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共找到 34 题
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1615分数列★★★★☆
设数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=3a_1 = 3，an+1n=ann+1+1n(n+1)\frac{a_{n+1}}{n} = \frac{a_n}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}.
(1) 证明：{nan}\{na_n\} 为等差数列； (2) 给定正整数 mm，设函数 f(x)=a1x+a2x2+⋯+amxmf(x) = a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_mx^m，求 f′(−2)f'(-2).

2025 · 全国 · 一卷 · 第 16 题 · 解答题

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1917分数列★★★★★
设 mm 为正整数，数列 a1a_1，a2a_2，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 为公差不为 00 的等差数列，若删去两项 aia_i，aja_j（i<ji<j） 后剩余 4m4m 项可平均分为 mm 组且每组 4 个数都成等差，则称该数列为 (i,j)(i,j)-可分数列.
(1) 写出所有 (i,j)(i,j)，1≤i<j≤61\le i<j\le6，使 a1a_1，…\dots，a6a_6 是 (i,j)(i,j)-可分数列； (2) 当 m≥3m\ge3 时，证明 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (2,13)(2,13)-可分数列； (3) 从 11，22，…\dots，4m+24m+2 中不放回任取 i<ji<j，设 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (i,j)(i,j)-可分数列的概率为 PmP_m，证明 Pm>18P_m>\frac18.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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2015分数列★★★★☆
设等差数列 {an}\{a_n\} 的公差为 dd，且 d>1d>1. 令 bn=n2+nanb_n=\frac{n^2+n}{a_n}，记 SnS_n，TnT_n 分别为数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的前 nn 项和.
(1) 若 3a2=3a1+a33a_2=3a_1+a_3，S3+T3=21S_3+T_3=21，求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若 {bn}\{b_n\} 为等差数列，且 S99−T99=99S_{99}-T_{99}=99，求 dd.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

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1715分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 a1=1a_1=1，数列 {Snan}\left\{\frac{S_n}{a_n}\right\} 是公差为 13\frac13 的等差数列.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 证明：1a1+1a2+⋯+1an<2\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots+\frac1{a_n}<2.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1715分数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1=1，且
an+1={an+1,n为奇数,an+2,n为偶数.a_{n+1}=\begin{cases} a_n+1, & n\text{为奇数},\\ a_n+2, & n\text{为偶数}. \end{cases}
(1) 记 bn=a2nb_n=a_{2n}，写出 b1b_1，b2b_2，并求数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 求 {an}\{a_n\} 的前 2020 项和.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是公比不为 11 的等比数列，a1a_1 为 a2a_2，a3a_3 的等差中项.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的公比； (2) 若 a1=1a_1=1，求数列 {nan}\{na_n\} 的前 nn 项和.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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21概率与统计★★★★★
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验. 试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药. 一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 44 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 11 分，乙药得 −1-1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 11 分，甲药得 −1-1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 00 分. 甲、乙两种药的治愈率分别记为 α\alpha 和 β\beta，一轮试验中甲药的得分记为 XX.
(1) 求 XX 的分布列； (2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予 44 分，pip_i（i=0i=0，11，⋯\cdots，88）表示“甲药的累计得分为 ii 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p0=0p_0=0，p8=1p_8=1，pi=api−1+bpi+cpi+1p_i=ap_{i-1}+bp_i+cp_{i+1}（i=1i=1，22，⋯\cdots，77），其中 a=P(X=−1)a=P(X=-1)，b=P(X=0)b=P(X=0)，c=P(X=1)c=P(X=1). 假设 α=0.5\alpha=0.5，β=0.8\beta=0.8.
(i) 证明：{pi+1−pi}\{p_{i+1}-p_i\}（i=0i=0，11，22，⋯\cdots，77）为等比数列； (ii) 求 p4p_4，并根据 p4p_4 的值解释这种试验方案的合理性.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 已知 S9=−a5S_9=-a_5.
(1) 若 a3=4a_3=4，求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若 a1>0a_1>0，求使得 Sn≥anS_n\ge a_n 的 nn 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1=1，nan+1=2(n+1)anna_{n+1}=2(n+1)a_n，设 bn=annb_n=\dfrac{a_n}{n}.
(1) 求 b1b_1，b2b_2，b3b_3； (2) 判断数列 {bn}\{b_n\} 是否为等比数列，并说明理由； (3) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知 a>0a > 0，函数 f(x)=eaxsin⁡xf(x) = \mathrm{e}^{ax}\sin x （x∈[0,+∞)x \in [0, +\infty)），记 xnx_n 为 f(x)f(x) 的从小到大的第 nn （n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）个极值点. 证明：
(1) 数列 {f(xn)}\left\{f(x_{n})\right\} 是等比数列； (2) 若 a⩾1e2−1a \geqslant \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}^{2} - 1}}，则对一切 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，xn<∣f(xn)∣x_n < |f(x_n)| 恒成立.

