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1615分数列★★★★☆
设数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=3a_1 = 3，an+1n=ann+1+1n(n+1)\frac{a_{n+1}}{n} = \frac{a_n}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}.
(1) 证明：{nan}\{na_n\} 为等差数列； (2) 给定正整数 mm，设函数 f(x)=a1x+a2x2+⋯+amxmf(x) = a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_mx^m，求 f′(−2)f'(-2).

2025 · 全国 · 一卷 · 第 16 题 · 解答题

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1917分数列★★★★★
设 mm 为正整数，数列 a1a_1，a2a_2，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 为公差不为 00 的等差数列，若删去两项 aia_i，aja_j（i<ji<j） 后剩余 4m4m 项可平均分为 mm 组且每组 4 个数都成等差，则称该数列为 (i,j)(i,j)-可分数列.
(1) 写出所有 (i,j)(i,j)，1≤i<j≤61\le i<j\le6，使 a1a_1，…\dots，a6a_6 是 (i,j)(i,j)-可分数列； (2) 当 m≥3m\ge3 时，证明 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (2,13)(2,13)-可分数列； (3) 从 11，22，…\dots，4m+24m+2 中不放回任取 i<ji<j，设 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (i,j)(i,j)-可分数列的概率为 PmP_m，证明 Pm>18P_m>\frac18.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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2015分数列★★★★☆
设等差数列 {an}\{a_n\} 的公差为 dd，且 d>1d>1. 令 bn=n2+nanb_n=\frac{n^2+n}{a_n}，记 SnS_n，TnT_n 分别为数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的前 nn 项和.
(1) 若 3a2=3a1+a33a_2=3a_1+a_3，S3+T3=21S_3+T_3=21，求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若 {bn}\{b_n\} 为等差数列，且 S99−T99=99S_{99}-T_{99}=99，求 dd.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

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1715分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 a1=1a_1=1，数列 {Snan}\left\{\frac{S_n}{a_n}\right\} 是公差为 13\frac13 的等差数列.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 证明：1a1+1a2+⋯+1an<2\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots+\frac1{a_n}<2.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1715分数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1=1，且
an+1={an+1,n为奇数,an+2,n为偶数.a_{n+1}=\begin{cases} a_n+1, & n\text{为奇数},\\ a_n+2, & n\text{为偶数}. \end{cases}
(1) 记 bn=a2nb_n=a_{2n}，写出 b1b_1，b2b_2，并求数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 求 {an}\{a_n\} 的前 2020 项和.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1817分数列★★★☆☆
已知公比大于 1 的等比数列 {an}\{a_n\} 满足 a2+a4=20a_2+a_4=20，a3=8a_3=8.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 记 bmb_m 为 {an}\{a_n\} 在区间 (0,m](0,m]（m∈N∗m\in\mathbf{N}^*）中的项的个数，求数列 {bm}\{b_m\} 的前 100 项和 S100S_{100}.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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21概率与统计★★★★★
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验. 试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药. 一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 44 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 11 分，乙药得 −1-1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 11 分，甲药得 −1-1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 00 分. 甲、乙两种药的治愈率分别记为 α\alpha 和 β\beta，一轮试验中甲药的得分记为 XX.
(1) 求 XX 的分布列； (2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予 44 分，pip_i（i=0i=0，11，⋯\cdots，88）表示“甲药的累计得分为 ii 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p0=0p_0=0，p8=1p_8=1，pi=api−1+bpi+cpi+1p_i=ap_{i-1}+bp_i+cp_{i+1}（i=1i=1，22，⋯\cdots，77），其中 a=P(X=−1)a=P(X=-1)，b=P(X=0)b=P(X=0)，c=P(X=1)c=P(X=1). 假设 α=0.5\alpha=0.5，β=0.8\beta=0.8.
(i) 证明：{pi+1−pi}\{p_{i+1}-p_i\}（i=0i=0，11，22，⋯\cdots，77）为等比数列； (ii) 求 p4p_4，并根据 p4p_4 的值解释这种试验方案的合理性.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 已知 S9=−a5S_9=-a_5.
(1) 若 a3=4a_3=4，求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若 a1>0a_1>0，求使得 Sn≥anS_n\ge a_n 的 nn 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1=1，nan+1=2(n+1)anna_{n+1}=2(n+1)a_n，设 bn=annb_n=\dfrac{a_n}{n}.
(1) 求 b1b_1，b2b_2，b3b_3； (2) 判断数列 {bn}\{b_n\} 是否为等比数列，并说明理由； (3) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
已知 {xn}\{x_n\} 是各项均为正数的等比数列，且 x1+x2=3x_1+x_2=3，x3−x2=2x_3-x_2=2.
(1) 求数列 {xn}\{x_n\} 的通项公式； (2) 如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，依次连接点 P1(x1,1)P_1(x_1,1)，P2(x2,2)P_2(x_2,2)，…\ldots，Pn+1(xn+1,n+1)P_{n+1}(x_{n+1},n+1) 得到折线 P1P2⋯Pn+1P_1P_2\cdots P_{n+1}，求由该折线与直线 y=0y=0，x=x1x=x_1，x=xn+1x=x_{n+1} 所围成的区域的面积 TnT_n.

2017 · 山东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是各项均为正数的等比数列，且 a1+a2=6a_1+a_2=6，a1a2=a3a_1a_2=a_3.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) {bn}\{b_n\} 为各项非零的等差数列，其前 nn 项和为 SnS_n，已知 S2n+1=bnbn+1S_{2n+1}=b_nb_{n+1}，求数列 {bnan}\left\{\dfrac{b_n}{a_n}\right\} 的前 nn 项和 TnT_n.

