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075分数列★★★☆☆
一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深邃的历史文化闻名遐迩. 该塔群共有 108108 座塔，依山势自上而下排成 1212 行，将第 ii 行中塔的座数记为 aia_i（i=1i=1，22，⋯\cdots，1212），其中 a1=1a_1=1，a2=a3=3a_2=a_3=3，a4=a5=5a_4=a_5=5，且 a6a_6，a7a_7，⋯\cdots，a12a_{12} 是一个首项为 77，公差为 22 的等差数列. 将 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，a12a_{12} 分为 66 组，每组 22 个数，使得每组的 22 个数之和可构成一个项数为 66 且公差为 dd（d>0d>0）的等差数列，则 d=d=（ ）
A.
22
B.
44
C.
66
D.
88

2026 · 全国 · 一卷 · 第 7 题 · 选择题

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085分数列★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且 f(x)>f(x−1)+f(x−2)f(x)>f(x-1)+f(x-2)， 当 x<3x<3 时 f(x)=xf(x)=x. 则下列结论中一定正确的是（ ）
A.
f(10)>100f(10)>100
B.
f(20)>1000f(20)>1000
C.
f(10)<1000f(10)<1000
D.
f(20)<10000f(20)<10000

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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075分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 设甲：{an}\{a_n\} 为等差数列，乙：{Snn}\left\{\frac{S_n}{n}\right\} 为等差数列，则（ ）
A.
甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.
甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.
甲是乙的充要条件
D.
甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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10数列★★☆☆☆
设 {an}\{a_n\} 是等比数列，且 a1+a2+a3=1a_1+a_2+a_3=1，a2+a3+a4=2a_2+a_3+a_4=2，则 a6+a7+a8=a_6+a_7+a_8=（ ）
A.
1212
B.
2424
C.
3030
D.
3232

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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09数列★★☆☆☆
设 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 已知 S4=0S_4=0，a5=5a_5=5，则（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
A.
an=2n−5a_n=2n-5
B.
an=3n−10a_n=3n-10
C.
Sn=2n2−8nS_n=2n^2-8n
D.
Sn=n2−2nS_n=n^2-2n

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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09数列★★☆☆☆
如图是求 12+12+12\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2}}} 的程序框图，图中空白框中应填入（ ）
A.
A=12+AA=\dfrac{1}{2+A}
B.
A=2+1AA=2+\dfrac{1}{A}
C.
A=11+2AA=\dfrac{1}{1+2A}
D.
A=1+12AA=1+\dfrac{1}{2A}

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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04数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 3S3=S2+S43S_3=S_2+S_4，a1=2a_1=2，则 a5=a_5=（ ）
A.
−12-12
B.
−10-10
C.
1010
D.
1212

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05数列★★★☆☆
设 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，an∈Ra_n\in\mathbf{R}，n⩾3n\geqslant3. 若 pp：a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，ana_n 成等比数列；qq：(a12+a22+⋯+an−12)(a22+a32+⋯+an2)=(a1a2+a2a3+⋯+an−1an)2(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{n-1}^2)(a_2^2+a_3^2+\cdots+a_n^2)=(a_1a_2+a_2a_3+\cdots+a_{n-1}a_n)^2，则（ ）
A.
pp 是 qq 的充分条件，但不是 qq 的必要条件
B.
pp 是 qq 的必要条件，但不是 qq 的充分条件
C.
pp 是 qq 的充分必要条件
D.
pp 既不是 qq 的充分条件，也不是 qq 的必要条件

2015 · 湖北 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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07数列★★★☆☆
定义在 (−∞,0)∪(0,+∞)(- \infty, 0) \cup (0, +\infty) 上的函数 f(x)f(x)，如果对于任意给定的等比数列 {an}\{a_n\}，{f(an)}\{f(a_n)\} 仍是等比数列，则称 f(x)f(x) 为“保等比数列函数”. 现有定义在 (−∞,0)∪(0,+∞)(- \infty, 0) \cup (0, +\infty) 上的如下函数：
① f(x)=x2f(x)=x^{2}； ② f(x)=2xf(x)=2^{x}； ③ f(x)=∣x∣f(x)=\sqrt{|x|}； ④ f(x)=ln⁡∣x∣f(x)=\ln|x|.
则其中是“保等比数列函数”的 f(x)f(x) 的序号为（ ）
A.
①②
B.
③④
C.
①③
D.
②④