2015 · 湖南 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}. 已知 a1=1a_1 = 1，a2=2a_2 = 2，且 an+2=3Sn−Sn+1+3a_{n+2} = 3S_{n} - S_{n+1} + 3，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 证明： an+2=3ana_{n+2} = 3a_n； (2) 求 SnS_{n}.

2015 · 湖南 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=1a_1 = 1，∣an+1−an∣=pn|a_{n + 1} - a_n| = p^n，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 若 {an}\{a_n\} 是递增数列，且 a1a_1，2a22a_2，3a33a_3 成等差数列，求 pp 的值； (2) 若 p=12p = \frac{1}{2}，且 {a2n−1}\{a_{2n-1}\} 是递增数列，{a2n}\{a_{2n}\} 是递减数列，求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式.
\begin{solution} 因为 pn=∣an+1−an∣⩾0p^n=|a_{n+1}-a_n|\geqslant0 对任意正整数 nn 成立，且第一问中的数列递增，所以 p>0p>0. 于是 a2=1+pa_2=1+p，a3=1+p+p2a_3=1+p+p^2. 三个数 a1a_1，2a22a_2，3a33a_3 成等差数列，故
4a2=a1+3a34a_2=a_1+3a_3
代入上式得 4(1+p)=1+3(1+p+p2)4(1+p)=1+3(1+p+p^2)，即 p(1−3p)=0p(1-3p)=0. 由 p>0p>0，得 p=13p=\frac13.
第二问中令 dn=an+1−and_n=a_{n+1}-a_n，则 ∣dn∣=2−n|d_n|=2^{-n}. 由奇数项组成的数列递增，
d2n−1+d2n=a2n+1−a2n−1>0d_{2n-1}+d_{2n}=a_{2n+1}-a_{2n-1}>0
由于 ∣d2n−1∣=2∣d2n∣|d_{2n-1}|=2|d_{2n}|，只能有 d2n−1=2−(2n−1)d_{2n-1}=2^{-(2n-1)}. 由偶数项组成的数列递减，
d2n+d2n+1=a2n+2−a2n<0d_{2n}+d_{2n+1}=a_{2n+2}-a_{2n}<0
由于 ∣d2n∣=2∣d2n+1∣|d_{2n}|=2|d_{2n+1}|，只能有 d2n=−2−2nd_{2n}=-2^{-2n}. 因而对所有 n⩾1n\geqslant1，
dn=(−1)n+12nd_n=\frac{(-1)^{n+1}}{2^n}
于是
an=1+∑k=1n−1(−1)k+12k=1+13(1−(−12)n−1)=43−(−1)n−13⋅2n−1a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^{k+1}}{2^k} =1+\frac{1}{3}\left(1-\left(-\frac12\right)^{n-1}\right) =\frac43-\frac{(-1)^{n-1}}{3\cdot2^{n-1}}
\end{solution}

2014 · 湖南 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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16数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 Sn=n2+n2S_{n} = \frac{n^{2} + n}{2}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 bn=2an+(−1)nanb_{n} = 2^{a_{n}} + (-1)^{n}a_{n}，求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 2n2n 项和.

2014 · 湖南 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=xcos⁡x−sin⁡x+1f(x) = x \cos x - \sin x + 1（x>0x > 0）.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 记 xix_{i} 为 f(x)f(x) 的从小到大的第 ii（i∈N∗i \in \mathbf{N}^{*}）个零点，证明：对一切 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，有 1x12+1x22+⋯+1xn2<23\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} + \cdots + \frac{1}{x_n^2} < \frac{2}{3}.

