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1615分数列★★★★☆
设数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=3a_1 = 3，an+1n=ann+1+1n(n+1)\frac{a_{n+1}}{n} = \frac{a_n}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}.
(1) 证明：{nan}\{na_n\} 为等差数列； (2) 给定正整数 mm，设函数 f(x)=a1x+a2x2+⋯+amxmf(x) = a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_mx^m，求 f′(−2)f'(-2).

2025 · 全国 · 一卷 · 第 16 题 · 解答题

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1917分数列★★★★★
设 mm 为正整数，数列 a1a_1，a2a_2，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 为公差不为 00 的等差数列，若删去两项 aia_i，aja_j（i<ji<j） 后剩余 4m4m 项可平均分为 mm 组且每组 4 个数都成等差，则称该数列为 (i,j)(i,j)-可分数列.
(1) 写出所有 (i,j)(i,j)，1≤i<j≤61\le i<j\le6，使 a1a_1，…\dots，a6a_6 是 (i,j)(i,j)-可分数列； (2) 当 m≥3m\ge3 时，证明 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (2,13)(2,13)-可分数列； (3) 从 11，22，…\dots，4m+24m+2 中不放回任取 i<ji<j，设 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (i,j)(i,j)-可分数列的概率为 PmP_m，证明 Pm>18P_m>\frac18.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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2015分数列★★★★☆
设等差数列 {an}\{a_n\} 的公差为 dd，且 d>1d>1. 令 bn=n2+nanb_n=\frac{n^2+n}{a_n}，记 SnS_n，TnT_n 分别为数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的前 nn 项和.
(1) 若 3a2=3a1+a33a_2=3a_1+a_3，S3+T3=21S_3+T_3=21，求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若 {bn}\{b_n\} 为等差数列，且 S99−T99=99S_{99}-T_{99}=99，求 dd.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

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1715分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 a1=1a_1=1，数列 {Snan}\left\{\frac{S_n}{a_n}\right\} 是公差为 13\frac13 的等差数列.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 证明：1a1+1a2+⋯+1an<2\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots+\frac1{a_n}<2.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1715分数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1=1，且
an+1={an+1,n为奇数,an+2,n为偶数.a_{n+1}=\begin{cases} a_n+1, & n\text{为奇数},\\ a_n+2, & n\text{为偶数}. \end{cases}
(1) 记 bn=a2nb_n=a_{2n}，写出 b1b_1，b2b_2，并求数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 求 {an}\{a_n\} 的前 2020 项和.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是公比不为 11 的等比数列，a1a_1 为 a2a_2，a3a_3 的等差中项.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的公比； (2) 若 a1=1a_1=1，求数列 {nan}\{na_n\} 的前 nn 项和.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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21概率与统计★★★★★
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验. 试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药. 一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 44 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 11 分，乙药得 −1-1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 11 分，甲药得 −1-1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 00 分. 甲、乙两种药的治愈率分别记为 α\alpha 和 β\beta，一轮试验中甲药的得分记为 XX.
(1) 求 XX 的分布列； (2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予 44 分，pip_i（i=0i=0，11，⋯\cdots，88）表示“甲药的累计得分为 ii 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p0=0p_0=0，p8=1p_8=1，pi=api−1+bpi+cpi+1p_i=ap_{i-1}+bp_i+cp_{i+1}（i=1i=1，22，⋯\cdots，77），其中 a=P(X=−1)a=P(X=-1)，b=P(X=0)b=P(X=0)，c=P(X=1)c=P(X=1). 假设 α=0.5\alpha=0.5，β=0.8\beta=0.8.
(i) 证明：{pi+1−pi}\{p_{i+1}-p_i\}（i=0i=0，11，22，⋯\cdots，77）为等比数列； (ii) 求 p4p_4，并根据 p4p_4 的值解释这种试验方案的合理性.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 已知 S9=−a5S_9=-a_5.
(1) 若 a3=4a_3=4，求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若 a1>0a_1>0，求使得 Sn≥anS_n\ge a_n 的 nn 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1=1，nan+1=2(n+1)anna_{n+1}=2(n+1)a_n，设 bn=annb_n=\dfrac{a_n}{n}.
(1) 求 b1b_1，b2b_2，b3b_3； (2) 判断数列 {bn}\{b_n\} 是否为等比数列，并说明理由； (3) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
等差数列 {an}\{a_{n}\} 中，a2=4a_{2} = 4，a4+a7=15a_{4} + a_{7} = 15.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 bn=2an−2+nb_{n} = 2^{a_{n} - 2} + n，求 b1+b2+b3+⋯+b10b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots + b_{10} 的值.