2012 · 湖北 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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07数列★★★☆☆
定义在 (−∞,0)∪(0,+∞)(- \infty, 0) \cup (0, +\infty) 上的函数 f(x)f(x)，如果对于任意给定的等比数列 {an}\{a_{n}\}，{f(an)}\{f(a_{n})\} 仍是等比数列，则称 f(x)f(x) 为“保等比数列函数”. 现有定义在 (−∞,0)∪(0,+∞)(- \infty, 0) \cup (0, +\infty) 上的如下函数：
① f(x)=x2f(x)=x^{2}； ② f(x)=2xf(x)=2^{x}； ③ f(x)=∣x∣f(x)=\sqrt{|x|}； ④ f(x)=ln⁡∣x∣f(x)=\ln|x|.
则其中是“保等比数列函数”的 f(x)f(x) 的序号为（ ）
A.
①②
B.
③④
C.
①③
D.
②④

2012 · 湖北 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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09数列★★★☆☆
《九章算术》“竹九节”问题：现有一根 99 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 44 节的容积共 3 升3\text{ 升}，下面 33 节的容积共 4 升4\text{ 升}，则第 55 节的容积为（ ）
A.
1 升1\text{ 升}
B.
6766 升\frac{67}{66}\text{ 升}
C.
4744 升\frac{47}{44}\text{ 升}
D.
3733 升\frac{37}{33}\text{ 升}

2011 · 湖北 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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07数列★★★☆☆
如图，在半径为 rr 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设 SnS_{n} 为前 nn 个圆的面积之和，则 lim⁡n→∞Sn=\lim\limits_{n\to\infty}S_{n}=（ ）
A.
2πr22\pi r^{2}
B.
83πr2\frac{8}{3}\pi r^2
C.
4πr24\pi r^{2}
D.
6πr26\pi r^{2}

2010 · 湖北 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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07数列★★☆☆☆
已知等比数列 {an}\{a_{n}\} 中，各项都是正数，且 a1a_{1}，12a3\frac{1}{2}a_{3}，2a22a_{2} 成等差数列，则 a9+a10a7+a8=\frac{a_{9} + a_{10}}{a_{7} + a_{8}} =（ ）
A.
1+21 + \sqrt{2}
B.
1−21 - \sqrt{2}
C.
3+223 + 2\sqrt{2}
D.
3−223 - 2\sqrt{2}

2010 · 湖北 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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10数列★★☆☆☆
古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：
他们研究过图1中的 11，33，66，1010，⋯\cdots，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，图2中的 11，44，99，16⋯16\cdots 这样的数称为正方形数. 下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
[c]{} [c]{}
A.
289289
B.
10241024
C.
12251225
D.
13781378

2009 · 湖北 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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09数列★★☆☆☆
设 x∈Rx \in \mathbf{R}，记不超过 xx 的最大整数为 [x][x]，令 {x}=x−[x]\{x\} = x - [x]，则 {5+12}\left\{\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right\}，[5+12]\left[\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right]，5+12\frac{\sqrt{5}+1}{2}（ ）
A.
是等差数列但不是等比数列
B.
是等比数列但不是等差数列
C.
既是等差数列又是等比数列
D.
既不是等差数列也不是等比数列

2009 · 湖北 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10数列★★★☆☆
古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的11，33，66，1010，⋯\cdots，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的11，44，99，1616，⋯\cdots这样的数称为正方形数. 下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
 to 
 0.4
 to
A.
289289
B.
10241024
C.
12251225
D.
13781378