2014 · 湖南 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
设 SnS_{n} 为数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和. 已知 a1≠0a_1 \neq 0，2an−a1=S1⋅Sn2a_{n} - a_1 = S_1 \cdot S_n，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 求 a1a_{1}，a2a_{2}，并求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 求数列 {nan}\{na_{n}\} 的前 nn 项和.

2013 · 湖南 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的各项均为正数，记 A(n)=a1+a2+⋯+anA(n)=a_1+a_2+\cdots+a_n，B(n)=a2+a3+⋯+an+1B(n)=a_2+a_3+\cdots+a_{n+1}，C(n)=a3+a4+⋯+an+2C(n)=a_3+a_4+\cdots+a_{n+2}，n=1n=1，22，⋯\cdots.
(1) 若 a1=1a_1=1，a2=5a_2=5，且对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，三个数 A(n)A(n)，B(n)B(n)，C(n)C(n) 组成等差数列，求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 证明：数列 {an}\{a_n\} 是公比为 qq 的等比数列的充分必要条件是：对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，三个数 A(n)A(n)，B(n)B(n)，C(n)C(n) 组成公比为 qq 的等比数列.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 对任意 nn，由 A(n)A(n)，B(n)B(n)，C(n)C(n) 成等差数列，有
A(n)+C(n)=2B(n)A(n)+C(n)=2B(n)
代入三组和式并消去公共项，得到
a1−an+1=a2−an+2a_1-a_{n+1}=a_2-a_{n+2}
即
an+2−an+1=a2−a1=4a_{n+2}-a_{n+1}=a_2-a_1=4
所以数列从第一项开始公差为 44，结合 a1=1a_1=1，得
an=a1+(n−1)⋅4=4n−3a_n=a_1+(n-1)\cdot4=4n-3
\item 先证必要性. 若 {an}\{a_n\} 是公比为 qq 的等比数列，则 B(n)=qA(n)B(n)=qA(n)，C(n)=qB(n)=q2A(n)C(n)=qB(n)=q^2A(n). 故 A(n)A(n)，B(n)B(n)，C(n)C(n) 成公比为 qq 的等比数列.
再证充分性. 已知对任意 nn， B(n)=qA(n)B(n)=qA(n)，C(n)=qB(n)C(n)=qB(n). 取相邻两式相减. 由 B(n)−B(n−1)=an+1B(n)-B(n-1)=a_{n+1}，以及
A(n)−A(n−1)=anA(n)-A(n-1)=a_n
对 n⩾2n\geqslant2 有
an+1=B(n)−B(n−1)=q(A(n)−A(n−1))=qana_{n+1}=B(n)-B(n-1) =q\bigl(A(n)-A(n-1)\bigr) =qa_n
当 n=1n=1 时，B(1)=qA(1)B(1)=qA(1) 给出 a2=qa1a_2=qa_1. 因而对所有 n⩾1n\geqslant1 都有 an+1=qana_{n+1}=qa_n，所以 {an}\{a_n\} 是公比为 qq 的等比数列. 必要性与充分性均成立. \end{enumerate} \end{solution}

2012 · 湖南 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产. 该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了 50%50\%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同. 公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金 dd 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产. 设第 nn 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 ana_{n} 万元.
(1) 用 dd 表示 a1a_{1}，a2a_{2}，并写出 {an+1}\{a_{n+1}\} 与 ana_{n} 的关系式； (2) 若公司希望经过 mm 年（m⩾3m \geqslant 3）使企业的剩余资金为 40004000 万元，试确定企业每年上缴资金 dd 的值（用 mm 表示）.

2012 · 湖南 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)=x3f(x) = x^3，g(x)=x+xg(x) = x + \sqrt{x}.
(1) 求函数 h(x)=f(x)−g(x)h(x) = f(x) - g(x) 的零点个数，并说明理由； (2) 设数列 {an}\{a_{n}\}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）满足 a1=aa_{1} = a（a>0a > 0），f(an+1)=g(an)f(a_{n+1}) = g(a_{n})，证明：存在常数 MM，使得对于任意的 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，都有 an⩽Ma_{n} \leqslant M.

