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19
数列
★★★★☆
记
S
n
S_n
S
n
为数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
的前
n
n
n
项和，
b
n
b_n
b
n
为数列
{
S
n
}
\{S_n\}
{
S
n
}
的前
n
n
n
项积，已知
2
S
n
+
1
b
n
=
2
\frac{2}{S_n}+\frac{1}{b_n}=2
S
n
2
+
b
n
1
=
2
.
(1) 证明：数列
{
b
n
}
\{b_n\}
{
b
n
}
是等差数列； (2) 求
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
的通项公式.
2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题
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19
数列
★★★★☆
设
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
是首项为
1
1
1
的等比数列，数列
{
b
n
}
\{b_n\}
{
b
n
}
满足
b
n
=
n
a
n
3
b_n=\dfrac{na_n}{3}
b
n
=
3
n
a
n
. 已知
a
1
a_1
a
1
，
3
a
2
3a_2
3
a
2
，
9
a
3
9a_3
9
a
3
成等差数列.
(1) 求
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
和
{
b
n
}
\{b_n\}
{
b
n
}
的通项公式； (2) 记
S
n
S_n
S
n
和
T
n
T_n
T
n
分别为
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
和
{
b
n
}
\{b_n\}
{
b
n
}
的前
n
n
n
项和，证明：
T
n
<
S
n
2
T_n<\dfrac{S_n}{2}
T
n
<
2
S
n
.
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