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145分数列★★★★☆
设实数 qq 满足：存在数列 {an}\{a_n\}，使得对于任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，均有 a1+a2+⋯+a3n=n2+na_1+a_2+\cdots+a_{3n}=n^2+n，且 {an}\{a_n\} 中有某连续 99 项 aka_k，ak+1a_{k+1}，⋯\cdots，ak+8a_{k+8} 是公比为 qq 的等比数列，则 qq 的最大值为______．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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135分数列★★☆☆☆
若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为______.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 13 题 · 填空题

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165分数列★★★★☆
某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 20 dm×12 dm20\text{ dm}\times 12\text{ dm} 的长方形纸，对折 11 次共可以得到 10 dm×12 dm10\text{ dm}\times 12\text{ dm}，20 dm×6 dm20\text{ dm}\times 6\text{ dm} 两种规格的图形，它们的面积之和 S1=240 dm2S_1=240\text{ dm}^2；对折 22 次共可以得到 5 dm×12 dm5\text{ dm}\times 12\text{ dm}，10 dm×6 dm10\text{ dm}\times 6\text{ dm}，20 dm×3 dm20\text{ dm}\times 3\text{ dm} 三种规格的图形，它们的面积之和 S2=180 dm2S_2=180\text{ dm}^2. 以此类推.
(1) 对折 44 次共可以得到不同规格图形的种数为______； (2) 如果对折 nn 次，那么 ∑k=1nSk=‾ dm2\sum_{k=1}^n S_k=\underline{\hspace{2em}}\text{ dm}^2.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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16数列★★★★☆
数列 {an}\{a_n\} 满足 an+2+(−1)nan=3n−1a_{n+2}+(-1)^n a_n=3n-1，前 1616 项和为 540540，则 a1=‾a_1=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 a1=13a_1=\dfrac13，a42=a6a_4^2=a_6，则 S5=‾S_5=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 1213\dfrac{121}{3} \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 a1=1a_1=1，S3=34S_3=\dfrac{3}{4}，则 S4=S_4=______.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 Sn=2an+1S_n=2a_n+1，则 S6=S_6=______.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
设 SnS_{n} 为等比数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和. 若 a1=1a_{1} = 1，且 3S13S_{1}，2S22S_{2}，S3S_{3} 成等差数列，则 an=‾a_{n} =\underline{\hspace{2em}}.

2015 · 湖南 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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13数列★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，如果输入 a=1a = 1，b=2b = 2，则输出的 aa 的值为______.

2013 · 湖南 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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15数列★★★★☆
设 SnS_{n} 为数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，Sn=(−1)nan−12nS_{n} = (-1)^{n}a_{n} - \frac{1}{2^{n}}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，则
(1) a3=‾a_{3} =\underline{\hspace{2em}}； (2) S1+S2+⋯+S100=‾S_{1} + S_{2} + \dots + S_{100} =\underline{\hspace{2em}}.

2013 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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12数列★☆☆☆☆
执行如图所示的程序框图，如果输入 a=1a = 1，b=2b = 2，则输出的 aa 的值为______.

2013 · 湖南 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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15数列★★★★☆
对于 E={a1,a2,⋯ ,a100}E = \{a_1, a_2, \cdots, a_{100}\} 的子集 X={ai1,ai2,⋯ ,aik}X = \{a_{i_1}, a_{i_2}, \cdots, a_{i_k}\}，定义 XX 的“特征数列”为 x1x_1，x2x_2，⋯\cdots，x100x_{100}，其中 xi1=xi2=⋯=xik=1x_{i_1} = x_{i_2} = \cdots = x_{i_k} = 1，其余项均为 00，例如：子集 {a2,a3}\{a_2, a_3\} 的“特征数列”为 00，11，11，00，00，⋯\cdots，00.
(1) 子集 {a1,a3,a5}\{a_{1}, a_{3}, a_{5}\} 的“特征数列”的前 3 项和等于______. (2) 若 EE 的子集 PP 的“特征数列” p1p_{1}，p2p_{2}，⋯\cdots，p100p_{100} 满足 p1=1p_{1}=1，pi+pi+1=1p_{i}+p_{i+1}=1，1⩽i⩽991\leqslant i\leqslant99；EE 的子集 QQ 的“特征数列” q1q_{1}，q2q_{2}，⋯\cdots，q100q_{100} 满足 q1=1q_{1}=1，qj+qj+1+qj+2=1q_{j}+q_{j+1}+q_{j+2}=1，1⩽j⩽981\leqslant j\leqslant98，则 P∩QP\cap Q 的元素个数为______.

2013 · 湖南 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16数列★★★☆☆
对于 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，将 nn 表示为 n=ak×2k+ak−1×2k−1+⋯+a1×21+a0×20n = a_k \times 2^k + a_{k-1} \times 2^{k-1} + \cdots + a_1 \times 2^1 + a_0 \times 2^0，当 i=ki = k 时，ai=1a_i = 1，当 0⩽i⩽k−10 \leqslant i \leqslant k - 1 时，aia_i 为 0 或 1. 定义 bnb_n 如下：在 nn 的上述表示中，当 a0a_0，a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，aka_k 中等于 1 的个数为奇数时，bn=1b_n = 1；否则 bn=0b_n = 0.
(1) b2+b4+b6+b8=‾b_{2}+b_{4}+b_{6}+b_{8}=\underline{\hspace{2em}}； (2) 记 cmc_{m} 为数列 {bn}\{b_{n}\} 中第 mm 个为 0 的项与第 m+1m + 1 个为 0 的项之间的项数，则 cmc_{m} 的最大值是______.

