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1615分数列★★★★☆
设数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=3a_1 = 3，an+1n=ann+1+1n(n+1)\frac{a_{n+1}}{n} = \frac{a_n}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}.
(1) 证明：{nan}\{na_n\} 为等差数列； (2) 给定正整数 mm，设函数 f(x)=a1x+a2x2+⋯+amxmf(x) = a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_mx^m，求 f′(−2)f'(-2).

2025 · 全国 · 一卷 · 第 16 题 · 解答题

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1917分数列★★★★★
设 mm 为正整数，数列 a1a_1，a2a_2，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 为公差不为 00 的等差数列，若删去两项 aia_i，aja_j（i<ji<j） 后剩余 4m4m 项可平均分为 mm 组且每组 4 个数都成等差，则称该数列为 (i,j)(i,j)-可分数列.
(1) 写出所有 (i,j)(i,j)，1≤i<j≤61\le i<j\le6，使 a1a_1，…\dots，a6a_6 是 (i,j)(i,j)-可分数列； (2) 当 m≥3m\ge3 时，证明 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (2,13)(2,13)-可分数列； (3) 从 11，22，…\dots，4m+24m+2 中不放回任取 i<ji<j，设 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (i,j)(i,j)-可分数列的概率为 PmP_m，证明 Pm>18P_m>\frac18.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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2015分数列★★★★☆
设等差数列 {an}\{a_n\} 的公差为 dd，且 d>1d>1. 令 bn=n2+nanb_n=\frac{n^2+n}{a_n}，记 SnS_n，TnT_n 分别为数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的前 nn 项和.
(1) 若 3a2=3a1+a33a_2=3a_1+a_3，S3+T3=21S_3+T_3=21，求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若 {bn}\{b_n\} 为等差数列，且 S99−T99=99S_{99}-T_{99}=99，求 dd.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

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1715分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 a1=1a_1=1，数列 {Snan}\left\{\frac{S_n}{a_n}\right\} 是公差为 13\frac13 的等差数列.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 证明：1a1+1a2+⋯+1an<2\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots+\frac1{a_n}<2.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1715分数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1=1，且
an+1={an+1,n为奇数,an+2,n为偶数.a_{n+1}=\begin{cases} a_n+1, & n\text{为奇数},\\ a_n+2, & n\text{为偶数}. \end{cases}
(1) 记 bn=a2nb_n=a_{2n}，写出 b1b_1，b2b_2，并求数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 求 {an}\{a_n\} 的前 2020 项和.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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20数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）的首项 a1=1a_1=1，前 nn 项和为 SnS_n. 设 λ\lambda 与 kk 是常数，若对一切正整数 nn，均有 Sn+11k−Sn1k=λan+11kS_{n+1}^{\frac{1}{k}}-S_n^{\frac{1}{k}}=\lambda a_{n+1}^{\frac{1}{k}} 成立，则称此数列为“λ∼k\lambda\sim k”数列.
(1) 若等差数列 {an}\{a_n\} 是“λ∼1\lambda\sim1”数列，求 λ\lambda 的值； (2) 若数列 {an}\{a_n\} 是“33∼2\dfrac{\sqrt3}{3}\sim2”数列，且 an>0a_n>0，求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (3) 对于给定的 λ\lambda，是否存在三个不同的数列 {an}\{a_n\} 为“λ∼3\lambda\sim3”数列，且 an≥0a_n\ge0？若存在，求 λ\lambda 的取值范围；若不存在，说明理由.

2020 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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20数列★★★★★
定义首项为 11 且公比为正数的等比数列为“MM－数列”.
(1) 已知等比数列 {an}\{a_n\}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）满足：a2a4=a5a_2a_4=a_5，a3−4a2+4a1=0a_3-4a_2+4a_1=0，求证：数列 {an}\{a_n\} 为“MM－数列”； (2) 已知数列 {bn}\{b_n\} 满足 b1=1b_1=1，1Sn=2bn−2bn+1\dfrac1{S_n}=\dfrac2{b_n}-\dfrac2{b_{n+1}}，其中 SnS_n 为数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和.
(i) 求数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (ii) 设 mm 为正整数，若存在“MM－数列”{cn}\{c_n\}，对任意正整数 kk，当 k≤mk\le m 时，都有 ck≤bk≤ck+1c_k\le b_k\le c_{k+1} 成立，求 mm 的最大值.

