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075分数列★★★☆☆
一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深邃的历史文化闻名遐迩. 该塔群共有 108108 座塔，依山势自上而下排成 1212 行，将第 ii 行中塔的座数记为 aia_i（i=1i=1，22，⋯\cdots，1212），其中 a1=1a_1=1，a2=a3=3a_2=a_3=3，a4=a5=5a_4=a_5=5，且 a6a_6，a7a_7，⋯\cdots，a12a_{12} 是一个首项为 77，公差为 22 的等差数列. 将 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，a12a_{12} 分为 66 组，每组 22 个数，使得每组的 22 个数之和可构成一个项数为 66 且公差为 dd（d>0d>0）的等差数列，则 d=d=（ ）
A.
22
B.
44
C.
66
D.
88

2026 · 全国 · 一卷 · 第 7 题 · 选择题

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085分数列★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且 f(x)>f(x−1)+f(x−2)f(x)>f(x-1)+f(x-2)， 当 x<3x<3 时 f(x)=xf(x)=x. 则下列结论中一定正确的是（ ）
A.
f(10)>100f(10)>100
B.
f(20)>1000f(20)>1000
C.
f(10)<1000f(10)<1000
D.
f(20)<10000f(20)<10000

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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075分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 设甲：{an}\{a_n\} 为等差数列，乙：{Snn}\left\{\frac{S_n}{n}\right\} 为等差数列，则（ ）
A.
甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.
甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.
甲是乙的充要条件
D.
甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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10数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1=1，an+1=an−13an2a_{n+1}=a_n-\frac13a_n^2（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），则（ ）
A.
2<100a100<522<100a_{100}<\dfrac52
B.
52<100a100<3\dfrac52<100a_{100}<3
C.
3<100a100<723<100a_{100}<\dfrac72
D.
72<100a100<4\dfrac72<100a_{100}<4

2022 · 浙江 · 第 10 题 · 选择题

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09数列★★★☆☆
已知 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，ab>0ab>0，函数 f(x)=ax2+bf(x)=ax^{2}+b（x∈Rx\in\mathbf{R}）. 若 f(s−t)f(s-t)，f(s)f(s)，f(s+t)f(s+t) 成等比数列，则平面上点 (s,t)(s,t) 的轨迹是（ ）
A.
直线和圆
B.
直线和椭圆
C.
直线和双曲线
D.
直线和抛物线

2021 · 浙江 · 第 9 题 · 选择题

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10数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1=1，an+1=an1+ana_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+\sqrt{a_n}}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）， 记数列前 nn 项和为 SnS_n. 则（ ）
A.
12<S100<3\frac{1}{2}<S_{100}<3
B.
3<S100<43<S_{100}<4
C.
4<S100<924<S_{100}<\frac{9}{2}
D.
92<S100<5\frac{9}{2}<S_{100}<5

2021 · 浙江 · 第 10 题 · 选择题

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07数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，公差 d≠0d\neq0，且 a1d≤1\dfrac{a_1}{d}\le1. 记 b1=S2b_1=S_2，bn+1=S2n+2−S2nb_{n+1}=S_{2n+2}-S_{2n}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），下列等式不可能成立的是（ ）
A.
2a4=a2+a62a_4=a_2+a_6
B.
2b4=b2+b62b_4=b_2+b_6
C.
a42=a2a8a_4^2=a_2a_8
D.
b42=b2b8b_4^2=b_2b_8

2020 · 浙江 · 第 7 题 · 选择题

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10数列★★★★★
设 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，数列 {an}\{a_n\} 中，a1=aa_1=a，an+1=an2+ba_{n+1}=a_n^2+b（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），则（ ）
A.
当 b=12b=\dfrac12 时，a10>10a_{10}>10
B.
当 b=14b=\dfrac14 时，a10>10a_{10}>10
C.
当 b=−2b=-2 时，a10>10a_{10}>10
D.
当 b=−4b=-4 时，a10>10a_{10}>10

2019 · 浙江 · 第 10 题 · 选择题

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10数列★★★★☆
已知 a1a_1，a2a_2，a3a_3，a4a_4 成等比数列，且 a1+a2+a3+a4=ln⁡(a1+a2+a3)a_1+a_2+a_3+a_4=\ln(a_1+a_2+a_3). 若 a1>1a_1>1，则（ ）
A.
a1<a3a_1<a_3，a2<a4a_2<a_4
B.
a1>a3a_1>a_3，a2<a4a_2<a_4
C.
a1<a3a_1<a_3，a2>a4a_2>a_4
D.
a1>a3a_1>a_3，a2>a4a_2>a_4