2011 · 湖南 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距 8 km8 \mathrm{~km} 的 AA，BB 两点各建一个考察基地. 视冰川面为平面形，以过 AA，BB 两点的直线为 xx 轴，线段 ABAB 的垂直平分线为 yy 轴建立平面直角坐标系（如图）. 在直线 x=2x = 2 的右侧，考察范围为到点 BB 的距离不超过 655 km\frac{6\sqrt{5}}{5} \mathrm{~km} 的区域. 在直线 x=2x = 2 的左侧，考察范围为到 AA，BB 两点的距离之和不超过 45 km4\sqrt{5} \mathrm{~km} 的区域.
(1) 求考察区域边界曲线的方程； (2) 如图所示，设线段 P1P2P_{1}P_{2}，P2P3P_{2}P_{3} 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 0.2 km0.2 \mathrm{~km}，以后每年移动的距离为前一年的 2 倍. 求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 在直线 x=2x=2 的右侧，考察区域是以 B(4,0)B\left(4,0\right) 为圆心、半径为 655\frac{6\sqrt{5}}{5} 的圆的内部，因此其边界曲线为 C1:(x−4)2+y2=365C_{1}:\left(x-4\right)^2+y^2=\frac{36}{5}，x⩾2x\geqslant2. 在直线 x=2x=2 的左侧，考察区域边界是以 A(−4,0)A\left(-4,0\right)，B(4,0)B\left(4,0\right) 为焦点的椭圆. 设其长半轴为 α\alpha，半焦距为 c0c_{0}，则 2α=452\alpha=4\sqrt{5}，c0=4c_{0}=4，从而 α=25\alpha=2\sqrt{5}，短半轴平方为 α2−c02=4\alpha^2-c_{0}^2=4. 所以另一段边界曲线为 C2:x220+y24=1C_{2}:\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{4}=1，x<2x<2. \item 直线段 P1P2P_{1}P_{2} 的斜率为
6−(−1)−833+53=3\frac{6-(-1)}{-\frac{8\sqrt{3}}{3}+5\sqrt{3}}=\sqrt{3}
故其所在直线方程为 3x−y+14=0\sqrt{3}x-y+14=0. 对椭圆内部的点，有
3x−y=2(15x25−y2)⩾−215+1=−8\sqrt{3}x-y=2\left(\sqrt{15}\frac{x}{2\sqrt{5}}-\frac{y}{2}\right)\geqslant-2\sqrt{15+1}=-8
等号在 (−532,12)\left(-\frac{5\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right) 处取得，且该点满足 x<2x<2，属于考察区域边界. 所以从直线 P1P2P_{1}P_{2} 沿法向朝考察区域移动，首次接触考察区域所需的距离为
14−832+(−1)2=3 km\frac{14-8}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}=3\text{ km}
该椭圆边界点到原直线的垂足为 (−43,2)(-4\sqrt{3},2)，其纵坐标在 [−1,6][-1,6] 内，故垂足确在线段 P1P2P_{1}P_{2} 上，以上距离确实是该线段的最小移动距离. 直线段 P2P3P_{2}P_{3} 所在直线为 y=6y=6. 考察区域的最高点纵坐标为圆 C1C_{1} 的最高点纵坐标 655\frac{6\sqrt{5}}{5}，所以该线段向下移动至考察区域至少需要
6−655>3 km6-\frac{6\sqrt{5}}{5}>3\text{ km}
圆的最高点横坐标为 44，位于线段 P2P3P_{2}P_{3} 的横坐标范围内，所以这个距离也确实可以在该线段上取得. 因此冰川边界线首次移动到考察区域时，所需移动距离为 3 km3\text{ km}.
设经过 nn 年移动的总距离为 sns_n，则
sn=0.2(1+2+22+⋯+2n−1)=0.2(2n−1)s_n=0.2\left(1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}\right)=0.2\left(2^n-1\right)
有 s3=1.4<3s_3=1.4<3，s4=3s_4=3，故冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间为 44 年. \end{enumerate} \end{solution}

