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1615分数列★★★★☆
设数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=3a_1 = 3，an+1n=ann+1+1n(n+1)\frac{a_{n+1}}{n} = \frac{a_n}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}.
(1) 证明：{nan}\{na_n\} 为等差数列； (2) 给定正整数 mm，设函数 f(x)=a1x+a2x2+⋯+amxmf(x) = a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_mx^m，求 f′(−2)f'(-2).

2025 · 全国 · 一卷 · 第 16 题 · 解答题

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1917分数列★★★★★
设 mm 为正整数，数列 a1a_1，a2a_2，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 为公差不为 00 的等差数列，若删去两项 aia_i，aja_j（i<ji<j） 后剩余 4m4m 项可平均分为 mm 组且每组 4 个数都成等差，则称该数列为 (i,j)(i,j)-可分数列.
(1) 写出所有 (i,j)(i,j)，1≤i<j≤61\le i<j\le6，使 a1a_1，…\dots，a6a_6 是 (i,j)(i,j)-可分数列； (2) 当 m≥3m\ge3 时，证明 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (2,13)(2,13)-可分数列； (3) 从 11，22，…\dots，4m+24m+2 中不放回任取 i<ji<j，设 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (i,j)(i,j)-可分数列的概率为 PmP_m，证明 Pm>18P_m>\frac18.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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2015分数列★★★★☆
设等差数列 {an}\{a_n\} 的公差为 dd，且 d>1d>1. 令 bn=n2+nanb_n=\frac{n^2+n}{a_n}，记 SnS_n，TnT_n 分别为数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的前 nn 项和.
(1) 若 3a2=3a1+a33a_2=3a_1+a_3，S3+T3=21S_3+T_3=21，求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若 {bn}\{b_n\} 为等差数列，且 S99−T99=99S_{99}-T_{99}=99，求 dd.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

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1715分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 a1=1a_1=1，数列 {Snan}\left\{\frac{S_n}{a_n}\right\} 是公差为 13\frac13 的等差数列.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 证明：1a1+1a2+⋯+1an<2\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots+\frac1{a_n}<2.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1715分数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1=1，且
an+1={an+1,n为奇数,an+2,n为偶数.a_{n+1}=\begin{cases} a_n+1, & n\text{为奇数},\\ a_n+2, & n\text{为偶数}. \end{cases}
(1) 记 bn=a2nb_n=a_{2n}，写出 b1b_1，b2b_2，并求数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 求 {an}\{a_n\} 的前 2020 项和.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是公比不为 11 的等比数列，a1a_1 为 a2a_2，a3a_3 的等差中项.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的公比； (2) 若 a1=1a_1=1，求数列 {nan}\{na_n\} 的前 nn 项和.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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21概率与统计★★★★★
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验. 试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药. 一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 44 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 11 分，乙药得 −1-1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 11 分，甲药得 −1-1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 00 分. 甲、乙两种药的治愈率分别记为 α\alpha 和 β\beta，一轮试验中甲药的得分记为 XX.
(1) 求 XX 的分布列； (2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予 44 分，pip_i（i=0i=0，11，⋯\cdots，88）表示“甲药的累计得分为 ii 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p0=0p_0=0，p8=1p_8=1，pi=api−1+bpi+cpi+1p_i=ap_{i-1}+bp_i+cp_{i+1}（i=1i=1，22，⋯\cdots，77），其中 a=P(X=−1)a=P(X=-1)，b=P(X=0)b=P(X=0)，c=P(X=1)c=P(X=1). 假设 α=0.5\alpha=0.5，β=0.8\beta=0.8.
(i) 证明：{pi+1−pi}\{p_{i+1}-p_i\}（i=0i=0，11，22，⋯\cdots，77）为等比数列； (ii) 求 p4p_4，并根据 p4p_4 的值解释这种试验方案的合理性.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 已知 S9=−a5S_9=-a_5.
(1) 若 a3=4a_3=4，求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若 a1>0a_1>0，求使得 Sn≥anS_n\ge a_n 的 nn 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1=1，nan+1=2(n+1)anna_{n+1}=2(n+1)a_n，设 bn=annb_n=\dfrac{a_n}{n}.
(1) 求 b1b_1，b2b_2，b3b_3； (2) 判断数列 {bn}\{b_n\} 是否为等比数列，并说明理由； (3) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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21数列★★★★★
数列 {an}\{a_n\} 满足 a1+2a2+⋯+nan=4−n+22n−1a_1 + 2a_2 + \cdots + na_n = 4 - \frac{n + 2}{2^{n - 1}}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 求 a3a_3 的值； (2) 求数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和 TnT_n； (3) 令 b1=a1b_1 = a_1，bn=Tn−1n+(1+12+13+⋯+1n)anb_n = \frac{T_{n - 1}}{n} + \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}\right) a_n（n⩾2n \geqslant 2），证明：数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 SnS_n 满足 Sn<2+2ln⁡nS_n < 2 + 2 \ln n.

