已知函数
f(x)=x+1x+3（
x=−1）. 设数列
{an} 满足
a1=1，
an+1=f(an)，数列
{bn} 满足
bn=∣an−3∣，
Sn=b1+b2+⋯+bn（
n∈N∗）.
(1) 用数学归纳法证明：
bn⩽2n−1(3−1)n；
(2) 证明：
Sn<323.
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item 记
r=3. 由于
an+1=an+1an+3=1+an+12
且
a1=1，可归纳得到
an⩾1 对一切正整数
n 成立. 另外，
an+1−r=an+1(1−r)(an−r)，
所以
bn+1=an+1r−1bn⩽2r−1bn<21bn 下面用数学归纳法证明
bn⩽2n−1(r−1)n. 当
n=1 时，
b1=∣1−r∣=r−1，结论成立. 假设当
n=k 时结论成立，则
bk+1⩽2r−1bk⩽2r−1⋅2k−1(r−1)k=2k(r−1)k+1
因此结论对
k+1 也成立，故对一切正整数
n 成立.
\item 先算得
a2=f(1)=2. 又因为
f(x)=x+1x+3 在
[35,2] 上递减，且
f(2)=35，
f(35)=47，
所以由归纳法可得
35⩽an⩽2 对一切
n⩾2 成立. 对
n⩾2，有
bn+1=an+1r−1bn⩽83(r−1)bn<31bn
其中最后一个不等式由
3<917 得到. 因而
Sn<b1+b2(1+31+321+⋯).
又
b1=r−1，
b2=∣2−r∣=2−r，所以
Sn<r−1+23(2−r)=2−2r.
最后，
3>712，从而
2−2r<32r.
故
Sn<323.
\end{enumerate}
\end{solution}
