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145分数列★★★★☆
设实数 qq 满足：存在数列 {an}\{a_n\}，使得对于任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，均有 a1+a2+⋯+a3n=n2+na_1+a_2+\cdots+a_{3n}=n^2+n，且 {an}\{a_n\} 中有某连续 99 项 aka_k，ak+1a_{k+1}，⋯\cdots，ak+8a_{k+8} 是公比为 qq 的等比数列，则 qq 的最大值为______．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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135分数列★★☆☆☆
若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为______.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 13 题 · 填空题

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165分数列★★★★☆
某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 20 dm×12 dm20\text{ dm}\times 12\text{ dm} 的长方形纸，对折 11 次共可以得到 10 dm×12 dm10\text{ dm}\times 12\text{ dm}，20 dm×6 dm20\text{ dm}\times 6\text{ dm} 两种规格的图形，它们的面积之和 S1=240 dm2S_1=240\text{ dm}^2；对折 22 次共可以得到 5 dm×12 dm5\text{ dm}\times 12\text{ dm}，10 dm×6 dm10\text{ dm}\times 6\text{ dm}，20 dm×3 dm20\text{ dm}\times 3\text{ dm} 三种规格的图形，它们的面积之和 S2=180 dm2S_2=180\text{ dm}^2. 以此类推.
(1) 对折 44 次共可以得到不同规格图形的种数为______； (2) 如果对折 nn 次，那么 ∑k=1nSk=‾ dm2\sum_{k=1}^n S_k=\underline{\hspace{2em}}\text{ dm}^2.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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16数列★★★★☆
数列 {an}\{a_n\} 满足 an+2+(−1)nan=3n−1a_{n+2}+(-1)^n a_n=3n-1，前 1616 项和为 540540，则 a1=‾a_1=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 a1=13a_1=\dfrac13，a42=a6a_4^2=a_6，则 S5=‾S_5=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 1213\dfrac{121}{3} \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 a1=1a_1=1，S3=34S_3=\dfrac{3}{4}，则 S4=S_4=______.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 Sn=2an+1S_n=2a_n+1，则 S6=S_6=______.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 nn 的值为 99，则输出 SS 的值为______.

2014 · 湖北 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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12数列★★☆☆☆
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 i=‾i=\underline{\hspace{2em}}.

2013 · 湖北 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数 11，33，66，1010，⋯\cdots，第 nn 个三角形数为 n(n+1)2=12n2+12n\frac{n(n + 1)}{2} = \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n. 记第 nn 个 kk 边形数为 N(n,k)N(n, k)（k⩾3k \geqslant 3），以下列出了部分 kk 边形数中第 nn 个数的表达式：
三角形数 N(n,3)=12n2+12nN(n, 3) = \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n， 正方形数 N(n,4)=n2N(n, 4) = n^2， 五边形数 N(n,5)=32n2−12nN(n, 5) = \frac{3}{2}n^2 - \frac{1}{2}n， 六边形数 N(n,6)=2n2−nN(n, 6) = 2n^2 - n， ……
可以推测 N(n,k)N(n, k) 的表达式，由此计算 N(10,24)=‾N(10, 24) =\underline{\hspace{2em}}.

2013 · 湖北 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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12数列★★☆☆☆
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，
输出的结果是______.

2012 · 湖北 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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16数列★☆☆☆☆
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 s=s =______.

2012 · 湖北 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17数列★★★★☆
传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数. 他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数 1, 3, 6, 10, …\dots 记为数列 {an}\{a_{n}\}，记可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列 {bn}\{b_{n}\}，可以推测：
(1) b2012b_{2012} 是数列 {an}\{a_{n}\} 中的第______ 项； (2) b2k−1=‾b_{2k-1} =\underline{\hspace{2em}}（用 kk 表示）

2012 · 湖北 · 文 · 第 17 题 · 填空题

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13数列★★☆☆☆
《九章算术》“竹九节”问题：现有一根 99 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 44 节的容积共 3 升3\text{ 升}，下面 33 节的容积共 4 升4\text{ 升}，则第 55 节的容积为______升\text{升}.

2011 · 湖北 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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15数列★★★☆☆
给 nn 个自上而下相连的正方形着黑色或白色. 当 n⩽4n\leqslant4 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如图所示：
由此推断，当 n=6n=6 时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有______ 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有______ 种.（结果用数值表示） {}

2011 · 湖北 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足：a1=ma_1 = m（mm 为正整数），
an+1={an2,当 an 为偶数时,3an+1,当 an 为奇数时.a_{n+1} = \begin{cases} \frac{a_n}{2}, & \text{当 } a_n \text{ 为偶数时},\\ 3a_n + 1, & \text{当 } a_n \text{ 为奇数时}. \end{cases}
若 a6=1a_6 = 1，则 mm 所有可能的取值为______.

2009 · 湖北 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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14指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=2xf(x) = 2^x，等差数列 {an}\{a_n\} 的公差为 2. 若 f(a2+a4+a6+a8+a10)=4f(a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10}) = 4，则 log⁡2[f(a1)⋅f(a2)⋅f(a3)⋯f(a10)]=\log_2[f(a_1) \cdot f(a_2) \cdot f(a_3) \cdots f(a_{10})] =______.