2019 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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20不等式★★★★★
设 {an}\{a_n\} 是首项为 a1a_1，公差为 dd 的等差数列，{bn}\{b_n\} 是首项为 b1b_1，公比为 qq 的等比数列.
(1) 设 a1=0a_1=0，b1=1b_1=1，q=2q=2，若 ∣an−bn∣≤b1|a_n-b_n|\le b_1 对 n=1n=1，22，33，44 均成立，求 dd 的取值范围； (2) 若 a1=b1>0a_1=b_1>0，m∈N∗m\in\mathbf{N}^*，q∈(1,2m]q\in(1,\sqrt[m]{2}]，证明：存在 d∈Rd\in\mathbf{R}，使得 ∣an−bn∣≤b1|a_n-b_n|\le b_1 对 n=2n=2，33，⋯\cdots，m+1m+1 均成立，并求 dd 的取值范围（用 b1b_1，mm，qq 表示）.

2018 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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19数列★★★★★
对于给定的正整数 kk，若数列 {an}\{a_n\} 满足： an−k+an−k+1+⋯+an−1a_{n-k}+a_{n-k+1}+\allowbreak\cdots+\allowbreak a_{n-1} +an+1+⋯+an+k−1+an+k+a_{n+1}+\allowbreak\cdots+\allowbreak a_{n+k-1}+a_{n+k} =2kan=2ka_n， 对任意正整数 nn（n>kn>k）总成立，则称数列 {an}\{a_n\} 是“P(k)P(k)数列”.
(1) 证明：等差数列 {an}\{a_n\} 是“P(3)P(3)数列”； (2) 若数列 {an}\{a_n\} 既是“P(2)P(2)数列”，又是“P(3)P(3)数列”，证明：{an}\{a_n\} 是等差数列.

2017 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★★
记 U={1,2,⋯ ,100}U=\{1,2,\cdots,100\}. 对数列 {an}\{a_n\}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）和 UU 的子集 TT，若 T=∅T=\varnothing，定义 ST=0S_T=0；若 T={t1,t2,⋯ ,tk}T=\{t_1,t_2,\cdots,t_k\}，定义 ST=at1+at2+⋯+atkS_T=a_{t_1}+a_{t_2}+\cdots+a_{t_k}. 例如：T={1,3,66}T=\{1,3,66\} 时，ST=a1+a3+a66S_T=a_1+a_3+a_{66}. 现设 {an}\{a_n\}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）是公比为 33 的等比数列，且当 T={2,4}T=\{2,4\} 时，ST=30S_T=30.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 对任意正整数 kk（1≤k≤1001\le k\le100），若 T⊆{1,2,⋯ ,k}T\subseteq\{1,2,\cdots,k\}，求证：ST<ak+1S_T<a_{k+1}； (3) 设 C⊆UC\subseteq U，D⊆UD\subseteq U，SC≥SDS_C\ge S_D，求证：SC+SC∩D≥2SDS_C+S_{C\cap D}\ge2S_D.

2016 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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20数列★★★★★
设 a1a_1，a2a_2，a3a_3，a4a_4 是各项为正数且公差为 dd（d≠0d \neq 0）的等差数列.
(1) 证明：2a12^{a_1}，2a22^{a_2}，2a32^{a_3}，2a42^{a_4} 依次构成等比数列； (2) 是否存在 a1a_1，dd，使得 a1a_1，a22a_2^{2}，a33a_3^{3}，a44a_4^{4} 依次构成等比数列？并说明理由； (3) 是否存在 a1a_1，dd 及正整数 nn，kk，使得 a1na_1^{n}，a2n+ka_2^{n+k}，a3n+2ka_3^{n+2k}，a4n+3ka_4^{n+3k} 依次构成等比数列？并说明理由.

