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145分数列★★★★☆
设实数 qq 满足：存在数列 {an}\{a_n\}，使得对于任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，均有 a1+a2+⋯+a3n=n2+na_1+a_2+\cdots+a_{3n}=n^2+n，且 {an}\{a_n\} 中有某连续 99 项 aka_k，ak+1a_{k+1}，⋯\cdots，ak+8a_{k+8} 是公比为 qq 的等比数列，则 qq 的最大值为______．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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135分数列★★☆☆☆
若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为______.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 13 题 · 填空题

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165分数列★★★★☆
某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 20 dm×12 dm20\text{ dm}\times 12\text{ dm} 的长方形纸，对折 11 次共可以得到 10 dm×12 dm10\text{ dm}\times 12\text{ dm}，20 dm×6 dm20\text{ dm}\times 6\text{ dm} 两种规格的图形，它们的面积之和 S1=240 dm2S_1=240\text{ dm}^2；对折 22 次共可以得到 5 dm×12 dm5\text{ dm}\times 12\text{ dm}，10 dm×6 dm10\text{ dm}\times 6\text{ dm}，20 dm×3 dm20\text{ dm}\times 3\text{ dm} 三种规格的图形，它们的面积之和 S2=180 dm2S_2=180\text{ dm}^2. 以此类推.
(1) 对折 44 次共可以得到不同规格图形的种数为______； (2) 如果对折 nn 次，那么 ∑k=1nSk=‾ dm2\sum_{k=1}^n S_k=\underline{\hspace{2em}}\text{ dm}^2.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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16数列★★★★☆
数列 {an}\{a_n\} 满足 an+2+(−1)nan=3n−1a_{n+2}+(-1)^n a_n=3n-1，前 1616 项和为 540540，则 a1=‾a_1=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 a1=13a_1=\dfrac13，a42=a6a_4^2=a_6，则 S5=‾S_5=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 1213\dfrac{121}{3} \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 a1=1a_1=1，S3=34S_3=\dfrac{3}{4}，则 S4=S_4=______.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 Sn=2an+1S_n=2a_n+1，则 S6=S_6=______.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★★☆
若 aa，bb 是函数 f(x)=x2−px+qf(x) = x^2 - px + q （p>0p > 0，q>0q > 0）的两个不同的零点，且 aa，bb，−2-2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p+qp + q 的值等于______.

2015 · 福建 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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12数列★☆☆☆☆
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 ss 值等于______.

2012 · 福建 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13三角函数★★☆☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 的三边长成公比为 2\sqrt{2} 的等比数列，则其最大角的余弦值为______.

2012 · 福建 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式 an=ncos⁡nπ2+1a_{n} = n\cos\frac{n\pi}{2} + 1，前 nn 项和为 SnS_{n}，则 S2012=S_{2012} =______.

2012 · 福建 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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11数列★☆☆☆☆
运行如图所示的程序，输出的结果是______.

2011 · 福建 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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16数列★★☆☆☆
商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价 aa，最高销售限价 bb（b>ab > a）以及实数 xx（0<x<10 < x < 1）确定实际销售价格 c=a+x(b−a)c = a + x (b - a). 这里，xx 被称为乐观系数. 经验表明，最佳乐观系数 xx 恰好使得 (c−a)(c - a) 是 (b−c)(b - c) 和 (b−a)(b - a) 的等比中项. 据此可得，最佳乐观系数 xx 的值等于______.

2011 · 福建 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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11数列★☆☆☆☆
在等比数列 {an}\{a_{n}\} 中，若公比 q=4q = 4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式为 an=‾a_{n} =\underline{\hspace{2em}}.

2010 · 福建 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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15数列★★★★☆
五位同学围成一圈依序循环报数，规定：
① 第一位同学首次报出的数为 11，第二位同学首次报出的数也为 11，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和； ② 若报出的数为 33 的倍数，则报该数的同学需拍手一次.
已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100100个数时，甲同学拍手的总次数为______.
\begin{solution} 记第nn个报出的数为FnF_n，则F1=F2=1F_1=F_2=1，且Fn=Fn−1+Fn−2F_n=F_{n-1}+F_{n-2}.模33计算得到 F1F_1，F2F_2，…\ldots，F8≡1F_8\equiv1，11，22，00，22，22，11，0(mod3)0\pmod{3} 又 F9≡F1F_9\equiv F_1，F10≡F2(mod3)F_{10}\equiv F_2\pmod{3}，递推关系相同，所以之后以88为周期.因此FnF_n是33的倍数当且仅当n≡0n\equiv0或4(mod8)4\pmod{8}.
甲同学第一次报第11个数，五人循环，所以甲报数的序号为n=1+5kn=1+5k.报到第100100个数时0⩽k⩽190\leqslant k\leqslant19.条件 1+5k≡01+5k\equiv0或4(mod8)4\pmod{8}分别给出k≡3k\equiv3或7(mod8)7\pmod{8}.在0⩽k⩽190\leqslant k\leqslant19中，这些kk为33，77，1111，1515，1919，共55个.因此甲同学拍手55次. \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16数列★★★☆☆
五位同学围成一圈依次循环报数，规定：
① 第一位同学首次报出的数为 11，第二位同学首次报出的数也为 11，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和. ② 若报出的数为 33 的倍数，则报该次的同学需拍手一次.
当第 3030 个数被报出时，五位同学拍手的总次数为______.

2009 · 福建 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16数列★★★☆☆
如图，连结 △ABC\triangle ABC 的各边中点得到一个新的 △A1B1C1\triangle A_{1}B_{1}C_{1}，又连结 △A1B1C1\triangle A_{1}B_{1}C_{1} 的各边中点得到一个新的 △A2B2C2\triangle A_{2}B_{2}C_{2}，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC\triangle ABC，△A1B1C1\triangle A_{1}B_{1}C_{1}，△A2B2C2\triangle A_{2}B_{2}C_{2}，⋯\cdots，这一系列三角形趋向于一个点 MM. 已知 A(0,0)A(0,0)，B(3,0)B(3,0)，C(2,2)C(2,2)，则点 MM 的坐标是______.

2006 · 福建 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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15数列★★☆☆☆
若常数 bb 满足 ∣b∣>1|b| > 1，则 lim⁡n→∞1+b+b2+⋯+bn−1bn=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1 + b + b^2 + \cdots + b^{n-1}}{b^n} =______.

2005 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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