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125分数列★☆☆☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 a1=−1a_1=-1，a3=5a_3=5，则 S6=‾S_6=\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 12 题 · 填空题

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125分数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，若 a3+a4=7a_3+a_4=7，3a2+a5=53a_2+a_5=5，则 S10=S_{10}=______.

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 12 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 a1=−2a_1=-2，a2+a6=2a_2+a_6=2，则 S10=‾S_{10}=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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12数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 是等差数列，a1=1a_{1}=1，公差 d≠0d\neq0，SnS_{n} 为其前 nn 项和. 若 a1a_{1}，a2a_{2}，a5a_{5} 成等比数列，则 S8=S_{8}=______.
\begin{answer} 6464 \end{answer}
\begin{solution} 等差数列的通项为 an=1+(n−1)da_n=1+(n-1)d，所以 a2=1+da_2=1+d，a5=1+4da_5=1+4d. 由 a1a_1，a2a_2，a5a_5 成等比数列，得 a22=a1a5a_2^2=a_1a_5，(1+d)2=1+4d(1+d)^2=1+4d. 整理得 d(d−2)=0d(d-2)=0. 由于 d≠0d\neq0，所以 d=2d=2. 于是
S8=82(2a1+7d)=4(2+14)=64S_8=\frac{8}{2}\left(2a_1+7d\right)=4(2+14)=64
\end{solution}

2013 · 重庆 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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12数列★☆☆☆☆
若 22，aa，bb，cc，99 成等差数列，则 c−a=‾c - a =\underline{\hspace{2em}}. \begin{answer} 72\frac{7}{2} \end{answer} \begin{solution} 设等差数列的公差为 dd. 由首项和末项得 2+4d=92+4d=9，d=74d=\frac74. 于是 a=2+da=2+d，c=2+3dc=2+3d， 从而
c−a=2d=72c-a=2d=\frac72
\end{solution}

2013 · 重庆 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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12数列★★☆☆☆
lim⁡n→∞1n2+5n−n=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2 + 5n} - n}=______.
\begin{answer} 25\frac{2}{5} \end{answer}
\begin{solution} 有理化分母得
1n2+5n−n=n2+5n+n5n=1+5n+15\frac{1}{\sqrt{n^{2}+5n}-n} =\frac{\sqrt{n^{2}+5n}+n}{5n} =\frac{\sqrt{1+\frac5n}+1}{5}
当 n→∞n\to\infty 时，1+5n→1\sqrt{1+\frac5n}\to1，故
lim⁡n→∞1n2+5n−n=1+15=25\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n^{2}+5n}-n} =\frac{1+1}{5}=\frac25
\end{solution}

2012 · 重庆 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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11数列★☆☆☆☆
首项为 1，公比为 2 的等比数列的前 44 项和 S4=‾S_{4}=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 1515 \end{answer}
\begin{solution} 首项为 11，公比为 22，所以前四项依次为 11，22，44，88. 因此 S4=1+2+4+8=15S_4=1+2+4+8=15. \end{solution}

2012 · 重庆 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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11数列★★☆☆☆
在等差数列 {an}\{a_{n}\} 中，a3+a7=37a_{3} + a_{7} = 37，则 a2+a4+a6+a8=‾a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} =\underline{\hspace{2em}}. \begin{answer} 74 \end{answer}
\begin{solution} 等差数列中，等距离两项的和相等. 因为 a3+a7=2a5=37a_3+a_7=2a_5=37，所以 a2+a8=2a5=37a_2+a_8=2a_5=37，a4+a6=2a5=37a_4+a_6=2a_5=37. 因而 a2+a4+a6+a8=37+37=74a_2+a_4+a_6+a_8=37+37=74. \end{solution}

2011 · 重庆 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
设 a1=2a_1 = 2，an+1=2an+1a_{n+1} = \frac{2}{a_n + 1}，bn=∣an+2an−1∣b_n = \left|\frac{a_n + 2}{a_n - 1}\right|，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，则数列 {bn}\{b_n\} 的通项 bn=b_n =______.
\begin{answer} 2n+12^{n+1} \end{answer}
\begin{solution} 由递推式 an+1−1=1−anan+1=−an−1an+1a_{n+1}-1=\frac{1-a_n}{a_n+1}=-\frac{a_n-1}{a_n+1}，an+1+2=2(an+2)an+1a_{n+1}+2=\frac{2(a_n+2)}{a_n+1}. 因此
bn+1=∣an+1+2an+1−1∣=2∣an+2an−1∣=2bnb_{n+1}=\left|\frac{a_{n+1}+2}{a_{n+1}-1}\right| =2\left|\frac{a_n+2}{a_n-1}\right|=2b_n
又 b1=∣(2+2)(2−1)∣=4=22b_1=|\frac{(2+2)}{(2-1)}|=4=2^2，所以
bn=b1⋅2n−1=2n+1b_n=b_1\cdot2^{n-1}=2^{n+1}
递推所得各项为正，且若某项等于 1，则由递推反推会得到 a1=1a_1=1，与 a1=2a_1=2 矛盾，故上述分式始终有意义. \end{solution}

2009 · 重庆 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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12函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数
f(x) = \begin{cases} 2x + 3 &
（当 x≠0 时\text{当 } x \neq 0 \text{ 时}）\\ a &（当 x=0 时\text{当 } x = 0 \text{ 时}）\end{cases} 在点 x=0x = 0 处连续，则 lim⁡n→∞an2+1a2n2+n=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{a n^{2} + 1}{a^{2} n^{2} + n} =______.

2008 · 重庆 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
设 SnS_{n} 是等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，a12=−8a_{12} = -8，S9=−9S_{9} = -9. 则 S16=‾S_{16} =\underline{\hspace{2em}}.

2008 · 重庆 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
设 {an}\{a_{n}\} 为公比 q>1q > 1 的等比数列，若 a2004a_{2004} 和 a2006a_{2006} 是方程 4x2−8x+3=04x^{2} - 8x + 3 = 0 的两根，则 a2006+a2007=a_{2006} + a_{2007} =______.

2007 · 重庆 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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12数列★☆☆☆☆
lim⁡n→∞1+3+⋯+(2n−1)2n2−n+1=\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{1 + 3 + \cdots + (2n - 1)}{2n^2 - n + 1} =______.

2006 · 重庆 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
在数列 {an}\{a_{n}\} 中，若 a1=1a_{1} = 1，an+1=2an+3a_{n+1} = 2a_{n} + 3（n⩾1n \geqslant 1），则该数列的通项 an=a_{n} =______.

2006 · 重庆 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14数列★☆☆☆☆
在数列 {an}\{a_{n}\} 中，若 a1=1a_{1}=1，an+1=an+2a_{n+1}=a_{n}+2（n⩾1n\geqslant1），则该数列的通项 an=a_{n}=______.

2006 · 重庆 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15数列★★★☆☆
如图 P1P_1 是一块半径为 11 的半圆形纸板，在 P1P_1 的左下端剪去一个半径为 12\frac{1}{2} 的半圆后得到图形 P2P_2. 然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形 P3P_3，P4P_4，⋯\cdots，PnP_n，⋯\cdots，记纸板 PnP_n 的面积为 SnS_n，则 lim⁡n→∞Sn=\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=______.

2004 · 重庆 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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