2015 · 广东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，已知 a1=1a_{1} = 1，a2=32a_{2} = \frac{3}{2}，a3=54a_{3} = \frac{5}{4}，且当 n⩾2n \geqslant 2 时，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn−14S_{n+2} + 5S_{n} = 8S_{n+1} + S_{n-1}.
(1) 求 a4a_{4} 的值. (2) 证明： {an+1−12an}\left\{a_{n+1}-\frac{1}{2}a_{n}\right\} 为等比数列； (3) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式.

2015 · 广东 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 和为 SnS_{n}，满足 Sn=2nan+1−3n2−4nS_{n} = 2na_{n+1} - 3n^{2} - 4n，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，且 S3=15S_{3} = 15.
(1) 求 a1a_{1}，a2a_{2}，a3a_{3} 的值； (2) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式.

2014 · 广东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
设各项均为正数的数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，且 SnS_{n} 满足 Sn2−(n2+n−3)Sn−3(n2+n)=0S_{n}^{2} - (n^{2} + n - 3)S_{n} - 3(n^{2} + n) = 0，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}.
(1) 求 a1a_{1} 的值； (2) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数 nn，有 1a1(a1+1)+1a2(a2+1)+⋯+1an(an+1)<13\frac{1}{a_1(a_1 + 1)} + \frac{1}{a_2(a_2 + 1)} + \cdots + \frac{1}{a_n(a_n + 1)} < \frac{1}{3}.

2014 · 广东 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，已知 a1=1a_{1} = 1，2Snn=an+1−13n2−n−23\frac{2S_{n}}{n} = a_{n+1} - \frac{1}{3} n^{2} - n - \frac{2}{3}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}.
(1) 求 a2a_{2} 的值. (2) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式. (3) 证明：对一切正整数 nn，有 1a1+1a2+⋯+1an<74\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n} < \frac{7}{4}.

2013 · 广东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
设各项均为正数的数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，满足 4Sn=an+12−4n−14S_{n} = a_{n+1}^{2} - 4n - 1，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，且 a2a_{2}，a5a_{5}，a14a_{14} 构成等比数列.
(1) 证明： a2=4a1+5a_{2} = \sqrt{4a_{1} + 5}； (2) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数 nn，有 1a1a2+1a2a3+⋯+1anan+1<12\frac{1}{a_1 a_2} + \frac{1}{a_2 a_3} + \cdots + \frac{1}{a_n a_{n+1}} < \frac{1}{2}.

2013 · 广东 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，满足 2Sn=an+1−2n+1+12S_{n} = a_{n + 1} - 2^{n + 1} + 1，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，且 a1a_{1}，a2+5a_{2} + 5，a3a_{3} 成等差数列.
(1) 求 a1a_{1} 的值； (2) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数 nn，有 1a1+1a2+1a3+⋯+1an<32\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \cdots + \frac{1}{a_n} < \frac{3}{2}.

2012 · 广东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}. 数列 {Sn}\{S_{n}\} 的前 nn 项和为 TnT_{n}. 满足 Tn=2Sn−n2T_{n} = 2S_{n} - n^{2}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}.
(1) 求 a1a_{1} 的值； (2) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式.

2012 · 广东 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★★
(1) 设 b>0b > 0，数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=ba_{1} = b，an=nban−1an−1+2n−2a_{n} = \frac{nba_{n-1}}{a_{n-1} + 2n - 2}（n⩾2n \geqslant 2）. 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式. (2) 证明：对于一切正整数 nn，an⩽bn+12n+1+1a_{n} \leqslant \frac{b^{n+1}}{2^{n+1}} + 1.

2011 · 广东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
设 b>0b > 0，数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=ba_{1} = b，an=nban−1an−1+n−1a_{n} = \frac{nba_{n - 1}}{a_{n - 1} + n - 1}（n⩾2n \geqslant 2）.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 证明：对于一切正整数 nn，2an⩽bn+1+12a_{n} \leqslant b^{n+1} + 1.