2015 · 福建 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
在等比数列 {an}\{a_n\} 中，a2=3a_2 = 3，a5=81a_5 = 81.
(1) 求 ana_n； (2) 设 bn=log⁡3anb_n = \log_{3} a_n，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 SnS_n.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设等比数列的公比为 qq. 由 a5=a2q3a_5=a_2q^3，得 81=3q381=3q^3，所以 q3=27q^3=27，从而 q=3q=3. 又 a1=a2q=1a_1=\frac{a_2}{q}=1，故 an=a1qn−1=3n−1a_n=a_1q^{n-1}=3^{n-1}. \item 由 an=3n−1>0a_n=3^{n-1}>0，得 bn=log⁡3an=n−1b_n=\log_3a_n=n-1. 因此 Sn=∑k=1nbk=∑k=1n(k−1)=n(n−1)2S_n=\sum_{k=1}^{n}b_k=\sum_{k=1}^{n}(k-1)=\frac{n(n-1)}{2}. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 福建 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 的公差 d=1d = 1，前 nn 项和为 SnS_{n}.
(1) 若 11，a1a_{1}，a3a_{3} 成等比数列，求 a1a_{1}； (2) 若 S5>a1a9S_{5} > a_{1}a_{9}，求 a1a_{1} 的取值范围.

2013 · 福建 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
在等差数列 {an}\{a_{n}\} 和等比数列 {bn}\{b_{n}\} 中，a1=b1=1a_{1} = b_{1} = 1，b4=8b_{4} = 8，{an}\{a_{n}\} 的前 10 项和 S10=55S_{10} = 55.
(1) 求 ana_{n} 和 bnb_{n}； (2) 现分别从 {an}\{a_{n}\} 和 {bn}\{b_{n}\} 的前 3 项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率.

2012 · 福建 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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16数列★★☆☆☆
已知等比数列 {an}\{a_n\} 的公比 q=3q=3，前 33 项和 S3=133S_3=\frac{13}{3}.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若函数 f(x)=Asin⁡(2x+φ)f(x)=A\sin\left(2x+\varphi\right)（A>0A>0，0<φ<π0<\varphi<\pi）在 x=π6x=\frac{\pi}{6} 处取得最大值，且最大值为 a3a_3，求函数 f(x)f(x) 的解析式.

2011 · 福建 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1=1a_{1} = 1，a3=−3a_{3} = -3.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 若数列 {an}\{a_{n}\} 的前 kk 项和 Sk=−35S_{k} = -35，求 kk 的值.

2011 · 福建 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
数列 {an}\{a_{n}\} 中， a1=13a_{1}=\frac{1}{3}，前 nn 项和 SnS_{n} 满足 Sn+1−Sn=(13)n+1S_{n+1}-S_{n}=\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1} （n∈N∗n\in\mathbf{N}^{*}）.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式 ana_{n} 以及前 nn 项和 SnS_{n}； (2) 若 S1S_{1}，t(S1+S2)t\left(S_{1}+S_{2}\right)，3(S2+S3)3\left(S_{2}+S_{3}\right) 成等差数列，求实数 tt 的值.

2010 · 福建 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
等比数列 {an}\{a_{n}\} 中，已知 a1=2a_{1} = 2，a4=16a_{4} = 16.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 若 a3a_{3}，a5a_{5} 分别为等差数列 {bn}\{b_{n}\} 的第 3 项和第 5 项，试求数列 {bn}\{b_{n}\} 的通项公式及前 nn 项和 SnS_{n}.

2009 · 福建 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=13x3+x2−2f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 2.
(1) 设 {an}\{a_n\} 是正数组成的数列. 前 nn 项和为 SnS_n，其中 a1=3a_{1} = 3. 若点 (an,an+12−2an+1)(a_{n}, a_{n+1}^{2} - 2a_{n+1})（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）在函数 y=f′(x)y = f'(x) 的图象上，求证：点 (n,Sn)(n, S_{n}) 也在 y=f′(x)y = f'(x) 的图象上； (2) 求函数 f(x)f(x) 在区间 (a−1,a)(a-1, a) 内的极值.