2009 · 湖北 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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05数列★★★☆☆
已知 pp 和 qq 是两个不相等的正整数，且 q⩾2q \geqslant 2，则 lim⁡n→∞(1+1n)p−1(1+1n)q−1\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^p - 1}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^q - 1} 等于（\quad）
A.
00
B.
11
C.
pq\frac{p}{q}
D.
p−1q−1\frac{p - 1}{q - 1}

2007 · 湖北 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06数列★★★☆☆
若数列 {an}\{a_{n}\} 满足 an+12an2=p\frac{a_{n+1}^2}{a_{n}^2} = p（pp 为正常数，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），则称 {an}\{a_n\} 为“等方比数列”. 甲：数列 {an}\{a_n\} 是等方比数列；乙：数列 {an}\{a_n\} 是等比数列，则（\quad）
A.
甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.
甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.
甲是乙的充要条件
D.
甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

2007 · 湖北 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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08数列★★★★☆
已知两个等差数列 {an}\{a_{n}\} 和 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项分别为 AnA_{n} 和 BnB_{n}，且 AnBn=7n+45n+3\frac{A_{n}}{B_{n}} = \frac{7n + 45}{n + 3}，则使得 anbn\frac{a_{n}}{b_{n}} 为整数的正整数 nn 的个数是（\quad）
A.
22
B.
33
C.
44
D.
55

2007 · 湖北 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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02数列★★☆☆☆
若互相不等的实数 aa，bb，cc 成等差数列，cc，aa，bb 成等比数列，且 a+3b+c=10a + 3b + c = 10，则 a=a =（ ）
A.
44
B.
22
C.
−2-2
D.
−4-4

2006 · 湖北 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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04数列★★☆☆☆
在等比数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1=1a_{1} = 1，a10=3a_{10} = 3，则 a2a3a4a5a6a7a8a9=a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}a_{7}a_{8}a_{9} =（ ）
A.
8181
B.
2727527\sqrt[5]{27}
C.
3\sqrt{3}
D.
243243

2006 · 湖北 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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08数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 Sn=a[2−(12)n−1]−b[2−(n+1)(12)n−1]S_{n} = a\left[2 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n - 1}\right] - b\left[2 - (n + 1)\left(\frac{1}{2}\right)^{n - 1}\right] （n=1n = 1，22，…\dots），其中 aa，bb 是非零常数. 则存在数列 {xn}\{x_{n}\}，{yn}\{y_{n}\} 使得（\quad）
A.
an=xn+yna_{n} = x_{n} + y_{n}，其中 {xn}\{x_{n}\} 为等差数列，{yn}\{y_{n}\} 为等比数列
B.
an=xn+yna_{n} = x_{n} + y_{n}，其中 {xn}\{x_{n}\} 和 {yn}\{y_{n}\} 都为等差数列
C.
an=xn⋅yna_{n} = x_{n}\cdot y_{n}，其中 {xn}\{x_{n}\} 为等差数列，{yn}\{y_{n}\} 为等比数列
D.
an=xn⋅yna_{n} = x_{n}\cdot y_{n}，其中 {xn}\{x_{n}\} 和 {yn}\{y_{n}\} 都为等比数列

2004 · 湖北 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和 Sn=a[2−(12)n−1]−b[2−(n+1)(12)n−1]S_n=a\left[2-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right]-b\left[2-\left(n+1\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right]（n=1n=1，22，⋯\cdots），其中 aa，bb 是非零常数. 则存在数列 {xn}\{x_n\}，{yn}\{y_n\} 使得（ ）
A.
an=xn+yna_n=x_n+y_n，其中 {xn}\{x_n\} 为等差数列，{yn}\{y_n\} 为等比数列
B.
an=xn+yna_n=x_n+y_n，其中 {xn}\{x_n\} 和 {yn}\{y_n\} 都为等差数列
C.
an=xn⋅yna_n=x_n\cdot y_n，其中 {xn}\{x_n\} 为等差数列，{yn}\{y_n\} 为等比数列
D.
an=xn⋅yna_n=x_n\cdot y_n，其中 {xn}\{x_n\} 和 {yn}\{y_n\} 都为等比数列

2004 · 湖北 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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