2018 · 浙江 · 第 10 题 · 选择题

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06数列★★☆☆☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 的公差为 dd，前 nn 项和为 SnS_n，则 “d>0d>0” 是 “S4+S6>2S5S_4+S_6>2S_5” 的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2017 · 浙江 · 第 6 题 · 选择题

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06数列★★★☆☆
如图，点列 {An}\{A_n\}，{Bn}\{B_n\} 分别在某锐角的两边上，且 ∣AnAn+1∣=∣An+1An+2∣|A_nA_{n+1}|=|A_{n+1}A_{n+2}|，An≠An+1A_n\ne A_{n+1}，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，∣BnBn+1∣=∣Bn+1Bn+2∣|B_nB_{n+1}|=|B_{n+1}B_{n+2}|，Bn≠Bn+1B_n\ne B_{n+1}，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*（P≠QP\ne Q 表示点 PP 与点 QQ 不重合）. 若 dn=∣AnBn∣d_n=|A_nB_n|，SnS_n 为 △AnBnBn+1\triangle A_nB_nB_{n+1} 的面积，则（ ）
A.
{Sn}\{S_n\} 是等差数列
B.
{Sn2}\{S_n^2\} 是等差数列
C.
{dn}\{d_n\} 是等差数列
D.
{dn2}\{d_n^2\} 是等差数列

2016 · 浙江 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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08数列★★★★☆
如图，点列 {An}\{A_n\}，{Bn}\{B_n\} 分别在某锐角的两边上，且 ∣AnAn+1∣=∣An+1An+2∣|A_nA_{n+1}|=|A_{n+1}A_{n+2}|，An≠An+2A_n\ne A_{n+2}，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，∣BnBn+1∣=∣Bn+1Bn+2∣|B_nB_{n+1}|=|B_{n+1}B_{n+2}|，Bn≠Bn+2B_n\ne B_{n+2}，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*（P≠QP\ne Q 表示点 PP 与点 QQ 不重合）. 若 dn=∣AnBn∣d_n=|A_nB_n|，SnS_n 为 △AnBnBn+1\triangle A_nB_nB_{n+1} 的面积，则（ ）
A.
{Sn}\{S_n\} 是等差数列
B.
{Sn2}\{S_n^2\} 是等差数列
C.
{dn}\{d_n\} 是等差数列
D.
{dn2}\{d_n^2\} 是等差数列

2016 · 浙江 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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03数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是等差数列，公差 dd 不为零，前 nn 项和是 SnS_n，若 a3a_3，a4a_4，a8a_8 成等比数列，则（ ）
A.
a1d>0a_{1}d > 0，dS4>0dS_{4} > 0
B.
a1d<0a_{1}d < 0，dS4<0dS_{4} < 0
C.
a1d>0a_{1}d > 0，dS4<0dS_{4} < 0
D.
a1d<0a_{1}d < 0，dS4>0dS_{4} > 0

2015 · 浙江 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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05数列★★★☆☆
某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 95\frac{9}{5}，则（ ）
A.
a=4a = 4
B.
a=5a = 5
C.
a=6a = 6
D.
a=7a = 7

2013 · 浙江 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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07数列★★★☆☆
设 SnS_{n} 是公差为 dd（d≠0d \neq 0） 的无穷等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，则下列命题错误的是（ ）
A.
若 d<0d < 0，则数列 {Sn}\{S_{n}\} 有最大项
B.
若数列 {Sn}\{S_{n}\} 有最大项，则 d<0d < 0
C.
若数列 {Sn}\{S_{n}\} 是递增数列，则对任意 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，均有 Sn>0S_{n} > 0
D.
若对任意 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，均有 Sn>0S_n > 0，则数列 {Sn}\{S_n\} 是递增数列

2012 · 浙江 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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02数列★★☆☆☆
某程序框图如图所示，若输出的 S=57S = 57，则判断框内为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 程序开始时 S=1S=1，k=1k=1. 每循环一次先令 kk 增加 11，再令 S=2S+kS=2S+k，因此各次循环后的状态依次为 (k,S)=(2,4)(k,S)=(2,4)， (3,11)\ (3,11)， (4,26)\ (4,26)， (5,57)\ (5,57). 当 k=5k=5 时已经得到输出值 S=57S=57，所以判断框在此时应为“是”，即判断条件应为 k>4k>4. 故选 A. \end{solution}
A.
k>4k > 4
B.
k>5k > 5
C.
k>6k > 6
D.
k>7k > 7