2015 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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20数列★★★★★
设数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}. 若对任意正整数 nn，总存在正整数 mm，使得 Sn=amS_{n} = a_{m}，则称 {an}\{a_{n}\} 是“HH 数列”.
(1) 若数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 Sn=2nS_{n}=2^{n}（n∈N∗n\in \mathbf{N}^{*}），证明： {an}\{a_{n}\} 是“HH 数列”； (2) 设{an}\{a_{n}\} 是等差数列，其首项 a1=1a_{1} = 1，公差 d<0d < 0. 若 {an}\{a_{n}\} 是“HH 数列”，求 dd 的值； (3) 证明：对任意的等差数列 {an}\{a_{n}\}，总存在两个“HH 数列” {bn}\{b_{n}\} 和 {cn}\{c_{n}\}，使得 an=bn+cna_{n} = b_{n} + c_{n}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）成立.

2014 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 是首项为 aa，公差为 dd 的等差数列（d≠0d\ne 0），SnS_n 是其前 nn 项和. 记 bn=nSnn2+cb_n=\frac{nS_n}{n^2+c}，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，其中 cc 为实数.
(1) 若 c=0c=0，且 b1b_1，b2b_2，b4b_4 成等比数列，证明：Snk=n2SkS_{nk}=n^2S_k（kk，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）； (2) 若 {bn}\{b_n\} 是等差数列，证明：c=0c=0.

2013 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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23数列★★★★★
设数列 {an}\{a_n\}：11，−2-2，−2-2，33，33，33，−4-4，−4-4，−4-4，−4-4，⋯\cdots，(−1)k−1k,⋯ ,(−1)k−1k⏟k 个\underbrace{(-1)^{k-1}k,\cdots,(-1)^{k-1}k}_{k\text{ 个}}，⋯\cdots. 即当 (k−1)k2<n⩽k(k+1)2\frac{(k-1)k}{2}<n\leqslant \frac{k(k+1)}{2}（k∈N∗k\in\mathbf{N}^*）时，an=(−1)k−1ka_n=(-1)^{k-1}k. 记 Sn=a1+a2+⋯+anS_n=a_1+a_2+\cdots+a_n（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）. 对于 ℓ∈N∗\ell\in\mathbf{N}^*，定义集合 Pℓ={n∣1⩽n⩽ℓ, Sn 是 an 的整数倍}P_{\ell}=\{n\mid 1\leqslant n\leqslant \ell,\ S_n\text{ 是 }a_n\text{ 的整数倍}\}.
(1) 求集合 P11P_{11} 中元素的个数； (2) 求集合 P2000P_{2000} 中元素的个数.

2013 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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20数列★★★★★
已知各项均为正数的两个数列 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 满足：an+1=an+bnan2+bn2a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{\sqrt{a_n^2 + b_n^2}}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 设 bn+1=1+bnanb_{n+1} = 1 + \frac{b_n}{a_n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，求证：数列 {(bnan)2}\left\{\left(\frac{b_n}{a_n}\right)^2\right\} 是等差数列； (2) 设 bn+1=2⋅bnanb_{n+1} = \sqrt{2} \cdot \frac{b_n}{a_n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，且 {an}\{a_n\} 是等比数列，求 a1a_1 和 b1b_1 的值.

2012 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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20数列★★★★★
设 MM 为部分正整数组成的集合，数列 {an}\{a_{n}\} 的首项 a1=1a_{1}=1，前 nn 项和为 SnS_{n}，已知对任意整数 k∈Mk\in M，当整数 n>kn>k 时，Sn+k+Sn−k=2(Sn+Sk)S_{n+k}+S_{n-k}=2(S_{n}+S_{k}) 都成立.
(1) 设 M={1}M=\{1\}，a2=2a_{2}=2，求 a5a_{5} 的值； (2) 设 M={3,4}M=\{3,4\}，求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式.

2011 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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23计数原理与组合数学★★★★☆
设整数 n⩾4n\geqslant 4，P(a,b)P(a,b) 是平面直角坐标系 xOyxOy 中的点，其中 aa，b∈{1,2,3,…,n}b\in\{1,2,3,\dots,n\}，a>ba>b.
(1) 记 AnA_{n} 为满足 a−b=3a-b=3 的点 PP 的个数，求 AnA_{n}； (2) 记 BnB_{n} 为满足 13(a−b)\frac{1}{3}(a-b) 是整数的点 PP 的个数，求 BnB_{n}.