2008 · 福建 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)−xf(x) = \ln (1 + x) - x.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 记 f(x)f(x) 在区间 [0,n][0,n]（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）上的最小值为 bnb_n，令 an=ln⁡(1+n)−bna_n = \ln(1 + n) - b_n.
(i) 如果对一切 nn，不等式 an<an+2−can+2\sqrt{a_n} < \sqrt{a_{n+2}} - \frac{c}{\sqrt{a_{n+2}}} 恒成立，求实数 cc 的取值范围； (ii) 求证： a1a2+a1a3a2a4+⋯+a1a3⋯a2n−1a2a4⋯a2n<2an+1−1\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_1a_3}{a_2a_4} + \dots + \frac{a_1a_3\cdots a_{2n-1}}{a_2a_4\cdots a_{2n}} < \sqrt{2a_n + 1} -1.

2008 · 福建 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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20数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 是正数组成的数列，a1=1a_{1} = 1，且点 (an,an+1)(\sqrt{a_{n}}, a_{n+1})（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）在函数 y=x2+1y = x^{2} + 1 的图象上.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 若数列 {bn}\{b_{n}\} 满足 b1=1b_{1}=1，bn+1=bn+2anb_{n+1}=b_{n}+2^{a_{n}}，求证：bn⋅bn+2<bn+12b_{n}\cdot b_{n+2}<b_{n+1}^{2}.

2008 · 福建 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★☆☆
等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，a1=1+2a_{1} = 1 + \sqrt{2}，S3=9+32S_{3} = 9 + 3\sqrt{2}.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项 ana_{n} 与前 nn 项和为 SnS_{n}； (2) 设 bn=Snnb_{n} = \frac{S_{n}}{n}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*），求证：数列 {bn}\{b_{n}\} 中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

2007 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，a1=1a_1 = 1，an+1=2Sna_{n+1} = 2S_n（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项 ana_n. (2) 求数列 {nan}\{na_n\} 的前 nn 项和 TnT_n.

2007 · 福建 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=1a_1 = 1，an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 若数列 {bn}\{b_{n}\} 满足 4b1−14b2−14b3−1⋯4bn−1=(an+1)bn4^{b_1 - 1}4^{b_2 - 1}4^{b_3 - 1}\cdots 4^{b_n - 1} = (a_n + 1)^{b_n}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*），证明 {bn}\{b_n\} 是等差数列； (3) 证明：n2−13<a1a2+a2a3+…+anan+1<n2\frac{n}{2} - \frac{1}{3} < \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_n}{a_{n+1}} < \frac{n}{2}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）.

2006 · 福建 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1 = 1，a2=3a_2 = 3，an+2=3an+1−2ana_{n+2} = 3a_{n+1} - 2a_n（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）.
(1) 证明：数列 {an+1−an}\{a_{n+1} - a_n\} 是等比数列； (2) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (3) 若数列 {bn}\{b_n\} 满足 4b1−14b2−1⋯4bn−1=(an+1)bn4^{b_1-1}4^{b_2-1}\cdots 4^{b_n-1} = (a_n + 1)^{b_n}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*），证明：{bn}\{b_n\} 是等差数列.

2006 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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22数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=aa_1 = a，an+1=1+1ana_{n+1} = 1 + \frac{1}{a_n}. 我们知道当 aa 取不同的值时，得到不同的数列，如当 a=1a = 1 时，得到无穷数列：11，22，32\frac{3}{2}，53\frac{5}{3}，⋯\cdots；当 a=−12a = -\frac{1}{2} 时，得到有穷数列：−12-\frac{1}{2}，−1-1，00.
(1) 求当 aa 为何值时，a4=0a_4 = 0； (2) 设数列 {bn}\{b_n\} 满足 b1=−1b_1 = -1，bn+1=1bn−1b_{n+1} = \frac{1}{b_n - 1}（n∈N+n \in \mathbf{N}_+），求证 aa 取数列 {bn}\{b_n\} 中的任一个数，都可以得到一个有穷数列 {an}\{a_n\}； (3) 若 32<an<2\frac{3}{2} < a_n < 2（n⩾4n \geqslant 4），求 aa 的取值范围.

2005 · 福建 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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