2008 · 湖北 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15数列★★★☆☆
观察下列等式： ∑i=1ni=12n2+12n\sum_{i=1}^{n} i = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n， ∑i=1ni2=13n3+12n2+16n\sum_{i=1}^{n} i^{2} = \frac{1}{3} n^{3} + \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{6} n， ∑i=1ni3=14n4+12n3+14n2\sum_{i=1}^{n} i^{3} = \frac{1}{4} n^{4} + \frac{1}{2} n^{3} + \frac{1}{4} n^{2}， ∑i=1ni4=15n5+12n4+13n3−130n2\sum_{i=1}^{n} i^{4} = \frac{1}{5} n^{5} + \frac{1}{2} n^{4} + \frac{1}{3} n^{3} - \frac{1}{30} n^{2}， ∑i=1ni5=16n6+12n5+512n4−112n2\sum_{i=1}^{n} i^{5} = \frac{1}{6} n^{6} + \frac{1}{2} n^{5} + \frac{5}{12} n^{4} - \frac{1}{12} n^{2}， ∑i=1ni6=17n7+12n6+12n5−16n3+142n2\sum_{i=1}^{n} i^{6} = \frac{1}{7} n^{7} + \frac{1}{2} n^{6} + \frac{1}{2} n^{5} - \frac{1}{6} n^{3} + \frac{1}{42} n^{2}， ⋯∑i=1nik=ak+1nk+1+aknk+ak−1nk−1+ak−2nk−2+⋯+a1n+a0\cdots \sum_{i=1}^{n} i^{k} = a_{k+1} n^{k+1} + a_{k} n^{k} + a_{k-1} n^{k-1} + a_{k-2} n^{k-2} + \cdots + a_{1} n + a_{0}， 可以推测，当 k⩾2k \geqslant 2（k∈N∗k \in \mathbf{N}^{*}）时，ak+1=1k+1a_{k+1} = \frac{1}{k+1}，ak=12a_{k} = \frac{1}{2}，ak−1=a_{k-1} =______，ak−2=a_{k-2} =______.

2008 · 湖北 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★☆☆
将杨辉三角中的每一个数 Cnr\mathrm{C}_n^r 都换成分数 1(n+1)Cnr\frac{1}{(n + 1)\mathrm{C}_n^r}，得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.
\begin{array}{c} &&&&&&$\displaystyle\frac{1}{1}$&&&&&&\\ &&&&&$\displaystyle\frac{1}{2}$&&$\displaystyle\frac{1}{2}$&&&&&\\ &&&&$\displaystyle\frac{1}{3}$&&$\displaystyle\frac{1}{6}$&&$\displaystyle\frac{1}{3}$&&&&\\ &&&$\displaystyle\frac{1}{4}$&&$\displaystyle\frac{1}{12}$&&$\displaystyle\frac{1}{12}$&&$\displaystyle\frac{1}{4}$&&&\\ &&$\displaystyle\frac{1}{5}$&&$\displaystyle\frac{1}{20}$&&$\displaystyle\frac{1}{30}$&&$\displaystyle\frac{1}{20}$&&$\displaystyle\frac{1}{5}$&&\\ &$\displaystyle\frac{1}{6}$&&$\displaystyle\frac{1}{30}$&&$\displaystyle\frac{1}{60}$&&$\displaystyle\frac{1}{60}$&&$\displaystyle\frac{1}{30}$&&$\displaystyle\frac{1}{6}$&\\ $\displaystyle\frac{1}{7}$&&$\displaystyle\frac{1}{42}$&&$\displaystyle\frac{1}{105}$&&$\displaystyle\frac{1}{140}$&&$\displaystyle\frac{1}{105}$&&$\displaystyle\frac{1}{42}$&&$\displaystyle\frac{1}{7}$\\ \multicolumn{13}{c}{$\cdots\cdots$} \end{array}
从莱布尼茨三角形可看出 1(n+1)Cnr+1(n+1)Cnx=1nCn−1r\frac{1}{(n + 1)\mathrm{C}_n^{r}} + \frac{1}{(n + 1)\mathrm{C}_n^{x}} = \frac{1}{n\mathrm{C}_{n - 1}^{r}}，其中 x=x =______，令 an=13+112+⋯+1nCn−12+1(n+1)Cn2a_n = \frac{1}{3} + \frac{1}{12} + \cdots + \frac{1}{n\mathrm{C}_{n - 1}^{2}} + \frac{1}{(n + 1)\mathrm{C}_n^{2}}，则 lim⁡n→∞an=\lim\limits_{n\to \infty} a_n =______.

2006 · 湖北 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15数列★★☆☆☆
设等比数列 {an}\{a_{n}\} 的公比为 qq，前 nn 项和为 SnS_{n}，若 Sn+1S_{n+1}，SnS_{n}，Sn+2S_{n+2} 成等差数列，则 qq 的值为______.

2005 · 湖北 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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