2011 · 广东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
已知曲线 Cn:x2−2nx+y2=0C_n: x^2 - 2nx + y^2 = 0（n=1n = 1，22，⋯\cdots）. 从点 P(−1,0)P(-1,0) 向曲线 CnC_n 引斜率为 knk_n（kn>0k_n > 0）的切线 lnl_n，切点为 Pn(xn,yn)P_n(x_n, y_n).
(1) 求数列 {xn}\{x_n\} 与 {yn}\{y_n\} 的通项公式； (2) 证明：x1⋅x3⋅x5⋅⋯⋅x2n−1<1−xn1+xn<2sin⁡xnynx_1 \cdot x_3 \cdot x_5 \cdot \cdots \cdot x_{2n-1} < \sqrt{\frac{1 - x_n}{1 + x_n}} < \sqrt2\sin \frac{x_n}{y_n}.

2009 · 广东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
已知点 (1,13)\left(1, \frac{1}{3}\right) 是函数 f(x)=axf(x) = a^x（a>0a > 0，a≠1a \neq 1）的图象上一点. 等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 f(n)−cf(n) - c. 数列 {bn}\{b_n\}（bn>0b_n > 0）的首项为 cc，且前 nn 项和 SnS_n 满足 Sn−Sn−1=Sn+Sn−1S_n - S_{n-1} = \sqrt{S_n} + \sqrt{S_{n-1}}（n≥2n \ge 2）.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 若数列 {1bnbn+1}\left\{\frac{1}{b_n b_{n+1}}\right\} 的前 nn 项和为 TnT_n，问满足 Tn>10002009T_n > \frac{1000}{2009} 的最小正整数 nn 是多少？

2009 · 广东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
已知 pp，qq 是实数，α\alpha，β\beta 为方程 x2−px+q=0x^2 - px + q = 0 的两个实根，数列 {xn}\{x_n\} 满足 x1=px_1 = p，x2=p2−qx_2 = p^2 - q，xn=pxn−1−qxn−2x_n = px_{n-1} - qx_{n-2}（n=3n = 3，44，⋯\cdots）.
(1) 证明：α+β=p\alpha + \beta = p，αβ=q\alpha \beta = q； (2) 求数列 {xn}\{x_n\} 的通项公式； (3) 若 p=1p = 1，q=14q = \frac{1}{4}，求 {xn}\{x_n\} 的前 nn 项和 SnS_n.

2008 · 广东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21数列★★★★★
设数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1 = 1，a2=2a_2 = 2，an=13(an−1+2an−2)a_n = \frac{1}{3}(a_{n-1} + 2a_{n-2})（n=3n = 3，44，⋯\cdots）. 数列 {bn}\{b_n\} 满足 b1=1b_1 = 1，bnb_n（n=2n = 2，33，⋯\cdots）是非零整数，且对任意的正整数 mm 和自然数 kk，都有 −1⩽bm+bm+1+⋯+bm+k⩽1-1 \leqslant b_m + b_{m+1} + \cdots + b_{m+k} \leqslant 1.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 若 cn=nanbnc_n = na_nb_n（n=1n = 1，22，…\dots），求数列 {cn}\{c_n\} 的前 nn 项和 SnS_n.

2008 · 广东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21数列★★★★★
已知函数 f(x)=x2+x−1f(x) = x^2 + x - 1，α\alpha，β\beta 是方程 f(x)=0f(x) = 0 的两个根（α>β\alpha > \beta），f′(x)f'(x) 是 f(x)f(x) 的导数. 设 a1=1a_1 = 1，an+1=an−f(an)f′(an)a_{n+1} = a_n - \frac{f(a_n)}{f'(a_n)}（n=1n = 1，22，⋯\cdots）.
(1) 求 α\alpha，β\beta 的值； (2) 证明：对任意的正整数 nn，都有 an>αa_{n} > \alpha； (3) 记 bn=ln⁡an−βan−αb_{n} = \ln \frac{a_{n} - \beta}{a_{n} - \alpha}（n=1n = 1，22，⋯\cdots）. 求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.

2007 · 广东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
已知函数 f(x)=x2+x−1f(x) = x^2 + x - 1，α\alpha，β\beta 是方程 f(x)=0f(x) = 0 的两个根（α>β\alpha > \beta），f′(x)f'(x) 是 f(x)f(x) 的导数，设 a1=1a_{1} = 1，an+1=an−f(an)f′(an)a_{n + 1} = a_{n} - \frac{f(a_{n})}{f'(a_{n})}（n=1n = 1，22，⋯\cdots）.
(1) 求 α\alpha，β\beta 的值； (2) 已知对任意的正整数 nn，都有 an>αa_{n} > \alpha，记 bn=ln⁡an−βan−αb_{n} = \ln \frac{a_{n} - \beta}{a_{n} - \alpha}（n=1n = 1，22，⋯\cdots），求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.

2007 · 广东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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