)=9a_1(1+q^3)=9 知 a1>0a_1>0，数列递增从而 q>1q>1.
令 r=q3r=q^3，则 a12r=8a_1^2r=8，a1(1+r)=9a_1(1+r)=9. 消去 a1a_1 得 81r(1+r)2=8\frac{81r}{(1+r)^2}=8，8r2−65r+8=08r^2-65r+8=0， 所以 r=8r=8 或 r=18r=\frac18. 因为 r=q3>1r=q^3>1，故 r=8r=8，从而 q=2q=2，再由 a1(1+8)=9a_1(1+8)=9 得 a1=1a_1=1.
因此前 nn 项和为
Sn=a1(qn−1)q−1=2n−1S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=2^n-1
\end{solution}

2015 · 安徽 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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13数列★★☆☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1=1a_{1}=1，an=an−1+12a_{n}=a_{n-1}+\frac{1}{2}（n⩾2n\geqslant2），则数列 {an}\{a_{n}\} 的前 99 项和等于______.
\begin{answer} 2727 \end{answer}
\begin{solution} 由递推式可知 an−an−1=12a_n-a_{n-1}=\frac12，所以 {an}\{a_n\} 是首项为 11、公差为 12\frac12 的等差数列. 因而
an=1+(n−1)12=n+12a_n=1+(n-1)\frac12=\frac{n+1}{2}
特别地，a9=5a_9=5. 于是前 99 项和为
S9=9(a1+a9)2=9(1+5)2=27S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}=\frac{9(1+5)}{2}=27
\end{solution}

2015 · 安徽 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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12数列★★☆☆☆
数列 {an}\{a_{n}\} 是等差数列. 若 a1+1a_{1} + 1，a3+3a_{3} + 3，a5+5a_{5} + 5 构成公比为 qq 的等比数列，则 q=‾q =\underline{\hspace{2em}}.
\begin{solution} 设 u=a1+1u=a_{1}+1，v=a3+3v=a_{3}+3，w=a5+5w=a_{5}+5. 由 {an}\{a_n\} 是等差数列，得 a1+a5=2a3a_{1}+a_{5}=2a_{3}，从而 u+w=2vu+w=2v. 又 uu，vv，ww 构成等比数列，故 v2=uwv^{2}=uw. 于是 (u−w)2=(u+w)2−4uw=4v2−4v2=0(u-w)^{2}=(u+w)^{2}-4uw=4v^{2}-4v^{2}=0，所以 u=v=wu=v=w. 因公比定义为后一项与前一项之比，故 q=vu=1q=\dfrac vu=1. \end{solution}

2014 · 安徽 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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12数列★★★☆☆
如图，在等腰直角三角形 ABCABC 中，斜边 BC=22BC = 2\sqrt{2}，过点 AA 作 BCBC 的垂线，垂足为 A1A_1；过点 A1A_1 作 ACAC 的垂线，垂足为 A2A_2；过点 A2A_2 作 A1CA_1C 的垂线，垂足为 A3A_3；⋯\cdots，依此类推，设 BA=a1BA = a_1，AA1=a2AA_1 = a_2，A1A2=a3A_1A_2 = a_3，⋯\cdots，A5A6=a7A_5A_6 = a_7，则 a7=a_7 =______.
\begin{answer} 14\frac{1}{4} \end{answer}

2014 · 安徽 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
如图，互不相同的点 A1A_{1}，A2A_{2}，⋯\cdots，AnA_{n}，⋯\cdots 和 B1B_{1}，B2B_{2}，⋯\cdots，BnB_{n}，⋯\cdots 分别在角 OO 的两条边上. 所有 AnBnA_{n}B_{n} 相互平行，且所有梯形 AnBnBn+1An+1A_{n}B_{n}B_{n+1}A_{n+1} 的面积均相等. 设 OAn=anOA_{n} = a_{n}. 若 a1=1a_{1} = 1，a2=2a_{2} = 2，则数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式是______.

2013 · 安徽 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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11数列★★☆☆☆
如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是______.

2011 · 安徽 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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14三角函数★★★☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 的一个内角为 120∘120^{\circ}，并且三边长构成公差为 44 的等差数列，则 △ABC\triangle ABC 的面积为______.

2011 · 安徽 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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12数列★★☆☆☆
如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是______.

2011 · 安徽 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值 x=x =______.

2010 · 安徽 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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13数列★★☆☆☆
程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是______.

2009 · 安徽 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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12数列★★☆☆☆
程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是______.

2009 · 安徽 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
在数列 {an}\{a_{n}\} 中，an=4n−52a_{n} = 4n - \frac{5}{2}，a1+a2+⋯+an=an2+bna_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} = an^{2} + bn，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，其中 aa，bb 为常数，则 lim⁡n→∞an−bnan+bn\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{a^{n} - b^{n}}{a^{n} + b^{n}} 的值是______.

2008 · 安徽 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15数列★★☆☆☆
在数列 {an}\{a_{n}\} 中，an=4n−52a_{n}=4n-\frac{5}{2}，a1+a2+⋯+an=an2+bna_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=an^{2}+bn，n∈N∗n\in\mathbf{N}^{*}，其中 aa，bb 为常数，则 ab=ab=______.

2008 · 安徽 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
如图，抛物线 y=−x2+1y = -x^{2} + 1 与 xx 轴的正半轴交于点 AA，将线段 OAOA 的 nn 等分点从左至右依次记为 P1P_{1}，P2P_{2}，⋯\cdots，Pn−1P_{n-1}，过这些分点分别作 xx 轴的垂线，与抛物线 CC 的交点依次为 Q1Q_{1}，Q2Q_{2}，⋯\cdots，Qn−1Q_{n-1}，从而得到 n−1n - 1 个直角三角形 △Q1OP1\triangle Q_{1}OP_{1}，△Q2P1P2\triangle Q_{2}P_{1}P_{2}，⋯\cdots，△Qn−1Pn−2Pn−1\triangle Q_{n-1}P_{n-2}P_{n-1}. 当 n→∞n \to \infty 时，这些三角形的面积之和的极限为______.

2007 · 安徽 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
设常数 a>0a > 0，(ax2+1x)4\left(a x^2 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^4 展开式中 x3x^3 的系数为 32\frac{3}{2}，则 lim⁡n→+∞(a+a2+⋯+an)=\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (a + a^2 + \cdots + a^n) =______.

2006 · 安徽 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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