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145分数列★★★★☆
设实数 qq 满足：存在数列 {an}\{a_n\}，使得对于任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，均有 a1+a2+⋯+a3n=n2+na_1+a_2+\cdots+a_{3n}=n^2+n，且 {an}\{a_n\} 中有某连续 99 项 aka_k，ak+1a_{k+1}，⋯\cdots，ak+8a_{k+8} 是公比为 qq 的等比数列，则 qq 的最大值为______．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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135分数列★★☆☆☆
若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为______.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 13 题 · 填空题

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11数列★☆☆☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 an=n(n+1)2a_n=\dfrac{n(n+1)}{2}，则 S3=‾S_3=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 浙江 · 第 11 题 · 填空题

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13数列★★☆☆☆
设数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，若 S2=4S_2=4，an+1=2Sn+1a_{n+1}=2S_n+1，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，则 a1=‾a_1=\underline{\hspace{2em}}，S5=‾S_5=\underline{\hspace{2em}}.

2016 · 浙江 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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10数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是等差数列，公差 dd 不为零. 若 a2a_2，a3a_3，a7a_7 成等比数列，且 2a1+a2=12a_1+a_2=1，则 a1=a_1=______，d=d=______.

2015 · 浙江 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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13数列★★☆☆☆
若某程序框图如图所示，当输入 5050 时，则该程序运行后输出的结果是______.

2014 · 浙江 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于______.

2013 · 浙江 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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13数列★★☆☆☆
设公比为 qq（q>0q>0）的等比数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}. 若 S2=3a2+2S_{2} = 3a_{2} + 2，S4=3a4+2S_{4} = 3a_{4} + 2，则 q=‾q =\underline{\hspace{2em}}.

2012 · 浙江 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13数列★☆☆☆☆
若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是______.

2012 · 浙江 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的 kk 的值是______.

2011 · 浙江 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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17数列★★★☆☆
若数列 {n(n+4)(23)n}\left\{n(n + 4)\left(\frac{2}{3}\right)^n\right\} 中的最大项是第 kk 项，则 k=k =______.

2011 · 浙江 · 文 · 第 17 题 · 填空题

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15数列★★★☆☆
设 a1a_1，dd 为实数. 首项为 a1a_1，公差为 dd 的等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，满足 S5S6+15=0S_5S_6 + 15 = 0，则 dd 的取值范围是______. \begin{answer} d⩽−22d \leqslant -2\sqrt{2} 或 d⩾22d \geqslant 2\sqrt{2} \end{answer}
\begin{solution} 由等差数列前 nn 项和公式， S5=5(a1+2d)S_5=5(a_1+2d)，S6=3(2a1+5d)S_6=3(2a_1+5d). 代入题设得
15(a1+2d)(2a1+5d)+15=015(a_1+2d)(2a_1+5d)+15=0
即
2a12+9a1d+10d2+1=02a_1^2+9a_1d+10d^2+1=0
把它看作关于 a1a_1 的一元二次方程，为使 a1a_1 有实数解，判别式应满足
Δ=(9d)2−4⋅2(10d2+1)=d2−8⩾0\Delta=(9d)^2-4\cdot2(10d^2+1)=d^2-8\geqslant0
所以 ∣d∣⩾22|d|\geqslant2\sqrt2，即
d⩽−22或d⩾22d\leqslant-2\sqrt2\quad\text{或}\quad d\geqslant2\sqrt2
\end{solution}

2010 · 浙江 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列. 那么，位于表中的第 nn 行第 n+1n + 1 列的数是______.
\begin{answer} n2+nn^2+n \end{answer}
\begin{solution} 记表中第 ii 行第 jj 列的数为 aija_{ij}. 由第一列可知 ai1=ia_{i1}=i，由第二列可知 ai2=2ia_{i2}=2i. 由于第 ii 行成等差数列，该行公差为
ai2−ai1=2i−i=ia_{i2}-a_{i1}=2i-i=i
因此
aij=ai1+(j−1)i=i+(j−1)i=ija_{ij}=a_{i1}+(j-1)i=i+(j-1)i=ij
所以第 nn 行第 n+1n+1 列的数为
an,n+1=n(n+1)=n2+na_{n,n+1}=n(n+1)=n^2+n
\end{solution}

2010 · 浙江 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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11数列★★☆☆☆
设等比数列 {an}\{a_n\} 的公比 q=12q=\frac{1}{2}，前 nn 项和为 SnS_n，则 S4a4=‾\frac{S_4}{a_4}=\underline{\hspace{2em}}.

2009 · 浙江 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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11数列★☆☆☆☆
设等比数列 {an}\left\{a_{n}\right\} 的公比 q=12q = \frac{1}{2}，前 nn 项和为 SnS_{n}，则 S4a4=\frac{S_{4}}{a_{4}} =______.

2009 · 浙江 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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16数列★★★☆☆
设等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，则 S4S_{4}，S8−S4S_{8} - S_{4}，S12−S8S_{12} - S_{8}，S16−S12S_{16} - S_{12} 成等差数列. 类比以上结论有：设等比数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项积为 TnT_{n}，则 T4T_{4}，______，______，T16T12\frac{T_{16}}{T_{12}} 成等比数列.

2009 · 浙江 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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15概率与统计★★★☆☆
随机变量 ξ\xi 的分布列如下：
ξ\xi−1-10011
其中 aa，bb，cc 成等差数列. 若 E(ξ)=13E(\xi) = \frac{1}{3}，则 D(ξ)D(\xi) 的值是______. \begin{answer} 59\frac{5}{9} \end{answer}
\begin{solution} 因为 aa，bb，cc 成等差数列，所以 a+c=2ba+c=2b. 又由分布列的概率和为 11，得 a+b+c=1a+b+c=1，从而 b=13b=\dfrac13，a+c=23a+c=\dfrac23. 由期望条件
E(ξ)=−a+c=13E(\xi)=-a+c=\frac13
解得 a=16a=\dfrac16，c=12c=\dfrac12. 于是 E(ξ2)=a+c=23E(\xi^2)=a+c=\frac23，D(ξ)=E(ξ2)−E(ξ)2=23−19=59D(\xi)=E(\xi^2)-E(\xi)^2=\frac23-\frac19=\frac59. \end{solution}

2007 · 浙江 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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11数列★★☆☆☆
设 SnS_{n} 为等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和. 若 S5=10S_{5} = 10，S10=−5S_{10} = -5，则公差为______（用数字作答）.
\begin{answer} −1-1 \end{answer}
\begin{solution} 设等差数列的首项为 a1a_1，公差为 dd. 由前 nn 项和公式，得 S5=5a1+10d=10S_5=5a_1+10d=10，S10=10a1+45d=−5S_{10}=10a_1+45d=-5. 将第一式乘以 22，得 10a1+20d=2010a_1+20d=20. 与第二式相减，得到 25d=−2525d=-25，所以 d=−1d=-1. \end{solution}

2006 · 浙江 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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