2010 · 湖南 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
数列 {an}\{a_{n}\} （n∈N∗n\in\mathbf{N}^{*}） 中， a1=aa_1 = a，an+1a_{n + 1} 是函数 fn(x)=13x3−12(3an+n2)x2+3n2anxf_{n}(x) = \frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}(3a_n + n^2)x^2 + 3n^2a_nx 的极小值点.
(1) 当 a=0a = 0 时，求通项 ana_{n}； (2) 是否存在 aa 使数列 {an}\{a_{n}\} 是等比数列？若存在，求 aa 的取值范围；若不存在，请说明理由.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由
fn′(x)=x2−(3an+n2)x+3n2an=(x−3an)(x−n2)f_n'(x)=x^2-(3a_n+n^2)x+3n^2a_n=(x-3a_n)(x-n^2)
可知，当 3an<n23a_n<n^2 时，x=n2x=n^2 是极小值点；当 3an>n23a_n>n^2 时，x=3anx=3a_n 是极小值点. 当 3an=n23a_n=n^2 时，导函数只有二重根，函数没有极小值点. 因此在数列有定义时，
an+1=max⁡{3an,n2}a_{n+1}=\max\left\{3a_n,n^2\right\}
当 a=0a=0 时，依次有 a1=0a_1=0，a2=1a_2=1，a3=4a_3=4，a4=12a_4=12. 对 n⩾3n\geqslant3，有 4⋅3n−2>n24\cdot3^{n-2}>n^2. 事实上，n=3n=3 时不等式成立；若 n⩾3n\geqslant3，则左边每次乘以 33，而右边的增长倍数为 (n+1)2n2⩽169<3\frac{(n+1)^2}{n^2}\leqslant\frac{16}{9}<3，所以不等式对所有 n⩾3n\geqslant3 成立. 于是 an+1=3ana_{n+1}=3a_n，从而 an=4⋅3n−3a_n=4\cdot3^{n-3}，n⩾3n\geqslant3. \item 若 {an}\{a_n\} 是等比数列，则由递推式知 a2>0a_2>0，a3>0a_3>0. 若 a<0a<0，则 a2a1<0\frac{a_2}{a_1}<0，而 a3a2>0\frac{a_3}{a_2}>0，不可能等比；若 a=0a=0，则第一问中的数列也不等比. 因此 a>0a>0.
当 0<a<130<a<\frac{1}{3} 时，a2=1a_2=1，a3=4a_3=4. 若数列等比，则公比既为 a2a1=1a\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}{a}，又为 a3a2=4\frac{a_3}{a_2}=4，所以 a=14a=\frac{1}{4}. 但此时 a4=max⁡{12,9}=12a_4=\max\{12,9\}=12，而等比数列应有 a4=16a_4=16，矛盾. 当 a=13a=\frac{1}{3} 时，3a1=123a_1=1^2，f1′(x)=(x−1)2f_1'(x)=(x-1)^2，函数没有极小值点，数列不能按题意定义.
当 a>13a>\frac{1}{3} 时，a2=3aa_2=3a. 若数列等比，则公比为 33，从而必须有 a3=9aa_3=9a. 当 a<49a<\frac{4}{9} 时，a3=max⁡{9a,4}=4≠9aa_3=\max\{9a,4\}=4\neq9a，矛盾；当 a=49a=\frac{4}{9} 时，3a2=4=223a_2=4=2^2，此时 f2′(x)=(x−4)2f_2'(x)=(x-4)^2，没有极小值点，数列不能按题意定义. 所以必要条件为 a>49a>\frac{4}{9}.
反之，若 a>49a>\frac{4}{9}，则 a2=3aa_2=3a，且 3a>13a>1. 又 9a>49a>4. 因而 31a>123^1a>1^2，32a>223^2a>2^2. 对 n⩾2n\geqslant2，若 3na>n23^na>n^2，则由 3n2−(n+1)2=2n2−2n−1>03n^2-(n+1)^2=2n^2-2n-1>0，得 3n2>(n+1)23n^2>(n+1)^2. 又因 3n+1a>3n23^{n+1}a>3n^2，所以 3n+1a>(n+1)23^{n+1}a>(n+1)^2. 由数学归纳法，3na>n23^na>n^2 对所有 n⩾1n\geqslant1 成立，递推式始终取 an+1=3ana_{n+1}=3a_n. 所以 an=3n−1aa_n=3^{n-1}a 是等比数列.
综上，存在这样的 aa，其取值范围为
a∈(49,+∞)a\in\left(\frac{4}{9},+\infty\right)
\end{enumerate} \end{solution}