2012 · 湖南 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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12数列★☆☆☆☆
设 SnS_{n} 是等差数列 {an}\{a_{n}\}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）的前 nn 项和，且 a1=1a_{1} = 1，a4=7a_{4} = 7，则 S5=S_{5} =______.

2011 · 湖南 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★★☆
对于 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，将 nn 表示为 n=a0×2k+a1×2k−1+a2×2k−2+⋯+ak−1×21+ak×20n = a_0 \times 2^k + a_1 \times 2^{k-1} + a_2 \times 2^{k-2} + \cdots + a_{k-1} \times 2^1 + a_k \times 2^0. 当 i=0i = 0 时，ai=1a_i = 1，当 1⩽i⩽k1 \leqslant i \leqslant k 时，aia_i 为 0 或 1. 记 I(n)I(n) 为上述表示中 aia_i 为 0 的个数 （例如： 1=1×201 = 1 \times 2^0，4=1×22+0×21+0×204 = 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 0 \times 2^0，则 I(1)=0I(1) = 0，I(4)=2I(4) = 2），则
(1) I(12)=I(12) =______； (2) ∑n=11272I(n)=\displaystyle\sum_{n=1}^{127} 2^{I(n)}=______.

2011 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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10数列★★★★☆
已知某试验范围为 [10,90][10,90]，若用分数法进行 44 次优选试验，则第二次试点可以是______.

2011 · 湖南 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11数列★★☆☆☆
若执行如图所示的框图，输入 x1=1x_{1} = 1，x2=2x_{2} = 2，x3=4x_{3} = 4，x4=8x_{4} = 8，则输出的数等于______.

2011 · 湖南 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12数列★☆☆☆☆
如图是求 12+22+32+⋯+10021^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \cdots + 100^{2} 的值的程序框图，则正整数 n=n =______.

2010 · 湖南 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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15数列★★★★☆
若数列 {an}\{a_n\} 满足：对任意的 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，只有有限个正整数 mm 使得 am<na_m < n 成立. 记这样的 mm 的个数为 (an)∗(a_n)^*，则得到一个新数列 {(an)∗}\{(a_n)^*\}. 例如，若数列 {an}\{a_n\} 是 11，22，33，⋯\cdots，nn，⋯\cdots，则数列 {(an)∗}\{(a_n)^*\} 是 00，11，22，⋯\cdots，n−1n - 1，⋯\cdots. 已知对任意的 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，an=n2a_n = n^2，则 (a5)∗=‾(a_5)^* =\underline{\hspace{2em}}，((an)∗)∗=‾((a_n)^*)^* =\underline{\hspace{2em}}.

2010 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15数列★★★★☆
将正 △ABC\triangle ABC 分割成 n2n^2（n⩾2n \geqslant 2，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）个全等的小正三角形（图1，图2分别给出了 n=2n = 2，33 的情形）. 在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于 △ABC\triangle ABC 的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于33时）都分别依次成等差数列. 若顶点 AA，BB，CC 处的三个数互不相同且和为 11，记所有顶点上的数的和为 f(n)f(n)，则有 f(2)=2f(2) = 2，f(3)=‾f(3) =\underline{\hspace{2em}}，⋯\cdots，f(n)=‾f(n) =\underline{\hspace{2em}}.

2009 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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11数列★☆☆☆☆
若数列 {an}\{a_n\} 满足：a1=1a_1=1，an+1=2ana_{n+1}=2a_n，n=1n=1，22，33，⋯\cdots，则 a1+a2+⋯+an=a_1+a_2+\cdots+a_n=______.

2006 · 湖南 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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11概率与统计★★☆☆☆
一工厂生产了某种产品 1680016800 件，它们来自甲、乙、丙 33 条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了______件产品.
\begin{answer} 56005600 \end{answer}
\begin{solution} 分层抽样按各生产线产品总数的比例抽取，所以三条生产线的产品总数与抽取的个体数成相同比例. 因而三条生产线的产品总数也组成等差数列. 设三条生产线的产品总数为 N1N_1，N2N_2，N3N_3，则 N2N_2 是三项等差数列的中项，满足
N1+N2+N3=3N2N_1+N_2+N_3=3N_2
又 N1+N2+N3=16800N_1+N_2+N_3=16800，所以 N2=5600N_2=5600. \end{solution}

2005 · 湖南 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12概率与统计★★☆☆☆
一工厂生产了某种产品 1680016800 件，它们来自甲、乙、丙 33 条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样. 已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了______件产品.

2005 · 湖南 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
设 FF 是椭圆 x27+y26=1\frac{x^2}{7}+\frac{y^2}{6}=1 的右焦点，且椭圆上至少有 2121 个不同的点 PiP_i（i=1i=1，22，33，…\dots），使 ∣FP1∣\left|FP_1\right|，∣FP2∣\left|FP_2\right|，∣FP3∣\left|FP_3\right|，…\ldots 组成公差为 dd 的等差数列，则 dd 的取值范围为______.

2004 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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