2011 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
设各项均为正数的数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n. 已知 2a2=a1+a32a_2=a_1+a_3，数列 {Sn}\left\{\sqrt{S_n}\right\} 是公差为 dd 的等差数列.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式（用 nn，dd 表示）； (2) 设 cc 为实数，对满足 m+n=3km+n=3k 且 m≠nm\neq n 的任意正整数 mm，nn，kk，不等式 Sm+Sn>cSkS_m+S_n>cS_k 都成立. 求证：cc 的最大值为 92\frac{9}{2}.

2010 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是公差不为零的等差数列，SnS_n 为其前 nn 项和，满足 a22+a32=a42+a52a_2^2+a_3^2=a_4^2+a_5^2，S7=7S_7=7.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式及前 nn 项和 SnS_n； (2) 试求所有的正整数 mm，使得 amam+1am+2\frac{a_ma_{m+1}}{a_{m+2}} 为数列 {an}\{a_n\} 中的项.

2009 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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19数列★★★★★
(1) 设 a1a_1，a2a_2，…\ldots，ana_n 是各项均不为零的 nn（n⩾4n \geqslant 4）项等差数列，且公差 d≠0d \neq 0. 若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，
(i) 当 n=4n = 4 时，求 a1d\frac{a_1}{d} 的数值； (ii) 求 nn 的所有可能值. (2) 求证：对于给定的正整数 nn（n⩾4n \geqslant 4），存在一个各项及公差都不为零的等差数列 b1b_1，b2b_2，⋯\cdots，bnb_n，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列.

2008 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★★
已知 {an}\{a_{n}\} 是等差数列，{bn}\{b_{n}\} 是公比为 qq 的等比数列，a1=b1a_{1} = b_{1}，a2=b2≠a1a_{2} = b_{2} \neq a_{1}，记 SnS_{n} 为数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和.
(1) 若 bk=amb_{k} = a_{m}（mm，kk 是大于 22 正整数），求证：Sk−1=(m−1)a1S_{k-1} = (m - 1)a_{1}； (2) 若 b3=aib_{3} = a_{i}（ii 是某一正整数），求证：qq 是整数，且数列 {bn}\{b_{n}\} 中每一项都是数列 {an}\{a_{n}\} 中的项； (3) 是否存在这样的正数 qq，使等比数列 {bn}\{b_{n}\} 中有三项成等差数列？若存在，写出一个 qq 的值，并加以说明；若不存在，请说明理由.

2007 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
设数列 {an}\{a_{n}\}，{bn}\{b_{n}\}，{cn}\{c_{n}\} 满足：bn=an−an+2b_{n} = a_{n} - a_{n+2}，cn=an+2an+1+3an+2c_{n} = a_{n} + 2a_{n+1} + 3a_{n+2}（n=1n = 1，22，33，⋯\cdots），证明：{an}\{a_{n}\} 为等差数列的充分必要条件是 {cn}\{c_{n}\} 为等差数列且 bn⩽bn+1b_{n} \leqslant b_{n+1}（n=1n = 1，22，33，⋯\cdots）.

2006 · 江苏 · 第 21 题 · 解答题

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23数列★★★★★
设数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，已知 a1=1a_1 = 1，a2=6a_2 = 6，a3=11a_3 = 11，且 (5n−8)Sn+1−(5n+2)Sn=An+B(5n - 8)S_{n+1} - (5n + 2)S_n = An + B，n=1n = 1，22，33，⋯\cdots，其中 AA，BB 为常数.
(1) 求 AA 与 BB 的值； (2) 证明数列 {an}\{a_{n}\} 为等差数列； (3) 证明不等式 5amn−aman>1\sqrt{5a_{mn}} - \sqrt{a_m a_n} > 1 对任何正整数 mm，nn 都成立.

2005 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
设无穷等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}.
(1) 若首项 a1=32a_1 = \frac{3}{2}，公差 d=1d = 1，求满足 Sk2=(Sk)2S_{k^2} = (S_k)^2 的正整数 kk； (2) 求所有的无穷等差数列 {an}\{a_{n}\}，使得对于一切正整数 kk 都有 Sk2=(Sk)2S_{k^2} = (S_k)^2 成立.

2004 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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