2010 · 湖南 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距 8 km8 \mathrm{~km} 的 AA，BB 两点各建一个考察基地. 视冰川面为平面形，以过 AA，BB 两点的直线为 xx 轴，线段 ABAB 的垂直平分线为 yy 轴建立平面直角坐标系（下图）. 考察范围到 AA，BB 两点的距离之和不超过 10 km10 \mathrm{~km} 的区域.
(1) 求考察区域边界曲线的方程； (2) 如图所示，设线段 P1P2P_{1}P_{2} 是冰川的部分边界线 （不考虑其他边界）. 当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 0.2 km0.2 \mathrm{~km}. 以后每年移动的距离为前一年的 2 倍. 问：经过多长时间，点 AA 恰好在冰川边界线上？

2010 · 湖南 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
给出下面的数表序列：
表 1表 2表 3⋯\cdots
11131\quad 311，33，55
44484\quad 8
1212
其中表 nn（n=1n = 1，22，33，…\dots）有 nn 行，第1行的 nn 个数是 11，33，55，…\dots，2n−12n - 1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.
(1) 写出表 4，验证表 4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表 nn（n⩾3n \geqslant 3） （不要求证明）； (2) 每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列 1， 4， 12，…，记此数列为 {bn}\{b_n\}，求和： b3b1b2+b4b2b3+⋯+bn+2bnbn+1\frac{b_3}{b_1b_2} + \frac{b_4}{b_2b_3} + \cdots + \frac{b_{n+2}}{b_nb_{n+1}}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）.

2010 · 湖南 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
对于数列 {un}\{u_n\}，若存在常数 M>0M > 0，对任意的 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，恒有 ∣un+1−un∣+∣un−un−1∣+⋯+∣u2−u1∣⩽M|u_{n+1} - u_n| + |u_n - u_{n-1}| + \cdots + |u_2 - u_1| \leqslant M，则称数列 {un}\{u_n\} 为 BB-数列.
(1) 首项为 11，公比为 qq（∣q∣<1|q| < 1）的等比数列是否为 BB-数列？请说明理由； (2) 设 SnS_{n} 是数列 {xn}\{x_{n}\} 的前 nn 项和. 给出下列两组论断：
① A 组：数列 {xn}\{x_{n}\} 是 BB-数列； ② A 组：数列 {xn}\{x_{n}\} 不是 BB-数列； ③ B 组：数列 {Sn}\{S_{n}\} 是 BB-数列； ④ B 组：数列 {Sn}\{S_{n}\} 不是 BB-数列.
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假，并证明你的结论； (3) 若数列 {an}\{a_{n}\}，{bn}\{b_{n}\} 都是 BB-数列，证明：数列 {anbn}\{a_{n}b_{n}\} 也是 BB-数列.

2009 · 湖南 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21数列★★★★★
对于数列 {un}\{u_n\}，若存在常数 M>0M > 0，对任意的 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，恒有 ∣un+1−un∣+∣un−un−1∣+⋯+∣u2−u1∣⩽M|u_{n+1} - u_n| + |u_n - u_{n-1}| + \cdots + |u_2 - u_1| \leqslant M，则称数列 {un}\{u_n\} 为 BB-数列.
(1) 首项为 1，公比为 −12-\frac{1}{2} 的等比数列是否为 BB-数列？请说明理由； (2) 设 SnS_{n} 是数列 {xn}\{x_{n}\} 的前 nn 项和. 给出下列两组论断： A 组：
① 数列 {xn}\{x_n\} 是 BB-数列； ② 数列 {xn}\{x_n\} 不是 BB-数列；
B 组： {
① 数列 {Sn}\{S_n\} 是 BB-数列； ② 数列 {Sn}\{S_n\} 不是 BB-数列.
} 请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假，并证明你的结论； (3) 若数列 {an}\{a_n\} 是 BB-数列，证明：数列 {an2}\{a_{n}^{2}\} 也是 BB-数列.

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18数列★★★★☆
数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=1a_{1}=1，a2=2a_{2}=2，an+2=(1+cos⁡2nπ2)an+sin⁡2nπ2a_{n+2}=\left(1+\cos^{2}\frac{n\pi}{2}\right)a_{n}+\sin^{2}\frac{n\pi}{2}，n=1n=1，22，33，⋯\cdots.
(1) 求 a3a_{3}，a4a_{4} 并求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 bn=a2n−1a2nb_{n} = \frac{a_{2n - 1}}{a_{2n}}，Sn=b1+b2+⋯+bnS_{n} = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}. 证明：当 n⩾6n \geqslant 6 时，∣Sn−2∣<1n|S_{n} - 2| < \frac{1}{n}.

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