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145分数列★★★★☆
设实数 qq 满足：存在数列 {an}\{a_n\}，使得对于任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，均有 a1+a2+⋯+a3n=n2+na_1+a_2+\cdots+a_{3n}=n^2+n，且 {an}\{a_n\} 中有某连续 99 项 aka_k，ak+1a_{k+1}，⋯\cdots，ak+8a_{k+8} 是公比为 qq 的等比数列，则 qq 的最大值为______．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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135分数列★★☆☆☆
若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为______.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 13 题 · 填空题

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165分数列★★★★☆
某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 20 dm×12 dm20\text{ dm}\times 12\text{ dm} 的长方形纸，对折 11 次共可以得到 10 dm×12 dm10\text{ dm}\times 12\text{ dm}，20 dm×6 dm20\text{ dm}\times 6\text{ dm} 两种规格的图形，它们的面积之和 S1=240 dm2S_1=240\text{ dm}^2；对折 22 次共可以得到 5 dm×12 dm5\text{ dm}\times 12\text{ dm}，10 dm×6 dm10\text{ dm}\times 6\text{ dm}，20 dm×3 dm20\text{ dm}\times 3\text{ dm} 三种规格的图形，它们的面积之和 S2=180 dm2S_2=180\text{ dm}^2. 以此类推.
(1) 对折 44 次共可以得到不同规格图形的种数为______； (2) 如果对折 nn 次，那么 ∑k=1nSk=‾ dm2\sum_{k=1}^n S_k=\underline{\hspace{2em}}\text{ dm}^2.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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145分数列★★★☆☆
将数列 {2n−1}\{2n-1\} 与 {3n−2}\{3n-2\} 的公共项从小到大排列得到数列 {an}\{a_n\}，则 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为______.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 a1=13a_1=\dfrac13，a42=a6a_4^2=a_6，则 S5=‾S_5=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 1213\dfrac{121}{3} \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 a1=1a_1=1，S3=34S_3=\dfrac{3}{4}，则 S4=S_4=______.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 Sn=2an+1S_n=2a_n+1，则 S6=S_6=______.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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11数列★☆☆☆☆
执行如图的程序框图，若输入 nn 的值为 33，则输出的 SS 的值为______.

2016 · 山东 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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15数列★★☆☆☆
设函数 f(x)=xx+2f(x) = \frac{x}{x + 2}（x>0x > 0），观察：f1(x)=f(x)=xx+2f_{1}(x) = f(x) = \frac{x}{x + 2}，f2(x)=f ⁣(f1(x))=x3x+4f_{2}(x) = f\!\left(f_{1}(x)\right) = \frac{x}{3x + 4}，f3(x)=f ⁣(f2(x))=x7x+8f_{3}(x) = f\!\left(f_{2}(x)\right) = \frac{x}{7x + 8}，f4(x)=f ⁣(f3(x))=x15x+16f_{4}(x) = f\!\left(f_{3}(x)\right) = \frac{x}{15x + 16}. 根据以上事实，由归纳推理可得：当 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*} 且 n⩾2n \geqslant 2 时，fn(x)=f(fn−1(x))=f_n(x) = f(f_{n-1}(x)) =______.

2011 · 山东 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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13数列★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，若输入 x=10x = 10，则输出 yy 的值为______.

2010 · 山东 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13数列★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，若输入 x=4x = 4，则输出 yy 的值为______.

2010 · 山东 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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15数列★★☆☆☆
执行如图的程序框图，输出的 T=T=______.

2009 · 山东 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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13数列★☆☆☆☆
在等差数列 {an}\{a_{n}\} 中，a3=7a_{3} = 7，a5=a2+6a_{5} = a_{2} + 6，则 a6=a_{6} =______.

2009 · 山东 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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15数列★★☆☆☆
执行如图的程序框图，输出的 T=T =______.

2009 · 山东 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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13数列★★☆☆☆
执行下面的程序框图，若 p=0.8p = 0.8，则输出的 n=n =______.

2008 · 山东 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
执行下面的程序框图，若 p=0.8p = 0.8，则输出的 n=n =______.

2008 · 山东 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(3x)=4xlog⁡23+233f(3^{x}) = 4x \log_{2} 3 + 233，则 f(2)+f(4)+f(8)+⋯+f(28)f(2) + f(4) + f(8) + \cdots + f(2^{8}) 的值等于______.

2008 · 山东 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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13数列★★☆☆☆
若lim⁡n→∞1n(n+a−n)=1\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}\left(\sqrt{n+a}-\sqrt n\right)}=1，则常数a=a=______.

2006 · 山东 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
设 SnS_{n} 为等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，S4=14S_{4} = 14，S10−S7=30S_{10} - S_{7} = 30，则 S9=S_{9} =______.

2006 · 山东 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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