设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 3$，$\frac{a_{n+1}}{n} = \frac{a_n}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}$.

(1) 证明：$\{na_n\}$ 为等差数列； (2) 给定正整数 $m$，设函数 $f(x) = a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_mx^m$，求 $f'(-2)$.

设 $m$ 为正整数，数列 $a_1$，$a_2$，$\dots$，$a_{4m+2}$ 为公差不为 $0$ 的等差数列，若删去两项 $a_i$，$a_j$（$i<j$） 后剩余 $4m$ 项可平均分为 $m$ 组且每组 4 个数都成等差，则称该数列为 $(i,j)$-可分数列.

(1) 写出所有 $(i,j)$，$1\le i<j\le6$，使 $a_1$，$\dots$，$a_6$ 是 $(i,j)$-可分数列； (2) 当 $m\ge3$ 时，证明 $a_1$，$\dots$，$a_{4m+2}$ 是 $(2,13)$-可分数列； (3) 从 $1$，$2$，$\dots$，$4m+2$ 中不放回任取 $i<j$，设 $a_1$，$\dots$，$a_{4m+2}$ 是 $(i,j)$-可分数列的概率为 $P_m$，证明 $P_m>\frac18$.

设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，且 $d>1$. 令 $b_n=\frac{n^2+n}{a_n}$，记 $S_n$，$T_n$ 分别为数列 $\{a_n\}$，$\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和.

(1) 若 $3a_2=3a_1+a_3$，$S_3+T_3=21$，求 $\{a_n\}$ 的通项公式； (2) 若 $\{b_n\}$ 为等差数列，且 $S_{99}-T_{99}=99$，求 $d$.

记 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_1=1$，数列 $\left\{\frac{S_n}{a_n}\right\}$ 是公差为 $\frac13$ 的等差数列.

(1) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式； (2) 证明：$\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots+\frac1{a_n}<2$.

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，且

(1) 记 $b_n=a_{2n}$，写出 $b_1$，$b_2$，并求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式； (2) 求 $\{a_n\}$ 的前 $20$ 项和.

设 $\{a_n\}$ 是公比不为 $1$ 的等比数列，$a_1$ 为 $a_2$，$a_3$ 的等差中项.

(1) 求 $\{a_n\}$ 的公比； (2) 若 $a_1=1$，求数列 $\{na_n\}$ 的前 $n$ 项和.

为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验. 试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药. 一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 $4$ 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 $1$ 分，乙药得 $-1$ 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 $1$ 分，甲药得 $-1$ 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 $0$ 分. 甲、乙两种药的治愈率分别记为 $\alpha$ 和 $\beta$，一轮试验中甲药的得分记为 $X$.

(1) 求 $X$ 的分布列； (2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予 $4$ 分，$p_i$（$i=0$，$1$，$\cdots$，$8$）表示“甲药的累计得分为 $i$ 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 $p_0=0$，$p_8=1$，$p_i=ap_{i-1}+bp_i+cp_{i+1}$（$i=1$，$2$，$\cdots$，$7$），其中 $a=P(X=-1)$，$b=P(X=0)$，$c=P(X=1)$. 假设 $\alpha=0.5$，$\beta=0.8$.

(i) 证明：$\{p_{i+1}-p_i\}$（$i=0$，$1$，$2$，$\cdots$，$7$）为等比数列； (ii) 求 $p_4$，并根据 $p_4$ 的值解释这种试验方案的合理性.

记 $S_n$ 为等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和. 已知 $S_9=-a_5$.

(1) 若 $a_3=4$，求 $\{a_n\}$ 的通项公式； (2) 若 $a_1>0$，求使得 $S_n\ge a_n$ 的 $n$ 的取值范围.

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$na_{n+1}=2(n+1)a_n$，设 $b_n=\dfrac{a_n}{n}$.

(1) 求 $b_1$，$b_2$，$b_3$； (2) 判断数列 $\{b_n\}$ 是否为等比数列，并说明理由； (3) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式.