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145分数列★★★★☆
设实数 qq 满足：存在数列 {an}\{a_n\}，使得对于任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，均有 a1+a2+⋯+a3n=n2+na_1+a_2+\cdots+a_{3n}=n^2+n，且 {an}\{a_n\} 中有某连续 99 项 aka_k，ak+1a_{k+1}，⋯\cdots，ak+8a_{k+8} 是公比为 qq 的等比数列，则 qq 的最大值为______．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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135分数列★★☆☆☆
若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为______.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 13 题 · 填空题

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165分数列★★★★☆
某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 20 dm×12 dm20\text{ dm}\times 12\text{ dm} 的长方形纸，对折 11 次共可以得到 10 dm×12 dm10\text{ dm}\times 12\text{ dm}，20 dm×6 dm20\text{ dm}\times 6\text{ dm} 两种规格的图形，它们的面积之和 S1=240 dm2S_1=240\text{ dm}^2；对折 22 次共可以得到 5 dm×12 dm5\text{ dm}\times 12\text{ dm}，10 dm×6 dm10\text{ dm}\times 6\text{ dm}，20 dm×3 dm20\text{ dm}\times 3\text{ dm} 三种规格的图形，它们的面积之和 S2=180 dm2S_2=180\text{ dm}^2. 以此类推.
(1) 对折 44 次共可以得到不同规格图形的种数为______； (2) 如果对折 nn 次，那么 ∑k=1nSk=‾ dm2\sum_{k=1}^n S_k=\underline{\hspace{2em}}\text{ dm}^2.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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16数列★★★★☆
数列 {an}\{a_n\} 满足 an+2+(−1)nan=3n−1a_{n+2}+(-1)^n a_n=3n-1，前 1616 项和为 540540，则 a1=‾a_1=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 a1=13a_1=\dfrac13，a42=a6a_4^2=a_6，则 S5=‾S_5=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 1213\dfrac{121}{3} \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 a1=1a_1=1，S3=34S_3=\dfrac{3}{4}，则 S4=S_4=______.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 Sn=2an+1S_n=2a_n+1，则 S6=S_6=______.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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10数列★☆☆☆☆
在等差数列 {an}\{a_n\} 中，若 a3+a4+a5+a6+a7=25a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 25，则 a2+a8=a_2 + a_8 =______.

2015 · 广东 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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13数列★☆☆☆☆
若三个正数 aa，bb，cc 成等比数列，其中 a=5+26a = 5 + 2\sqrt{6}，c=5−26c = 5 - 2\sqrt{6}，则 b=b =______.

2015 · 广东 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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13数列★★★☆☆
若等比数列 {an}\{a_{n}\} 的各项均为正数，且 a10a11+a9a12=2e5a_{10}a_{11} + a_{9}a_{12} = 2\mathrm{e}^{5}，则 ln⁡a1+ln⁡a2+⋯+ln⁡a20=‾\ln a_1 + \ln a_2 + \cdots + \ln a_{20} =\underline{\hspace{2em}}.

2014 · 广东 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13数列★★☆☆☆
等比数列 {an}\{a_{n}\} 的各项均为正数，且 a1a5=4a_{1}a_{5} = 4，则 log⁡2a1+log⁡2a2+log⁡2a3+log⁡2a4+log⁡2a5=‾\log_{2} a_{1} + \log_{2} a_{2} + \log_{2} a_{3} + \log_{2} a_{4} + \log_{2} a_{5} =\underline{\hspace{2em}}.

2014 · 广东 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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12数列★★☆☆☆
在等差数列 {an}\{a_{n}\} 中，已知 a3+a8=10a_{3} + a_{8} = 10，则 3a5+a7=‾3a_{5} + a_{7} =\underline{\hspace{2em}}.

2013 · 广东 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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11数列★☆☆☆☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 是首项为 1，公比为 −2-2 的等比数列，则 a1+∣a2∣+a3+∣a4∣=a_{1} + |a_{2}| + a_{3} + |a_{4}| =______.

2013 · 广东 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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11数列★☆☆☆☆
已知递增的等差数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=1a_{1} = 1，a3=a22−4a_{3} = a_{2}^{2} - 4，则 an=a_{n} =______.

2012 · 广东 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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13数列★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，若输入 nn 的值为 8，则输出 ss 的值为______.

2012 · 广东 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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12数列★★☆☆☆
等比数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a2a4=12a_{2}a_{4} = \frac{1}{2}，则 a1a32a5=‾a_{1}a_{3}^{2}a_{5} =\underline{\hspace{2em}}.

2012 · 广东 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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11数列★★☆☆☆
等差数列 {an}\{a_{n}\} 前9项的和等于前4项的和. 若 a1=1a_{1} = 1，ak+a4=0a_{k} + a_{4} = 0，则 k=k =______.

2011 · 广东 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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11数列★☆☆☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 是递增的等比数列，a2=2a_{2} = 2，a4−a3=4a_{4} - a_{3} = 4. 则此数列的公比 q=q =______.

2011 · 广东 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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13数列★★☆☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 Sn=n2−9nS_{n}=n^{2}-9n，则其通项 an=a_{n}=______；若它的第 kk 项满足 5<ak<85<a_{k}<8，则 k=k=______.

2007 · 广东 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆准“正三棱锥”形的展品，其中第11堆只有11层，就一个球；第22，33，44，⋯\cdots堆最底层（第11层）分别按图示方式固定摆放，从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第nn堆第nn层就放一个乒乓球，以 f(n)f(n) 表示第 nn 堆的乒乓球总数，则 f(3)=‾f(3)=\underline{\hspace{2em}}；f(n)=‾f(n)=\underline{\hspace{2em}}. （答案用 nn 表示）

2006 · 广东 · 第 14 题 · 填空题

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