2010 · 浙江 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03数列★★☆☆☆
设 SnS_{n} 为等比数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，8a2+a5=08a_{2} + a_{5} = 0，则 S5S2=\frac{S_{5}}{S_{2}} =（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 设等比数列的公比为 qq. 由于所求比值有意义，且等比数列的相邻项比值有定义，a2≠0a_2\ne0，于是
a5=a2q3a_5=a_2q^3
由题设
8a2+a5=a2(8+q3)=08a_2+a_5=a_2(8+q^3)=0
得 q=−2q=-2. 因此
S5S2=a11−q51−qa11−q21−q=1−(−2)51−(−2)2=33−3=−11\frac{S_5}{S_2} =\frac{a_1\dfrac{1-q^5}{1-q}}{a_1\dfrac{1-q^2}{1-q}} =\frac{1-(-2)^5}{1-(-2)^2} =\frac{33}{-3}=-11
故选 D. \end{solution}
A.
11
B.
5
C.
−8-8
D.
−11-11

2010 · 浙江 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04数列★★☆☆☆
某程序框图如图所示，若输出的 S=57S = 57，则判断框内为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 初始时 S=1S=1，k=1k=1. 每循环一次先令 k=k+1k=k+1，再令 S=2S+kS=2S+k，所以各次循环后的数值依次为 (S,k)=(4,2)(S,k)=(4,2)，(11,3)(11,3)，(26,4)(26,4)，(57,5)(57,5). 当输出 S=57S=57 时，判断框必须在 k=5k=5 时回答“是”，因此判断条件可为 k>4k>4，故选 A. 若条件为 k>5k>5、k>6k>6 或 k>7k>7，则在 k=5k=5 时不能输出 5757. \end{solution}
A.
k>4k > 4
B.
k>5k > 5
C.
k>6k > 6
D.
k>7k > 7

2010 · 浙江 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05数列★★☆☆☆
设 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，8a2+a5=08a_2 + a_5 = 0，则 S5S2=\frac{S_5}{S_2} =（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 设等比数列的公比为 qq. 按等比数列的定义，q≠0q\ne0. 因为所求比值有意义，所以 S2≠0S_2\ne0. 若 a2=0a_2=0，则 a1=a2q=0a_1=\frac{a_2}{q}=0，从而 S2=0S_2=0，矛盾，故 a2≠0a_2\ne0. 又 a5=a2q3a_5=a_2q^3，由题设得
8a2+a5=a2(8+q3)=08a_2+a_5=a_2(8+q^3)=0
所以 q3=−8q^3=-8，即 q=−2q=-2. 因而
S5S2=a1(1−q5)(1−q)a1(1−q2)(1−q)=1−q51−q2=1−(−2)51−(−2)2=33−3=−11\frac{S_5}{S_2} =\frac{a_1\frac{(1-q^5)}{(1-q)}}{a_1\frac{(1-q^2)}{(1-q)}} =\frac{1-q^5}{1-q^2} =\frac{1-(-2)^5}{1-(-2)^2} =\frac{33}{-3}=-11
故选 A. \end{solution}
A.
−11-11
B.
−8-8
C.
55
D.
1111

2010 · 浙江 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 是等比数列，a2=2a_{2} = 2，a5=14a_{5} = \frac{1}{4}，则 a1a2+a2a3+⋯+anan+1=a_{1}a_{2} + a_{2}a_{3} + \cdots + a_{n}a_{n+1} =（ ）
A.
16(1−4−n)16(1 - 4^{-n})
B.
16(1−2−n)16(1 - 2^{-n})
C.
323(1−4−n)\frac{32}{3}(1 - 4^{-n})
D.
323(1−2−n)\frac{32}{3}(1 - 2^{-n})

2008 · 浙江 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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04数列★☆☆☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 是等比数列，a2=2a_{2} = 2，a5=14a_{5} = \frac{1}{4}，则公比 q=q =（ ）
A.
−12-\frac{1}{2}
B.
−2-2
C.
22
D.
12\frac{1}{2}

2008 · 浙江 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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01数列★☆☆☆☆
极限 lim⁡n→∞1+2+⋯+nn2\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1+2+\cdots+n}{n^{2}} 的值是（\quad）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由等差数列求和公式，1+2+⋯+n=n(n+1)21+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}，所以
lim⁡n→∞1+2+⋯+nn2=lim⁡n→∞n(n+1)2n2=lim⁡n→∞n+12n=12\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+\cdots+n}{n^{2}} =\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n(n+1)}{2n^{2}} =\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}
故选 C. \end{solution}
A.
22
B.
44
C.
12\frac{1}{2}
D.
00

2005 · 浙江 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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03数列★★☆☆☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 的公差为 2，若 a1a_1，a3a_3，a4a_4 成等比数列，则 a2=a_2=（ ）
A.
−4-4
B.
−6-6
C.
−8-8
D.
−10-10

2004 · 浙江 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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03数列★★☆☆☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 的公差为 22，若 a1a_1，a3a_3，a4a_4 成等比数列，则 a2=a_2 =（ ）
A.
−4-4
B.
−6-6
C.
−8-8
D.
−10-10

2004 · 浙江 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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