2017 · 山东 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和 Sn=3n2+8nS_n=3n^2+8n，{bn}\{b_n\} 是等差数列，且 an=bn+bn+1a_n=b_n+b_{n+1}.
(1) 求数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 令 cn=(an+1)n+1(bn+2)nc_n=\dfrac{\left(a_n+1\right)^{n+1}}{\left(b_n+2\right)^n}，求数列 {cn}\{c_n\} 的前 nn 项和 TnT_n.

2016 · 山东 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和 Sn=3n2+8nS_n=3n^2+8n，{bn}\{b_n\} 是等差数列，且 an=bn+bn+1a_n=b_n+b_{n+1}.
(1) 求数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 令 cn=(an+1)n+1(bn+2)nc_n=\dfrac{(a_n+1)^{n+1}}{(b_n+2)^n}，求数列 {cn}\{c_n\} 的前 nn 项和 TnT_n.

2016 · 山东 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n. 已知 2Sn=3n+32S_n = 3^n + 3.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若数列 {bn}\{b_n\} 满足 anbn=log⁡3ana_n b_n = \log_3 a_n，求 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 TnT_n.

2015 · 山东 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 是首项为正数的等差数列，数列 {1an⋅an+1}\left\{\frac{1}{a_n \cdot a_{n+1}}\right\} 的前 nn 项和为 n2n+1\frac{n}{2n+1}.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 设 bn=(an+1)⋅2anb_n = (a_n + 1)\cdot 2^{a_n}，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 TnT_n.

2015 · 山东 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 的公差为 2，前 nn 项和为 SnS_{n}，且 S1S_{1}，S2S_{2}，S4S_{4} 成等比数列.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 令 bn=(−1)n−14nanan+1b_n = (-1)^{n-1} \frac{4n}{a_n a_{n+1}}，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 TnT_n.

2014 · 山东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
在等差数列 {an}\{a_{n}\} 中，已知公差 d=2d = 2，a2a_{2} 是 a1a_{1} 与 a4a_{4} 的等比中项.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 bn=an(n+1)2b_n = a_{\frac{n(n+1)}{2}}，记 Tn=−b1+b2−b3+b4−⋯+(−1)nbnT_n = -b_1 + b_2 - b_3 + b_4 - \cdots + (-1)^n b_n，求 TnT_n.

2014 · 山东 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
设等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，且 S4=4S2S_{4} = 4S_{2}，a2n=2an+1a_{2n} = 2a_{n} + 1.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和 TnT_{n}，且 Tn+an+12n=λT_{n} + \frac{a_{n} + 1}{2^n} = \lambda（λ\lambda 为常数），令 cn=b2nc_{n} = b_{2n}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）. 求数列 {cn}\{c_{n}\} 的前 nn 项和 RnR_{n}.

2013 · 山东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20数列★★★☆☆
设等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，且 S4=4S2S_{4} = 4S_{2}，a2n=2an+1a_{2n} = 2a_{n} + 1.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 若数列 {bn}\{b_{n}\} 满足 b1a1+b2a2+⋯+bnan=1−12n\frac{b_{1}}{a_{1}} + \frac{b_{2}}{a_{2}} + \cdots + \frac{b_{n}}{a_{n}} = 1 - \frac{1}{2^{n}}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，求 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和 TnT_{n}.

2013 · 山东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20数列★★★☆☆
在等差数列 {an}\{a_{n}\} 中，a3+a4+a5=84a_{3} + a_{4} + a_{5} = 84，a9=73a_{9} = 73.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 对任意 m∈N∗m \in \mathbf{N}^*，将数列 {an}\{a_n\} 中落入区间 (9m,92m)(9^m, 9^{2m}) 内的项的个数记为 bmb_m，求数列 {bm}\{b_m\} 的前 mm 项和 SmS_m.

2012 · 山东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 的前 5 项和为 105，且 a10=2a5a_{10}=2a_5.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 对任意 m∈N∗m\in\mathbf{N}^*，将数列 {an}\{a_n\} 中不大于 72m7^{2m} 的项的个数记为 bmb_m. 求数列 {bm}\{b_m\} 的前 mm 项和 SmS_m.

2012 · 山东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20数列★★★☆☆
等比数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1a_{1}，a2a_{2}，a3a_{3} 分别是下表第一，二，三行中的某一个数，且 a1a_{1}，a2a_{2}，a3a_{3} 中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列第二列第三列
第二行6414
第三行9818
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 若数列 {bn}\{b_{n}\} 满足： bn=an+(−1)nln⁡anb_{n} = a_{n} + (-1)^{n} \ln a_{n}，求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.

2011 · 山东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20数列★★★☆☆
等比数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1a_{1}，a2a_{2}，a3a_{3} 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 a1a_{1}，a2a_{2}，a3a_{3} 中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列第二列第三列
第二行6414
第三行9818
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 若数列 {bn}\{b_{n}\} 满足：bn=an+(−1)nln⁡anb_{n}=a_{n}+(-1)^{n}\ln a_{n}，求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 2n2n 项和 S2nS_{2n}.

2011 · 山东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 满足：a3=7a_{3} = 7，a5+a7=26a_{5} + a_{7} = 26. 数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}.
(1) 求 ana_{n} 及 SnS_{n}； (2) 令 bn=1an2−1b_{n} = \frac{1}{a_{n}^{2} - 1}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和 TnT_{n}.

2010 · 山东 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 满足：a3=7a_3 = 7，a5+a7=26a_5 + a_7 = 26. 数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n.
(1) 求 ana_n 及 SnS_n； (2) 令 bn=1an2−1b_n = \frac{1}{a_n^2 - 1} （n∈N∗n \in \mathbf{N}^*），求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 TnT_n.

2010 · 山东 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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